第七章萬有引力與航天

1、第七章萬有引力和航天一、夯實(shí)基礎(chǔ)知識1、萬有引力定律：(1 )自然界的一切物體都相互吸引，兩個(gè)物體間的引力的大小，跟它們的質(zhì)量乘積成正比，跟它們 的距離的平方成反比。(2)公式：Fm)1 m?2G 12 2 , G=x kg . r適用于相距很遠(yuǎn)，可以看做質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的相互作用，質(zhì)量分布均勻的球體也可 r指球心間的距離。(3)適用條件： 用此公式計(jì)算，其中2、萬有引力定律的應(yīng)用：(1)討論重力加速度 g隨離地面高度 h的變化情況：物體的重力近似為地球?qū)ξ矬w的引力，即mg=G (RMm。所以重力加速度g= GM一2，可見，g隨h的增大而減小。h)(R h)(2)的半徑R，(3)求天體的質(zhì)量：通

2、過觀天體衛(wèi)星運(yùn)動的周期T和軌道半徑r或天體表面的重力加速度就可以求出天體的質(zhì)量求解衛(wèi)星的有關(guān)問題：根據(jù)萬有引力等于衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力可求衛(wèi)星的速度、周期、動g和天體能、動量等狀態(tài)量。由Gm=m得V=徑巴，由G = mr(2 n /T) 2 得 T=2 n |丄_r2rYrr2 GMGM，由-12 1 MmEk= mv = G。22r3、三種宇宙速度：(1) 第一宇宙速度(2) 第二宇宙速度(3) 第三宇宙速度V=7.9Km/s,人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度；V2=11.2km/s,使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度;M=16.7km/s,使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。二、典型問題分析問

3、題1 ：會討論重力加速度 g隨離地面高度h的變化情況。 例14、設(shè)地球表面的重力加速度為產(chǎn)生的重力加速度 g,，貝U g/g為A、1; B、1/9;C、1/4;g,物體在距地心4R(R是地球半徑)處，由于地球的引力作用而D、1/16。分析與解：因?yàn)間= G -M- ,g, = g2R2 (R 3R)2,所以g/g，=1/16,即D選項(xiàng)正確。問題2:會用萬有引力定律求天體的質(zhì)量。通過觀天體衛(wèi)星運(yùn)動的周期T和軌道半徑r或天體表面的重力加速度g和天體的半徑 R,就可以求出天體的質(zhì)量M。例15、已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑r= 1011m,公轉(zhuǎn)的周期T=，求太陽的質(zhì)量 M。分析與解：根據(jù)地球繞太陽做圓

4、周運(yùn)動的向心力來源于萬有引力得：Mm2G - =mr(2 n /T)rM=4 n 2r3/GT2=1O30kg.例16、宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。 經(jīng)過時(shí)間t,小球落到星球表面,測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L。若拋出時(shí)初速度增大到 2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為3 L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為 G。求該星球的質(zhì)量分析與解：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h,第一次平拋的水平射程為x,則有x2+h2=L2由平拋運(yùn)動規(guī)律得知，當(dāng)初速度增大到2倍時(shí)，其水平射程也增大到2x，可得(2x)2+h2=( 3 L)2設(shè)該星球上的重力加速度為g，由平拋運(yùn)動的

5、規(guī)律得:1 2h= 2 gt2由萬有引力定律與牛頓第二定律得：Mmmg= G rR22 /3|R 2聯(lián)立以上各式解得 M= 2、3LR。3Gt2問題3:會用萬有引力定律求衛(wèi)星的高度。通過觀測衛(wèi)星的周期 T和行星表面的重力加速度g及行星的半徑 R可以求出衛(wèi)星的高度。例17、已知地球半徑約為 R= 106m，又知月球繞地球的運(yùn)動可近似看作勻速圓周運(yùn)動，則可估算出 月球到地球的距離約 m.(結(jié)果只保留一位有效數(shù)字 )。分析與解：因?yàn)?mg= G ，而 G =mr(2 n /T)2Rr所以，r= 3問題4:會用萬有引力定律計(jì)算天體的平均密度。通過觀測天體表面運(yùn)動衛(wèi)星的周期T,就可以求出天體的密度p。例

6、18、如果某行星有一顆衛(wèi)星沿非?？拷撕阈堑谋砻孀鰟蛩賵A周運(yùn)動的周期為 星的密度為多少？分析與解：設(shè)此恒星的半徑為R，質(zhì)量為M,由于衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動，則有T,則可估算此恒Mm4 2G 丁 =mR 2R2T2所以，M= 口GT24、而恒星的體積 V= 4 n R3,所以恒星的密度p3V例19、一均勻球體以角速度3繞自己的對稱軸自轉(zhuǎn)， 則此球的最小密度是多少？分析與解：設(shè)球體質(zhì)量為 M,半徑為R,設(shè)想有一質(zhì)量為/ m的質(zhì)點(diǎn)繞此球體表面附近做勻速圓周運(yùn) 動，則Mm2 丁 2 4G =m 3 0 R,所以，3 0 = n Gp。R3M 3。GT2若維持球體不被瓦解的唯一作用力是萬有引力,243 2、

7、3 2由于o得3 < n Gp,則p，即此球的最小密度為二34 G4 G問題5:會用萬有引力定律推導(dǎo)恒量關(guān)系式。例20、行星的平均密度是，靠近行星表面的衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期是T,試證明：T2是一個(gè)常量，即對任何行星都相同。證明:因?yàn)樾行堑馁|(zhì)量m=LRGT2（R是行星的半徑），行星的體積4V=3R3,所以行星的平均密度3/即 T2=，是一個(gè)常量，對任何行星都相同。G3例21、設(shè)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的軌道半徑為r,運(yùn)動周期為T,試證明： 二是一個(gè)常數(shù)，即對于同一天體T23的所有衛(wèi)星來說，I均相等。T2證明：由 GMmm = mr(2 n /T)rr3 GMr32得=理，即對于同一天體的所有衛(wèi)星來說，厶均相

8、等。T24 2T2問題6：會求解衛(wèi)星運(yùn)動與光學(xué)問題的綜合題例22、（2004年廣西物理試題）某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡 觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星， 不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為 射。分析與解：設(shè)所求的時(shí)間為小mM2Gp mr（- rT試問，春分那天（太陽光直射赤道） 在日落12小時(shí)內(nèi)有多長時(shí)間該觀察者看 R,地球表面處的重力加速度為 g,地球自轉(zhuǎn)周期為T,不考慮大氣對光的折t,用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離.有)2春分時(shí)，太陽光直射地球赤道，如圖17所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，0表示地心.由圖17可看出當(dāng) 衛(wèi)星S繞

9、地心0轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設(shè)地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時(shí)針 方向），其正下方的觀察者將看不見它.據(jù)此再考慮到對稱性，有rsin R2t T2 MGF g由以上各式可解得tTarcsinQR'1gTS太陽光RAO圖17三、警示易錯(cuò)試題典型錯(cuò)誤之一：錯(cuò)誤地認(rèn)為做橢圓運(yùn)動的衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道曲率半徑不同。例23、某衛(wèi)星沿橢圓軌道繞行星運(yùn)行，近地點(diǎn)離行星中心的距離是a,遠(yuǎn)地點(diǎn)離行星中心的距離為b,若衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率為則衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速率 乂多少?MmG2-a實(shí)際做橢圓aP3223QGMrA選項(xiàng)錯(cuò)誤。Q點(diǎn)時(shí)的速度等于它在軌道rD2運(yùn)行,20所示。即B選項(xiàng)正確圖20錯(cuò)解：因?yàn)镚運(yùn)動的衛(wèi)星在近地點(diǎn)

10、和遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道曲率半徑相同，設(shè)都等于A、速度變??；C角速度變小分析糾錯(cuò)：以上錯(cuò)誤在于認(rèn)為做橢圓運(yùn)動的衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道曲率半徑不同分析糾錯(cuò)：B選項(xiàng)正確，但2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度，而在 Q點(diǎn)軌道的曲因?yàn)樾l(wèi)星在軌道1上經(jīng)過典型錯(cuò)誤之例24、最后再次點(diǎn)火則在衛(wèi)星分別在 1、A、衛(wèi)星在軌道B、衛(wèi)星在軌道C、衛(wèi)星在軌道上經(jīng)過D、衛(wèi)星在軌道上經(jīng)過利用錯(cuò)誤方法求衛(wèi)星運(yùn)動的加速度的大小。發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1,然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3,軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是3上的速率大于在軌道 1上的速率

11、。3上的角速度小于在軌道 1上的角速度。1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道Q點(diǎn)時(shí)的加速度。2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道P點(diǎn)時(shí)的加速度。只與衛(wèi)星到地心的距離 r有關(guān)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確。Va2mRC選項(xiàng)錯(cuò)誤。根據(jù)牛頓第二定律可得a Fmb，故乂a典型錯(cuò)誤之三：錯(cuò)誤認(rèn)為衛(wèi)星克服阻力做功后，衛(wèi)星軌道半徑將變大。 例25、一顆正在繞地球轉(zhuǎn)動的人造衛(wèi)星，由于受到阻力作用則將會出現(xiàn)B、動能增大；半徑變大。民所以，在近地點(diǎn)時(shí)有Gma2GMT，即衛(wèi)星的加速度 a丄，即C選項(xiàng)正確。2MmVbVaG p m上，上述兩式相比得b2 bVbm匚所以V= rMm2廠 mr r2在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有，上述兩式相比得

12、V； a，故Vb bVa V2率半徑r1 <r2,所以a1>a2GM錯(cuò)解：衛(wèi)星運(yùn)行所受的萬有引力提供向心力，在近地點(diǎn)時(shí)，有由于衛(wèi)星克服阻力做功，故動能減小，速度變錯(cuò)解：當(dāng)衛(wèi)星受到阻力作用時(shí),Va2m，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有abb小，為了繼續(xù)環(huán)繞地球，由于衛(wèi)星速度V減小則半徑R必增大，又因-，故r小，可見應(yīng)該選 A、C D。分析糾錯(cuò)：當(dāng)衛(wèi)星受到阻力作用后，其總機(jī)械能要減小，衛(wèi)星必定只能降至低軌道上飛行，故R減小。V要增大，動能、角速度也要增大?？梢娭挥蠦選項(xiàng)正確。典型錯(cuò)誤之四：混淆穩(wěn)定運(yùn)動和變軌運(yùn)動例26、如圖21所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)動的3顆衛(wèi)星，下列說法正確的是：A.

13、 b、c的線速度大小相等，且大于 a的線速度；B. b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度；C. c加速可追上同一軌道上的 b, b減速可等候同一軌道上的 c;D. a衛(wèi)星由于某原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將增大。錯(cuò)解：c加速可追上b，錯(cuò)選C。分析糾錯(cuò)：因?yàn)閎、c在同一軌道上運(yùn)行，故其線速度大小、加速度大小、. 2均相等。又b、c軌道半徑大于a的軌道半徑，由V . GM / r知，乂=*<Va,故A選項(xiàng)錯(cuò)；由加速度a=GM/r可知ab=ac<aa,故B選項(xiàng)錯(cuò)。當(dāng)c加速時(shí)，c受到的萬有引力 F<mV/r，故它將偏離原軌道做離心運(yùn)動；當(dāng)b減速時(shí)，b受到的萬有引力F&

14、gt;mV/r,故它將偏離原軌道做向心運(yùn)動。 所以無論如何c也追不上b, b也等不到c,故C選項(xiàng)錯(cuò)。對這一選項(xiàng)，不能用 V 、GM /r來分析b、c軌道半徑的變化情況。對a衛(wèi)星，當(dāng)它的軌道半徑緩慢減小時(shí)，在轉(zhuǎn)動一段較短時(shí)間內(nèi)，可近似認(rèn)為它的軌道半徑未變，視為穩(wěn)定運(yùn)行，由 V .、GM /r知，r減小時(shí)V逐漸增大，故 D選項(xiàng)正確。典型錯(cuò)誤之五：混淆連續(xù)物和衛(wèi)星群例27、根據(jù)觀察，在土星外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷環(huán)是土星的連續(xù)物還是小衛(wèi)星群?？蓽y出環(huán)中各層的線速度V與該層到土星中心的距離 R之間的關(guān)系。下列判斷正確的是：A、若V與R成正比，則環(huán)為連續(xù)物；B、若V與R成正比，則環(huán)為小衛(wèi)星群；C若V與R成

15、反比，則環(huán)為連續(xù)物；D若V與R成反比，則環(huán)為小衛(wèi)星群。錯(cuò)解：選BDb分析糾錯(cuò)：連續(xù)物是指和天體連在一起的物體，其角速度和天體相同，其線速度V與r成正比。而對衛(wèi)星來講，其線速度 V ,GM /r，即V與r的平方根成反比。由上面分析可知，連續(xù)物線速度V與r2成正比；小衛(wèi)星群 V與R成反比。故選 A Do典型錯(cuò)誤之六：物理過程分析不全掉解。例32、如圖23所示，M為懸掛在豎直平面內(nèi)某一點(diǎn)的木質(zhì)小球，懸線長為L,質(zhì)量為m的子彈以水平速度V。射入球中而未射出，要使小球能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動，且懸線不發(fā)生松馳，求廿a子彈初速度V。應(yīng)滿足的條件。L5gL錯(cuò)解1：v0錯(cuò)解 2：Vo -_m分析糾錯(cuò)：子彈擊中木球時(shí)，由動量守恒定律得：mVo=(m+M)V 1下面分兩種情況：(1)若小球能做完整的圓周運(yùn)動，則在最高點(diǎn)滿足:2(m M )g (m M M / L由機(jī)械能守定律得：1 2 1