高中數(shù)學(xué)軌跡方程問題匯總(詳細(xì)解析)新人教A版

1、軌跡方程問題匯總M、N與。O相切| NB|=4 2=2.11.已知點(diǎn) M(3, 0)、N(3, 0)、B(1, 0),。與 MN 相切于點(diǎn) B,過 的兩直線相交于點(diǎn) P,則P點(diǎn)的軌跡方程為 .解析:如圖，|PM| |PN|=| PA|+| AM| |PC |CN|=| MA| - | NC|=| MB|P/oc，P點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的M曲線的右支，e3啟=1立2期.22，方程為=1(x>1).1 82答案:X2 y-=1(x>1)1 ： 2,則M點(diǎn)的12.點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F(0, 2)的距離和它到一條定直線y=8的距離之比是軌跡方程是.解析:根據(jù)橢圓第二定義可知，橢圓焦點(diǎn)為 (

2、0, 2), y=-a2 =8,e=-.c 2由 c=2, =8,得 a=4,滿足 e=-=.ca 4 222橢圓方程為 匕+±=1.16 1222答案：y_+=116 12P是雙曲線上任意16 .(本小題滿分10分)設(shè)Fi、F2是雙曲線x2y2=4的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)， 一點(diǎn)，過Fi作/ F1PF2的平分線的垂線，垂足為 M,求點(diǎn)M的軌跡方程.解:如圖,Fi( 2 6,0)、F2(272 , 0)、M(x,y),延長FiM與P也相交于點(diǎn) N,設(shè)N(x0,y0). 由已知可得M為FiN的中點(diǎn)，x0 2.22x0 2x 2 2,y £ y0 2y.為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則曲線為b2

3、=1,又 | NF2|=| PN| | PF2|=| PF1| | PF2|=2 a=4, " (xo 2 -；2 )2+y02=16.(2x+2 <2 2 寸2 )2+(2y)2=16. x2+y2=4.評注:適當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識把條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，會(huì)給我們解題帶來方便17 .(本小題滿分12分)如圖，某農(nóng)場在 P處有一堆肥，今要把這堆肥料沿道路 PA或PB送 到莊稼地 ABCD中去，已知 PA=100 m, PB=150 m, / APB=60° .能否在田地 ABCD中確定一條 界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)，沿道路 PA送肥較近；而另一側(cè)的點(diǎn)，沿道路 PB送肥較近？如果

4、 能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出其方程 解:設(shè)M是這種界線上的點(diǎn)，則必有 | MA|+| PA=| MB|+| PB|,即 | MA| | MB|=| PB| | PA=50.這種界線是以 A、B為焦點(diǎn)的雙曲線靠近 B點(diǎn)的一支.建立以AB為x軸，AB中點(diǎn)22所求曲線方程為6253750=1(x>25,y>0).其中 a=25,c=-2 | AB|. c=25 . 7 ,b2=c2a2=3750.18.(本小題滿分12分)已知點(diǎn) F(1, 0),直線l:x=2.設(shè)動(dòng)點(diǎn) P至IJ直線l的距離為 d,且| PF= d,- <d< 3 . 232(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方

5、程;(2)若PF - OF =1 ,求向量OP與OF的夾角.解:(1)根據(jù)橢圓的第二定義知，點(diǎn) P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,a- =2/.a=2 .c哈房=乎滿足1PF=爭.22.P點(diǎn)的軌跡為+-y-=1.21又 d = ax,且 2 < d< 3c 32 2< 2-x< 3.-. 1 wxw 43223x22 “1 4、，軌跡方程為(2)由(1)可知,2 +v =1(-、x、).x2 o 1 一一 4P 點(diǎn)的軌跡萬程為 -+y2=1(2<x< 3),.-. F(1,0). P(xo,yo).OF =(1,0), OP =(xo,yo), PF =(1

6、xo, yo).11 PF . OF=1,.-. 1-xo=1. 2 -7xo= ,yo= ± .33又 OP OF =| OP| | OF | cose ,1- 1 , xo+0 - yo=J%2 yo2 T cos 0 .2 cos 8 = j x0=3=2 = 所.xo2 yo2'4 711 11,9 99 =arccos 2 1111.1 .【蒼山誠信中學(xué) 文科】21.(本小題滿分12分)如圖所示，已知圓 C:(x 1)2 y28,定點(diǎn)A(1,0), M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P在AM上,點(diǎn)N在CM上，且滿足AM 2AP,NP AM0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(I)求曲線E的方

7、程；(II)過點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點(diǎn) H、Q,求 |HQ|.【解】(1)AM 2AP,NP AM 0.NP為AM的垂直平分線， . |NA|=|NM|.先|CN | | NM | 2 2, |CN | | AN | 2 2 2.，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn) C(1, 0), A (1, 0)為焦點(diǎn)的橢圓且橢圓長軸長為2a2 J2,焦距2c=2.a 叵c 1,b2 1.分2x 2曲線E的方程為'y21.(2)直線l的斜率k tan451.直線l的方程為y x 1.y x 1由x22消去y33x2 4x 0.分0萬y 1設(shè) H(xi,yi),Q(x2, y2),El4

8、c則 xix2- , xix20 ,3| HQ |Jik2|xix2|<1k2 J(xix2)2 4xix222. '(-)2月盤.12 分.332 22.109屆蒼山 文科】22.(本小題滿分12分)設(shè)橢圓 C:與 4 1(a b 0)過點(diǎn)a b23 1(1,2), Fi,F2分別為橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且離心率 e 2(1)求橢圓C的方程；(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)。若AM、AN1 的斜率ki, k2滿足ki k2-,求直線l的方程；21【解】(1)由題意橢圓的離心率 e -,c 1222 c 2一一一 a 2c b a c 3c

9、a 222橢圓方程為J 1分4c 3c又點(diǎn)(1, 3 )在橢圓上,2L4c21c2 =122橢圓的方程為上一143(2)若直線l斜率不存在，顯然ki k2 0不合題意；則直線l的斜率存在。分7設(shè)直線l為y k(x 1),直線l和橢交于M(xi,yi) , N(x2,y2)。將y k(x 1)代入3x2 4y2 12中得到：(3 4k2)x2 8k2x 4k2 120依題意：9k2 9 0得k 1或k1分-98k2Xi X2 2分10由韋達(dá)定理可知：3 4 k4k2 12XiXi 亍3 4kyi V2Xi 1X2 1kAM kAN 丁工 k(丁二 X"工k23(一x121X2)而x12

10、1_x2 2x1 x2 4x1x2 2(x1 x2) 458k2 4(3 4k2) 2k2 122224k2 12 16k2 4(3 4k2)3k2從而kAM2k2 1 kANk(2 3 )3k分13求得k2符合k 1.故所求直線MN的方程為：y 2(x 1).1 2-x的焦點(diǎn), 43.109屆濟(jì)寧 文科】22.(本小題滿分14分)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線離心率為2-5(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若MA 1 AF ,MB 2BF ,求12的值.22【解】(1)設(shè)橢圓C的方程為 j 4 1(

11、a b 0),a2 b22拋物線方程化為x2 4y ,其焦點(diǎn)為(0,1),橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為(0 , 1),即b 1 , 分32,2a b2 5 /曰 2,得a5,2x 2.橢圓C的方程為wy2分6(2)由(1)得 F(2, 0),設(shè) A(x , y1)B(x2 ,y2)M (0, yo),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為yk(xx22)，代入5y2 1 ,并整理得(1 5k2)x2 20k2 x20k2 5 0,x1X220k21 5k2 ,X1X220k2 51 5k210又MA(xy1 yo), MB (x2, y?Yo)，AF(2 X , y1), BF (2 x2,V2),由M

12、A1AFMB 2BF,(x1，y1yo)1( 2x1 ,y1)，(x2 ,y2 y0)2(2 x2 , y2),x12x1又22x2分.12x122x1x22(x x2) 2x1x2102 x2 4 2(x1 x2) x1x2分144.【臨沂中文科】21.(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為B(0, 1),且其右焦點(diǎn)到直線x y 2720的距離為3.(I )求橢圓的方程;(n )是否存在斜率為k(k 0),且過定點(diǎn)Q(0,1)的直線l ,使l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N ,且|BM | |BN |?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【解】(i)設(shè)橢

13、圓的方程為£ ab21,(a b 0),1分2 .分.由已知得b 1.設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0),由題意得c- 2:2 3, ci.-2a b c 3.分32橢圓的方程為得 y2 1.分43（n ）直線l的方程y kx 3 , 2代入橢圓方程相（1 3k2）x2 9kx 卓 0.分4設(shè)點(diǎn) M (Xi, y1)，N(x2,y2),則 x1 x29k1 3k2則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9ko ,一 J).2 6k2 2 6k2分6分7Q| BM | | BN |,點(diǎn)B在線段MN的中垂線上3 11 2 6k2 k 9k2 6k2分8化簡，得k巧 分103由 2-3Q2k, 得O512-6-3K.512所以

14、，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x- x y 3 0 或x y -3 0 分12323225.【臨沂高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)】21.（本小題滿分12分）已知，橢圓C以雙曲線x2 -y- 1的焦點(diǎn)3為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l : y kx m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過點(diǎn) A,求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。22【解】（1）橢圓方程為 土 匕 1. （4分）43 設(shè)M（X1, y1），N（X2, y2），將y kx m代入橢圓方程得(4k2 3)x2 8kmx 4m2 120x18 kmx22，xx24k 34m

15、2 122, (6 分)4k 3kx1 m, y2kx2,22m, y1y2 k x1x2 km(x1 x2) m ,又以MN為直徑的圓過點(diǎn) A (2, 0),1 AM AN0,即x1x2 2(x1 x1) 4 y1y2 0,22.，7m 16km 4k 0,2 ,、- mkm2k,且滿足 0, (9 分)7若m 2k,直線1恒過定點(diǎn)(2, 0)不合題意舍去，若m 2k,直線1：y k(x2)恒過定點(diǎn)(工,0)777例1:已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、F2,其中F1又是拋物線y2 = 4 x的 一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn) A(- 1,2) , B(3, 2)在雙曲線上.(1)求點(diǎn)F2的軌跡；(2)是否

16、存在直線y = x+m與點(diǎn)F2的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，若存在，求出 實(shí)數(shù)m的值，若不存在，說明理由.解(1) 由題意知 Fi(1, 0),設(shè) 國x , y),則 | |AFi|- |AF2| | = | |BFi|- |BFz| | = 2a >0.A(- 1,2) , B(3, 2) 在已知雙曲線上，且 |AF” 二 | BF 1| = 2四.于是(i )當(dāng) | AF 1| - |AF2| 二 |BF 1| - |BF2| 時(shí)，有 |AF 2| = |BF 2| , 再代入得：F2的軌跡為直線x = 1除去兩個(gè)點(diǎn)F1(1, 0), D(1,4).(ii ) 當(dāng) | AF1卜 |AF2

17、| = - ( |BF1|- |BF2| )時(shí)，有 | AF2I + |BFz| = |AF + |BF"= 4,2 > 4 = |AB| ,點(diǎn)F2的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓 Q,且除去F1(1,0) , D(1,4)兩點(diǎn)，22故所求的軌跡方程為 l : x = 1 與Q: ( 91 ( y W0 yw 4 ). 84(2)設(shè)存在直線L: y = x+ m 滿足條件.(i)若L過點(diǎn)R或點(diǎn)D, F1、D兩點(diǎn)既在直線l: x = 1上，又在橢圓 Q上，但不在F2的軌跡上， L與F2的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意.(ii)若L不過點(diǎn)F1和D兩點(diǎn)，(mw- 1,3)，則L與l必有

18、一個(gè)公共點(diǎn) E,且E點(diǎn)不在橢圓Q上，.要使L與F2的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 L必與Q有且只有一個(gè)公共點(diǎn).y x m,由 (x 1)2 (y 2)2得 3x 2 - (10 - 4m) x +2m 2- 8m +1= 0,84 1,從而，有 = (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m 2- 2m 11),當(dāng) 二 0時(shí)，有m 1 2。.即存在符合條件的直線 y = x+ 1 2看.點(diǎn)評 這是“定義法”求軌跡的問題.對于軌跡問題的求解，務(wù)必要注意軌跡 的純粹性與完備性，這是我們最易忽略的.考點(diǎn)二：交軌法求軌跡例2.已知常數(shù)a > 0 , c = (0, a

19、) , i = (1, 0),經(jīng)過原點(diǎn)O,以c +入i為 方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn) A(0 , a)，以i - 2入c為方向向量的直線交于點(diǎn)P, 其中入C R,試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) E , F ,使得| PF | 十 | PF | 為定值，若 存在，求出E, F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.解c + 入 i =(入，a) , i - 2 入 c = (1, - 2 入 a),由向量平行關(guān)系得 OP與 AP的方程分別為入y = ax , y- a = -2入ax. 由此消去參數(shù)入，得點(diǎn) P(x ,y) 滿足方程為2 XT8士,a > 0 ,從而，有(1)當(dāng)a等.時(shí)，方程表示的是圓，不存在符

20、合題意的兩個(gè)定點(diǎn)E,(2)一- 2 當(dāng)0<a三時(shí)，方程表示的是橢圓，故存在符合題意的兩個(gè)定點(diǎn),即為橢圓的兩2，%.2 a2,|),F( 2(3)當(dāng)a 子時(shí)，方程表示的是橢圓，故存在合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)，即為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)：E(0,2-(a a2 1), F(01(a 行點(diǎn)評 這是“交軌法”求軌跡的問題.將向量 c +入i與i - 2入c分別用坐標(biāo) 表出是解題的關(guān)鍵.回答問題時(shí)必須要分別回答，這是題目的要求.對于也可 用直線的點(diǎn)斜式方程求得，讀者不妨試一試.考點(diǎn)三：代入法(相關(guān)點(diǎn)法)例3如圖，A(m, J3m), B(n, J3n)兩點(diǎn)分別在射線 OS,OT上移動(dòng)，且OAOB J,。為坐標(biāo)原

21、點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OA OB./求m n的值一(2)求點(diǎn)P的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線./【解析】(1)由已知得OA Ob (m,點(diǎn)m) (n, V3n)2mn -,21m n 一4(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x, y)(x 0),由OP OA OB,得(x, y) (m, ,3m) (n, 、3n) (m n, ,3(m n)m n2 y2l消去m,n為x 4mn、.3(m n)321(x 0),它表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為中3222心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸長為2,焦距為4的雙曲線x2y1的右支.31 1【點(diǎn)評】(1)的結(jié)果mn 表示點(diǎn)(m,n)軌跡在曲線xy 上，為解決(2),利用 44一 一

22、一1OP OA OB ,建立P(x, y)與參數(shù)m,n的關(guān)系，然后解出m,n(用x,y表示)，代入mn 4即得所求軌跡，這就是代入法.考點(diǎn)四：與軌跡有關(guān)的綜合題 例4 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(xaa)和B(xb, yB)兩點(diǎn)分別在射線x J3y 0(x 0), x J3y 0(x 0)上移動(dòng)，且OAOB 2,動(dòng)點(diǎn)p滿足OP 0A OB，記點(diǎn)p的軌跡為C.2(I)求yAyB的值；(II)求p點(diǎn)的軌跡c的方程，并說明它表示怎樣的曲線 ？(III) 設(shè)點(diǎn)G(1,0),若直線y kx m(m 0)與曲線C交于M N兩點(diǎn)，且M N兩點(diǎn)都在以G 為圓心的圓上，求k的取值范圍.【解析】(I) A(Xada), B(Xb,Yb)分別在射線 x J3y 0,x J3y 0上，xA 3yA 0,XB3yB 0,即 Xa 3Ya,Xb 、3yB,XAXB3yA yB ,又OA OB 2XaXb 'Mb 2 .2 yA yB2 ,yayb 1.OA OB 一口 xA xB