高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文從函數(shù)視角研究數(shù)列

1、從函數(shù)視角研究數(shù)列滬教版高二年級第一學(xué)期課本中第 6頁寫道：“從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看成是以正整數(shù) 集（或其子集）為定義域的函數(shù)。”數(shù)列是一個定義在正整數(shù)集（或其子集）上的特殊函數(shù)。從這個意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)去研究數(shù)列問題，能使解數(shù)列的問題更有新意和綜合性，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識。因此我們在解決數(shù)列問題時， 應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識，以函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。一、數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)關(guān)系通過對數(shù)列中的通項公式以及前n項和公式等這些特殊的函數(shù)關(guān)系的概

2、念理解與分析，引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識Qr ,4和n的對應(yīng)關(guān)系，從而利用概念，鼓勵學(xué)生主動探究，挖掘出數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生知識系統(tǒng)化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)整體意識，用聯(lián)系 發(fā)展的眼光學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在教學(xué)實踐過程中，通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，發(fā)揮他們的主體作用，歸納出數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列前n項和公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列國d 、 , 瞋M=月丐+2&=個+財- 2”2y-ax+5工（"甲o(hù)時為二次函數(shù)）等比數(shù)列加L _/十 為科！一g 十r1 -1-7/二以學(xué)工+5 （指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列通項公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列厘曜=白+ (用- 1)4=物+ (a1-d)丁一

3、山;+ 8（E二0時為一次函數(shù)）等比數(shù)列n-l /71白？1 =010 ?gA二收,（指數(shù)型函數(shù)）線斜率相等，即 凝一整（成十一掰，得/ =0 （圖像如下），這里利用等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。9 13 ir例2:等差數(shù)列值）中，町=25 ,前n項和為小，若叫二笆口，n為何值時,最大？分析：等差數(shù)列前n項和為可以看成關(guān)于n的次函數(shù)X'（凡知）是拋物線/O =2上的離散點，根據(jù)題意,=則因為欲求 國最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為工二2二七.2，即當(dāng)打二1弓時，%最大。例3：等差數(shù)列和等比數(shù)列（43首項均為1,且公差不等于1,公比中且q

4、/i,則集合（n,an）|% = 1 一定含有元素分析：等差數(shù)列"J 由于首項為1,即4=1 ,所以它的圖像是必過（1, 1）的一條直線，而等比數(shù)列 值首項為1,公比為q，-叫故'=V 1它表示指數(shù)函數(shù),例）二0”圖像向右平移一個單位得到，必過（1,1）,所以此集合中必定含有元素（1,1）。二、構(gòu)建函數(shù)，揭示數(shù)列本質(zhì)新課程倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方法。而學(xué)會構(gòu)建函數(shù)，一方面體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的體驗、思考與參與，另一方面也培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識。在構(gòu)建函數(shù)之后，我們需要利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來解決問題。函數(shù)基本性質(zhì)包括了奇偶性、單調(diào)性、周期性，最值性等等。在數(shù)

5、列學(xué)習(xí)中滲透函數(shù)思想，不僅可以進(jìn)一步鞏固函數(shù)知識，而且可 以拓寬學(xué)生解決數(shù)列問題的視野。1、構(gòu)造具體函數(shù)，成功“轉(zhuǎn)化”例4:遞增數(shù)列"J對任意正整數(shù)n, %=兄庫恒成立，求龍分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列品遞增得到： X 一餐口對于一切總己獷恒成立, 即2/十+兄）0恒成立，所以只 一（？川+ L對一切用已V*恒成立，設(shè)了（幻=一（2月+ b ,則只需求出了的最大值即可，顯然 了 有最大值，二,所以足的取值范圍是:樂二1 +而看成函數(shù)/=/ +就域是尸）,因為是遞增數(shù)列，即函數(shù)三- + Nk為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)支一0間為L+8）,拋物線對稱軸2 ,因為函數(shù)f（x）為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞

6、增，就看動X =軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸2在外=1.5的左側(cè)也可以（如圖），a 3U 因為此時B點比A點高。于是， 2 上,得鼻；一咬望J9 .鼻靈例5:數(shù)列通項 制一 J98 ,前30項中最大項和最小項分別是 （C）畫屈立廊分析：構(gòu)造特殊函數(shù)，將數(shù)列通項整理,“脫去外衣”（如圖）。根據(jù)函該函數(shù)圖象是經(jīng)過坐標(biāo)軸平移后的反比例函數(shù)圖像 數(shù)圖像特點，判斷出答案應(yīng)選（C）.2、構(gòu)造抽象函數(shù)，成功“突圍”例6:已知數(shù)列0%滿足%M=%十2 一%,砒=1 ,則建005 =分析：因為不清楚數(shù)列的具體類型，所以僅僅利用數(shù)列的知識不容易解決，而此時我們從函數(shù)視角去考慮，就容易聯(lián)想到函數(shù)的周期

7、性。令/=口口，則/+4） 7（" 2）7那么函數(shù)滿足/京+4）= /5 + 2）一（工），則G + =+ +，得八則以"塔=T0 + 6)7 ,即函數(shù)二丁周期為12加+ + .+*) + +八12) )+丁 + .-/(D g =0所以演5二砌+町+ +與。能 =j+ J+-、"=3、數(shù)列應(yīng)用題中構(gòu)造函數(shù)，成功“解決”數(shù)列知識本身就是來源于實際問題，又被廣泛應(yīng)用于實際問題，帶有情境的數(shù)列問題，不僅可以考察學(xué)生的綜合能力，而且可以考察學(xué)生解決實際問題的能力。例6:在一次人才招聘會上， A B兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每

8、年月工資比上一年月工資增加 230元；B公司允諾第一年月工資為 2000元，以后每年月工資在上一年的基礎(chǔ)上遞增 5%設(shè)某人年初被 A, B兩家公司同時錄用， 試問：1人在 A公司工作比在 B公司工作的月工資最多時可高出多少元（精確到 1元）？ 分析：由題意可知，此人在 A、B兩公司工作的第n年月工資數(shù)分別為= 1500 + 230 （n - 1） = 230 m十 1270 上.=2000 x 1.05 網(wǎng)可其中一_問題是該人在 A公司比在B公司工資每月高出部分的最大值故需要比較“和九F八 /（«）三口H 一2 三 230m- 2000 X 1.05%1 +1270可設(shè)一，：所以問題

9、轉(zhuǎn)化為研究函數(shù),（再）最大值因為當(dāng)理之2時/(«)-/(»-1)=230融-2000 x 1.05"-1-230(« - 1) - 2000 x 10葉= 230-100x105初特)-/5-1)>0,得: 105-3 <2 3界 <空巨十2±191即 4 1所以當(dāng)1三制三19時，/(聲)單調(diào)遞增，而當(dāng)題2 20時，/(題)單調(diào)遞減，因而當(dāng)總二19時,/有最大值 川9)= 4g -與=827 (計算器算出)。故此人在A公司工作比在 B公司工作的月工資最多時可高出827元。通過對以上實例的研究和分析，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置， 而且，在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的作用。因此，在教學(xué)實踐過程中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常?讓學(xué)生在這個情境中自覺領(lǐng)會和