2017年廣東省廣州市高考數(shù)學一模試卷(理科)(解析版)

1、第1頁（共27頁）2017年廣東省廣州市高考數(shù)學一模試卷（理科）一、選擇題：本小題共 12 題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.1 復數(shù)（1+i）2-的共軛復數(shù)是（）A. 1+i B. 1 - i C. 1+iD. 1- i2若集合 M=x| x| 1 , N=y|y=x2, | x| 1，貝 U（）A.M=N B.M? N C. N? MD.MAN=?13.已知等比數(shù)列an的各項都為正數(shù)，且 33,屯*刃成等差數(shù)列，則 J?的值是（）線 C 的左，右焦點，點 P 在雙曲線 C 上，且|PF1|=7,則|PR|等于（）A. 1B. 13 C. 4 或 10

2、 D. 1 或 13Cb0）的左、右焦點，橢圓 C 上存在點 P 使/RPR 為鈍角，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（）A. （，1） B. （=1）C. （0, ：一） D. （0,丄）9.已知 p： ? x0，ex- axv1 成立，q：函數(shù) f （x） =-（ a- 1）x是減函數(shù)， 則p 是 q 的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10. 九章算術中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐 P- ABC 為鱉臑,PA!平面 ABC，PA=AB=2 AC=4,三棱錐 P-A

3、BC 的四個頂點都在球 O 的球面上, 則球O 的表面積為（）A.8nB. 12nC. 20nD.24n11.若直線 y=1 與函數(shù) f（x）=2sin2x 的圖象相交于點 P（X1,y,Q（x2,y2）,|2TT且|X1-刈-，則線段 PQ 與函數(shù) f （x）的圖象所圍成的圖形面積是（）第3頁(共27頁)2 兀 l兀 L2 兀 L兀 LA. 十-:B. 一于 一：C.:- - : D. : -: - 12016v12 .已知函數(shù) f （x）= -討十亡，則 F諾汁）的值為（）A. 0 B. 504 C. 1008 D. 2016二、填空題：本小題共 4 題，每小題 5 分.13._已知|：|

4、=1, |，且；丄(；-E),則向量 7 與向量包的夾角是_.14.(3-x)n的展開式中各項系數(shù)和為 64,則 x3的系數(shù)為 _ (用數(shù)字填寫答 案)2x2,則實數(shù)a 的取值范圍I l-lo是_.16. 設 Sn為數(shù)列an的前 n 項和，已知 a1=2,對任意 p、q N*，都有 ap+q=ap+aq，則 f (n) = (n N*)的最小值為_ .n+1三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 如圖，在 ABC 中，點 P 在 BC 邊上，/ PAC=60, PC=2 AF+AC=4.(I)求/ ACP(n) 若厶 APB 的面積是匚丄，求 sin/ BAP.A18 .近

5、年來，我國電子商務蓬勃發(fā)展.2016 年“ 618 期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績 高達 516 億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和 服務的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計， 網(wǎng)購者對商品的滿意率為 6,對服務的滿意率為 0.75,其中對商品和服務都滿意 的交易為 80 次.(I)根據(jù)已知條件完成下面的 2X2 列聯(lián)表，并回答能否有 99%的把握認為網(wǎng) 購者對第4頁(共27頁)商品滿意與對服務滿意之間有關系”？對服務滿意對服務不滿合計意對商品滿意80對商品不滿意合計200(n)若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進行的3 次購物中，設

6、對商品和服務都滿意 的 次 數(shù) 為 隨 機 變 量X , 求X的 分 布 列 和 數(shù) 學 期 望E X .附：K2-n (ad-bc)2)Cc+d) (a+ri (Hd)(其中 n=a+b+c+d為樣本谷量)P (K2k)0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.63519. 如圖 1，在直角梯形 ABCD 中，AD/ BC, AB 丄 BC, BD 丄 DC,點 E 是 BC 邊的 中點，將 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD 丄平面 BCD,連接 AE, AC, DE,得到如 圖 2所示的幾何體.(I) 求證：AB 丄平面 ADC;(n)

7、若 AD=1,二面角 C- AB- D 的平面角的正切值為.門，求二面角 B-AD -E 的余弦值. 1 220.過點 P (a,- 2)作拋物線C:/=4y 的兩條切線，切點分別為 A (xi, yi), B (X2, y2).(I) 證明： xix2+yiy2為定值；(n)記厶 PAB 的外接圓的圓心為點M，點 F 是拋物線 C 的焦點，對任意實數(shù) a,試判斷以 PM 為直徑的圓是否恒過點 F?并說明理由.21.已知函數(shù) f (x) =lnx+于 0).第5頁(共27頁)(I)若函數(shù) f (x)有零點，求實數(shù) a 的取值范圍;(n) 證明：當 a二，b 1 時，f (Inb)丄.Bb選修

8、4-4:坐標系與參數(shù)方程22. 在直角坐標系 xOy 中，直線 I 的參數(shù)方程為-(t 為參數(shù))l.y=l+t點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 C：p=2】cos(I)求直線 I 的普通方程和曲線 C 的直角坐標方程；(n)求曲線 C 上的點到直線 I 的距離的最大值.選修 4-5:不等式選講23. 已知函數(shù) f (x) =|x+a- 1|+| x-2a| .(I)若 f (1)v3,求實數(shù) a 的取值范圍;(n)若 a 1, x R,求證：f (x)A2.在以坐標原兀一-).第6頁（共27頁）2017年廣東省廣州市高考數(shù)學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本小題共

9、12 題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.91 復數(shù)（1+i）2+-的共軛復數(shù)是（）A. 1+i B. 1 - i C. 1+i D. 1- i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出.【解答】解：（1+i）2+亍=2i+ =2i+1 i=1+i 的共軛復數(shù)是 1 i.故選：B.2.若集合 M=x| x| 1 , N=y|y=x2, | x| 1，則（）A.M=NB.M? N C. N? M D.MnN=?【考點】集合的表示法.【分析】化簡 N,即可得出結(jié)論.【解答】解：由題意，N=y|y=W，|x| 1=y| 0

10、y0，由題意和等差中項的性質(zhì)列出方 程，由等比數(shù)列的通項公式化簡后求出 q,由等比數(shù)列的通項公式化簡所求的式3.已知等比數(shù)列an的各項都為正數(shù)，且 33,St了 +a C-成等差數(shù)列，則一D0,T 出，二、成等差數(shù)列，n 22X 可耳二 ny1呂 4，貝 U 二曰 j + %，化簡得，q2-q -仁 0,解得 q=則，直屮 a 二勺+陶=1=或 7日 4+曰6幻 q+qJ 真十 2，故選 A.【分析】根據(jù)已知中的程序框圖可得，該程序的功能是計算并輸出變量k，n 的值，模擬程序的運行過程，可得答案.【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體，n=16，不滿足退出循環(huán)的條件，k=1 ； 第二次執(zhí)行循環(huán)體，n=4

11、9,不滿足退出循環(huán)的條件，k=2;第三次執(zhí)行循環(huán)體，n=148,不滿足退出循環(huán)的條件，k=3;4.閱讀如圖的程序框圖.若輸入n=5,貝U輸出k的值為（第8頁（共27頁）第四次執(zhí)行循環(huán)體，n=445,滿足退出循環(huán)的條件，故輸出 k 值為 3，故選：B5已知雙曲線 C：二的一條漸近線方程為 2x+3y=0, Fi，F(xiàn)2分別是雙曲 線 C 的左，右焦點，點 P 在雙曲線 C 上，且|PF1|=7,則|P 冏等于（）A. 1B. 13 C. 4 或 10 D. 1 或 13【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】由雙曲線的方程、漸近線的方程求出 a,由雙曲線的定義求出|PE|.【解答】解：由雙曲線的方程、漸

12、近線的方程可得 二=二，二 a=3.由雙曲線的定義可得| P 呵-7|=6,二| PF?|=1 或 13,故選 C.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的正視圖（等 腰直角三角形）和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為 |，則該幾何體的俯視圖可以是( )【分析】該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐 P-ABCD 作出圖形，可得結(jié)論.【解答】解：該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐 P-ABCD 如圖所示,該幾何體的俯視圖為 D.D.|.-第9頁（共27頁）【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【分析】求出基本事件的個數(shù)，即可求出沒有相鄰的兩個人站起來的概率.【解答】解：五

13、個人的編號為 1，2，3, 4，5.由題意，所有事件，共有 25=32 種，沒有相鄰的兩個人站起來的基本事件有 （1），（2），（3）（4），（5），（1，3），（1，4）（2，4），（2，5），（3，5），再加上沒 有人站起來的可能有 1 種，共 11 種情況, 沒有相鄰的兩個人站起來的概率為 丄二,故選：C.存在點 P 使/F1PF2為鈍角，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（）V21.V21A. （丁，1） B-（反，1）C （0,右）D. （0,匚）【考點】橢圓的簡單性質(zhì).7五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻 轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；

14、若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著.那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（）16A.B.1532C.1132D.8.已知 F1,冋分別是橢圓C：2 2七+=1 （a b 0）的左、右焦點，橢圓a b故選：D.第10頁（共27頁）【分析】由/ F1PF2為鈍角，得到？卜片V0 有解，轉(zhuǎn)化為 c2xo2+yo2有解，求 出X02+y。2的最小值后求得橢圓離心率的取值范圍.【解答】解：設 P （X0, y0）,則| X0|Va,第11頁(共27頁)又 Fi(- c, 0), F2(c, 0),又/ FiPb 為鈍角，當且僅當麗7藥v0 有解，即(-c-xo,yo)?(c-xo,-yo)=(-c-xo)

15、 (c-xo)+yo2v0,即有 c2xo2+yo2有解，即c?( xo2+yo2)min.又 yo2=b2- xo2,呂xo2+yo2=b2xo2 b2, a2),a即(xo2+yo2)min=b2. 故 c2b2, c2a2- c2,又 Ovev1,故選：A.9.已知 p： ? x0, ex- axv1 成立，q：函數(shù) f (x) =-( a- 1)x是減函數(shù)， 則 p 是 q的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】利用導數(shù)研究 p 的單調(diào)性可得 a0. q：函數(shù) f (x) =-( a- 1)x

16、是減 函數(shù)，則 a- 1 1,解得 a2.即可判斷出結(jié)論.【解答】解：P： ? x0, ex- axv1 成立，則 a 二一-，令 f (x)-，則 fxx,、esx-e+l(x)=-.x令 g (x) =exx- ex+1,則 g (0) =0, g( x) =xex 0，二 g (x) 0,. f( x) 0，二 a 0.，即eev1.第12頁(共27頁)q：函數(shù) f (x) =-(a- 1)x是減函數(shù)，貝Ua- 1 1,解得 a2. 則 p 是 q 的必要不充分條件.故選：B.10九章算術中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為 陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉

17、臑.若三棱錐 P- ABC 為鱉臑，PA 丄平面 ABC, PA=AB=2 AC=4,三棱錐 P-ABC 的四個頂點都在球 O 的球面上， 則球 O 的表面積為()A.8nB. 12nC. 20nD.24n【考點】球的體積和表面積.【分析】由題意，PC 為球 O 的直徑，求出 PC,可得球 O 的半徑，即可求出球 O 的表面積.【解答】解：由題意，PC 為球 O 的直徑，PC= =2，球 O 的半徑為口，球 O 的表面積為 4n?5=20n故選 C.11.若直線 y=1 與函數(shù) f (x) =2sin2x 的圖象相交于點 P (X1，y1)，Q (X2，y2)， |2TT且|X1- X2|-，

18、則線段 PQ 與函數(shù) f (x)的圖象所圍成的圖形面積是()2 兀 L兀 L2 兀 L兀 LA. -十：B.C.- :- - : D. - -:【考點】正弦函數(shù)的圖象.【分析】根據(jù)直線 y=1 與函數(shù) f (x) =2sin2x 的圖象相交于點 P (劉，y。，Q (X2, y2)，求解 X1, X2的值，利用定積分即可求解線段 PQ 與函數(shù) f (X)的圖象所圍成 的圖形面積.【解答】解：函數(shù) f (x) =2sin2x,周期 T=n,令 2sin2x=1，解得：x=QJ或二一兀 5 兀 13 兀12，P，,第13頁(共27頁)直線 y=1 與函數(shù) f (x) =2sin2x 的圖象相交于點

19、從左向右依次是第12頁（共27頁）T|X1-X2| =一13 兀X2=A. 0B. 504 C. 1008 D. 2016【考點】數(shù)列的求和.【分析】使用二項式定理化簡得 f（x） （x-寺）計.根今與營護三互為相反數(shù)便可得出答案.2016 ,1藥汁)苜016=504.故選：B.二、填空題：本小題共 4 題，每小題 5 分._兀13. 已知|創(chuàng)=1,幣 ，且倉丄（3-b）,則向量 n 與向量b的夾角是_三_.【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角.【分析】由條件利用兩個向量垂直的性質(zhì)、兩個向量的數(shù)量積的定義求得cos9JT3 叫2xi-2J (耳 2sin2xdx -2S假 2sin2K2,則實數(shù)

20、a 的取值范圍是_ 亠丄【I -匚、【考點】函數(shù)的值.【分析】根據(jù)解析式對 a 分類討論，分別列出不等式后，由指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性 質(zhì)求出實數(shù) a 的取值范圍.會，Xo 【解答】解：由題意知，f(x)=、|口y1當 a 2 為|21-a| 2,則 21-a2,即 1 - a1,解得 a 0 時，不等式 |f (a) | 2 為-：,則 1-1 口 耳,或 口呂;-2,第16頁(共27頁)即 Logj-l 或 1韻3,解得 0v 或 a8;綜上可得，實數(shù) a 的取值范圍是(嚴寺 2 & +),第17頁(共27頁)故答案為：yU 8(+8)16. 設 Sn為數(shù)列an的前 n 項和，已知 ai

21、=2,對任意 p、q N*,都有 ap+q=ap+aq, 則f (n) =r * (n N*)的最小值為千n+1_2 【考點】數(shù)列的求和.【分析】對任意 P、q N*,都有 ap+q=ap+aq,令 p=n, q=1,可得 an+i=an+ai,則-an=2,利用等差數(shù)列的求和公式可得 S. f (n)=i門*1門*11,令 g (x) =x+亍(x 1),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.【解答】 解： 對任意 p、 q N*,都有 ap+q=ap+aq,令 p=n, q=1,可得 an+1=an+a1,貝- an=2,數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為 2.g (x)單調(diào)遞減；x b.”

22、亠丿時，函數(shù) g (x)單調(diào)遞增.又 f (7) =14+當,f (8) =14 亡.-f(7)vf(8). f (n) = (n N*)的最小值為二.n+1I 故答案為：止.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 如圖，在 ABC 中，點 P 在 BC 邊上，/ PAC=60, PC=2 AF+AC=4.(I)求/ ACP二 =2n+-i -1 J2nt広怖 0則 f( n)=n+1X 2=n+n2.2亠二.-N-廣；n+1令 g (x) =x+60 y2-502 =2XX,可得 x 1, 一時，函數(shù)(x 1),則 g (x) =1 -第18頁(共27頁)(n) 若厶 A

23、PB 的面積是二止，求 sin/ BAP.第15頁（共27頁）【考點】余弦定理；正弦定理.【分析】（I）在厶 APC 中，由余弦定理得 AP2- 4AF+4=0,解得 AP=2 可得APC 是等邊三角形，即可得解.（H）法 1:由已知可求/ APB=120.利用三角形面積公式可求 PB=3.進而利 用余弦定理可求 AB,在厶 APB 中，由正弦定理可求 sin/ BAP= 的值. 法 2:作 AD 丄 BC,垂足為 D,可求：一 1 二.丄-一；，利用三角形 面積公式可求 PB，進而可求 BD，AB，利用三角函數(shù)的定義可求 宮鶻 和；，也二器二gg.利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求 sin / B

24、AP=sin （/ BAD- 30 的值.【解答】（本題滿分為 12 分）解：（I）在厶 APC 中，因為/ PAC=60，PC=2 AP+AC=4,由余弦定理得 PC2=AF2+AC2- 2?AP?AC?co/PAC 所以22=AP+ （4 -AP）2-2?AP? （4 -AP） ?cos60, 整理得 AP2- 4AP+4=0, 解得 AP=2. 所以 AC=2所以AAPC 是等邊三角形.所以/ ACP=60.（H） 法 1:由于/ APB 是厶 APC 的外角，所以/ APB=120. 因為 APB 的面積是卑色， 所以按臨in/AP歸器. 所以 PB=3. 在厶 APB 中， AB2=

25、AP2+PB2- 2?AP?PB?co/APB=Z+32- 2X2X3Xcos12019,所以ABPBsinZAPBsinZ BAP在厶 APB 中，由正弦定理得所以 sin/ BAP=!：第20頁(共27頁)法 2:作 AD 丄 BC,垂足為 D,因為AAPC 是邊長為 2 的等邊三角形，所以 1?_-亠-一:因為 APB 的面積是琴 I,所以寺執(zhí)二琴 所以 PB=3.所以 BD=4.在 RtAADB 中| 4,所以 sin機罟揃，eo 必 3 皿=普焉.所以 sin/ BAP=sin (/ BAD- 30=sinZBADcos30 - cos/ BADsin30 =匕- V192/1923

26、8 18 .近年來，我國電子商務蓬勃發(fā)展.2016 年“ 618 期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績 高達 516 億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和 服務的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計， 網(wǎng)購者對商品的滿意率為 6,對服務的滿意率為 0.75,其中對商品和服務都滿意 的交易為 80 次.(I)根據(jù)已知條件完成下面的 2X2 列聯(lián)表，并回答能否有 99%的把握認為網(wǎng) 購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”？對服務滿意對服務不滿合計意對商品滿意80第21頁(共27頁)對商品不滿意合計(n)若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進行的3 次

27、購物中，設對商品和服務都滿意的次數(shù)為隨機變量 X,求 X 的分布列和數(shù)學期望 EX.附：K2=廠1(其中n=a+b+c+d為樣本谷量)Cabb) (c+d) (a+cj (b+d)P (K2k)0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635【考點】獨立性檢驗的應用.【分析】(I)禾1用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出 X2,即可回答是否有 95%的 把握認為性別和對手機的認可”有關；(n)由題意可得 X 的可能值，分別可求其概率，可得分布列，進而可得數(shù)學期 望 【解答】解：(I)2X2 列聯(lián)表：對服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意8040120對商

28、品不滿意701080合計15050200_2 200X(80X10-40X70)K 150X 50X120X 302二11.111因為 11.111 6.635,所以能有 99%的把握認為網(wǎng)購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系 ”(n)每次購物時，對商品和服務都滿意的概率為 二，且 X 的取值可以是 0, 1,2, 3.；二I亠.X 的分布列為：X 0123200第18頁（共27頁）275436812542512512519.如圖 1，在直角梯形 ABCD 中，AD/ BC, AB 丄 BC, BD 丄 DC,點 E 是 BC 邊的 中點，將 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD 丄平面 B

29、CD,連接 AE, AC, DE,得到如 圖 2所示的幾何體.（I） 求證：AB 丄平面 ADC;（H）若 AD=1,二面角 C- AB- D 的平面角的正切值為，求二面角 B-AD -E 的余弦值.0 1S2【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.【分析】（I）證明 DC 丄 AB. AD 丄 AB 即可得 AB 丄平面 ADC.（n）由 （I） 知 AB 丄平面 ADC,即二面角 C- AB- D 的平面角為/ CAD 二面 角 C-AB-D 的平面角的正切值為，解得 AB,如圖所示，建立空間直角坐標 系 D-xyz，求出平面 BAD 的法向量一1 ：，平面 ADE 的法向量，

30、即可得 二面角 B- AD- E 的余弦值【解答】 解：（I） 因為平面 ABD 丄平面 BCD,平面 ABDA平面 BCD=BD又 BD 丄 DC,所以 DC 丄平面 ABD.因為 AB?平面 ABD,所以 DC 丄 AB.又因為折疊前后均有 AD 丄 AB, DCAAD=D,所以 AB 丄平面 ADC.（n）由（I）知 AB 丄平面 ADC,所以二面角 C- AB- D 的平面角為/ CAD. 又 DC丄平面 ABD, AD?平面 ABD,所以 DC 丄 AD.rri _第23頁(共27頁)依題意二匸二 .AB因為 AD=1，所以 |設 AB=x(x0),貝依題意 ABD-ABDC,所以二

31、辛，即中二,.AU BLI1VxT1解得，故齟=品 和二品氏二UBD+CEAS.如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz，貝UD ( 0, 0, 0) ,B 蚯 Of0)眄品0), E尊乎1)，礙,0,乎)，所以：- 二,；，：斗：.由(I)知平面 BAD 的法向量-.設平面 ADE 的法向量-.令:，得 x 廠匕門所以 I - -J:-u所以一由圖可知二面角 B-AD- E 的平面角為銳角, 所以二面角 B-AD- E 的余弦值為號.20.過點 P (a,- 2)作拋物線 C：x2=4y 的兩條切線，切點分別為 A (xi, yi),第24頁(共27頁)B (X2, y2)(I) 證明： xi

32、X2+yiy2為定值；(n)記厶 PAB 的外接圓的圓心為點M，點 F 是拋物線 C 的焦點，對任意實數(shù)a,試判斷以 PM 為直徑的圓是否恒過點 F?并說明理由.【考點】直線與拋物線的位置關系.【分析】(I)求導，求得直線 PA 的方程，將 P 代入直線方程，求得- ,，.-i, 同理可知 透-2 曰七-8=0 .則 xi，X2是方程 x2- 2ax- 8=0 的兩個根，則由韋達定 理求得 xix2，yiy2的值，即可求證 xix2+yiy2為定值；設切線方程，代入拋物線方 程，由 =0,則 kik2=-2，分別求得切線方程，代入即可求證 xix2+yiy2為定值；的垂直平分 線方程，求得 M

33、 坐標，拋物線 C 的焦點為 F ( 0, 1 )，則一O 22則于.則以 PM 為直徑的圓恒過點 F.【解答】解：(I)證明：法 1:由 x2=4y,得廠二，所以丁丄丁.所以直線PA 的斜率為丄 r .121 ?因為點 A (xi, yi) 和 B (X2, y2)在拋物線 C 上，所以丁二-，丁-二.151所以直線 PA 的方程為 Gr ).因為點 P (a,- 2)在直線 PA 上,1 1I-2所以-2尤右瓦耳一篡 1)，即i_2ax1-S=0.同理，透-2a 七-呂二 0 .所以 xi, x2 是方程 x2- 2ax- 8=0 的兩個根.所以 X1X2= 8.(n)直線PA的垂直平分線

34、方程為.，同理求得直線 PB第25頁(共27頁)所以 Xix2+yiy2= - 4 為定值.法 2：設過點 P (a,- 2)且與拋物線 C 相切的切線方程為 y+2=k (x-a),第21頁（共27頁）f y+2=k (x-a).，消去 y 得X -4kx+4ka+8=0,由厶=16k2-4 (4ak+8) =0,化簡得 k2- ak- 2=0.所以 kik2= 2.由 x2=4y,得尸，所以卩冷*所以直線 PA 的斜率為氐=寺巧，直線 PB 的斜率為 kgjrxg. 所以二:| 二;-二一 1,艮卩 X1X2= 8.p12 12 1/譏”又珥叱二花（勺七）凱，所以 xix2+yiy2= -

35、 4 為定值.y I -22巧畑（n） 法 1：直線PA的垂直平分線方程為 :-：x |由于旳弋打，廟-8 二 Z 曰“，I9xI所以直線 PA 的垂直平分線方程為 y：-=（x 一）.4 x 2所以以 PM 為直徑的圓恒過點 F.O2另法：以 PM 為直徑的圓的方程為（7 .1f. r . -.：| :；1L.1- -1-1.把點 F （0，1）代入上方程，知點 F 的坐標是方程的解.所以以 PM 為直徑的圓恒過點 F.法 2：設點 M 的坐標為（m, n）. 則厶 PAB 的外接圓方程為(x- m)2+ (y- n)2= ( m同理直線 PB 的垂直平分線方程為拋物線 C 的焦點為 F （

36、0, 1），一O 292由于：-!J ，一 冬？ 一則“！ /由解得第27頁(共27頁)- a)2+ (n+2)2, 由于點 A (xi, yi), B (X2, y2)在該圓上，則巧(y -n) J Grn-a) 4-(n+2 ),七二(n-a)莓(口十 2 )2.兩式相減得(xi- X2)(X1+X2- 2m) + (yi- y2)(yi+y2- 2n) =0,由(I )知 r +匸：rT二，-,丁 -二十了 -,代入 上式得 (戈-七)W 且-4 時 已-2an)二 0 ,當 xiMX2時，得 8a- 4m+a3- 2an=0,假設以 PM 為直徑的圓恒過點 F,則卜，即(-m, n -

37、 1) ? (- a, - 3) =0,得 ma- 3 (n 1) =0,由解得訐=丄 1 時，f (Inb).【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(I)法一：求出函數(shù) f (x)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出 f (x) 的最小值，從而求出 a 的范圍即可；法二：求出 a=-xlnx,令 g (x) =-xlnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 g (x)的最大 值，從而求出 a 的范圍即可；(U)令 h (x) =xlnx+a,通過討論 a 的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【解答】解：(I)法 1:函數(shù)-7-的定義域為(0, +X).由二 g 亡，得嚴工)#七

38、第28頁(共27頁)因為 a0,則 x(0,a)時，f(x)v0;x(a,+x)時，f(x)0.所以函數(shù) f (刈在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a, +x)上單調(diào)遞增.當 x=a 時，f (x) min=lna+1.當 Ina+1 0，則函數(shù) f (x)有零點. e所以實數(shù) a 的取值范圍為(0,丄.e法 2：函數(shù) fbXlmc的定義域為(0,+x).由 f(x)=lnx 宀， 得 a=- xlnx.令 g (x) =- xlnx,貝 U g (x) =-( Inx+1).當K(E丄)時，g (x)0；當 xEe因而函數(shù)代工)二 1 皿+旦有零點，貝 U和屯丄.xe所以實數(shù)a的取值范圍為J(U)證明：令 h (x) =xInx+a,貝Uh (x) =lnx+1. 當 0 x 0.所以函數(shù) h (x)在0.丄)上單調(diào)遞減，在宀9)上單調(diào)遞增.ee當 x#時，h仙斗十十. 于是，當 a二時，門：丄小二.令 (x) =xe-x，貝 U x) =e-x- xe-x=e-x(1 - x).當 0vxv1 時，f(x) 0;當 x 1 時，f(x)v0.所以函數(shù) (乂)在(0, 1)上單調(diào)遞增，在(1, +x)上單調(diào)遞減.當 x=1 時，血閃扁寺于是，當 x 0 時，匚.j 二：.顯然，不等式、中的等號不能同時成立.所以