平行四邊形判定,題型歸納

1、對角線取值范圍問題（同三角形第三邊中線取值范圍）平行四邊形一邊長為10, 一條對角線長為6,則它的另一條對角線長 a的取值范圍為（）A. 4<a<16 B , 14<a<26 C , 12<a<20 D , 8<a<32平行四邊形的判定：1:定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形2: 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形4:對角線相互平分的四邊形是平行四邊形14 .平行四邊形的判定（一）定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，四邊形 ABC比平行四邊形，連接 AC.過點A作AH B

2、C于點E;過點C作CF/ AE交AD于點F;求證：四邊形AECF為平行四邊形練習(xí)：1、已知：如圖， ABC是等邊三角形，D E分別是BA、CA的延 長線上 的點，且 AD=AE連接ED并延長至ij F,使彳3EF=EC,連接AF、CF、BE.（1）求證：四邊形BCFD是平 行四邊形；證明：（1） ; ABC為等邊三角形，且AE=AD,由題可知 / AED=/ ADE=Z EAD=60°EF/ BC,又= EC=EF,. ECF為等邊三角 形，即/ EFC=/ EDB=60° ,CF/ BD一四邊形BCFD為平 行四邊形.2、如圖：平行四邊形 ABCLfr, M N分別是AB

3、 CD的中點，AN與DM®交于點 P, BN與CMf交于點Q試說明PQ與MNS相平分。3、如圖，在四 邊形 ABCD中，AH、CGBE、FD分別 是/A、/C、/ B、/ D的角平分線，且BE/ FD, AH/ CG證明四邊形ABCD為平行四邊形.15 .平行四邊形的判定（二）：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，在 ABCM,延長 CD到E,使D& C口連接BE交AD于點F,交AC于點Go求證：AF= DF【答案】 解：（1）證明：如圖1,連接BD AE, 四邊形ABC比平行四邊形， .AB/ CD AB= CD> . DE= C口 AB/ DE AB

4、= DE，四邊形 ABD既平行四邊形。，AF= DF。練習(xí)：1、如圖，已知平行四邊形 ABCD過A作AMLBC于M,交BD于E,過C作CNLAD于N,交BD于F,連結(jié)AF、CE（1） 求證：四邊形 AECF為平行四邊形；【答案】（1）證明二四邊形 ABC比平行四邊形（已知），BC/ AD （平行四邊形的對邊相互平行）。又AM，BC （已知）,，AML AD.CNLAD （已知）,.AM/ CN . AE/ CE又由平行得/ ADEM CBD又 AD=BC（平行四邊形的對邊相等）。在4ADE和 4CBF 中， / DAEW BCF=90 , AD=CB / ADEW FBC.AD且ACBIC A

5、SA,，AE=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）2、如圖：在口 ABC葉，E,G,F ,H分別是四條邊上的點，且AE CF ,BG DH試說明：EF與GH相互平分.例題2:如圖，ABCffiADEtB是等邊三角形，點D在BC邊上，AB邊上有一點 F,且 BF=DC連接 EF、EB. (1)求證： AB草AACD (2)求證：四邊形 EFCD1平行四邊形練習(xí)：1、如圖 1,在zOAB中，/OAB=90 , /AOB=30 ,OB=8.以 OB為一邊，在AOA陟卜 作等邊三角形OBC,D OB的中點，連接AD并延長交OC于E.求點B的坐

6、標(biāo). 求證：四邊形ABCE1平行四邊形. 如圖2,將圖1中的四邊形ABCOff疊，使點C與點A重合，折痕為FG,求OG勺長.【解析】(1) . /AOB=30 ,OB=8, AB=4,OA=43,B(小區(qū)4).(2);OB久等邊三角形,.OC=OB=8.D點為OB的中點,.OD=4.又; AD是RtzXOAB斗邊的中線， . AD=OB=OD, ./ODA=180 -2 X30° =120° , . ./EDO=60 .又/ EOD=60 ,.OEM等邊三角形, . OE=4J E(0,4),CE=4,CE=ABR vCE/ AB,一四邊形ABCEt平行四邊形.(3) ga

7、=gc；.gA=gC.即 0G+0A=(0C-0G),0G2+(4q)2=(8-0G)2,.OG=1.16.平行四邊形的判定(三)：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點R C,分另1J以A C為圓心，BG AB長為半徑畫弧，兩弧交于點 D,分別連接AR AR CD,則四邊形 ABCDH定是1】A.平行四邊形B.矩形C.菱形 D.梯形練習(xí)：1、如圖，點A、B、C是坐標(biāo)平面內(nèi)不在同一直線上的三點，畫出以A、B、C三點為頂點的平行四邊形.例題2:如圖所示，試證明：四邊形PONM1平行四邊形.練習(xí)：1、在YABCM，分別以AD,BC為邊向內(nèi)作等邊 ADEf

8、fi等邊4BCF連接BE,DF.求證：四邊形BED笈平行四邊形.2、四邊形的四條邊長分別是 a、b、c、d,其中a、c為對邊，且滿足，則這個 四邊形一定是()A.平行四邊形B .兩組對角分別相等的四邊形C.對角線互相垂直的四邊形 D .對角線相等的四邊形3、等 邊八ABC中，點D在BC上，點E在AB上，且CD=BE以 AD為邊 作等邊 ADF,如圖.求證：四邊形CDFE是平行四邊形.4、如圖所示，以 ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形 ABR BCE ACF,猜想：四邊形ADEF是什么四邊形，試證 明你的 結(jié)論.證明：四邊形ADEF是平行四邊形.連接ED EF,.ABR ABCB

9、 ACF分別是 等邊三角形，AB=BD BC=BE / DBA=Z EBC=60° .丁. / DBE=/ ABC. . ABC ADBE.同理可證 ABC FEC,AB=EF, AC=DEv AB=AD AC=AF, AD=EE DE=AF.四邊形ADEF是平行四邊形17 .平行四邊形的判定(四)：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形例題1:已知A (2,3) B (-2,5 ), A、B點關(guān)于原點的對稱點分別為 C、D,依次 連接A、B、C、D點，則四邊形ABC此什么四邊形？例題2、如圖，在平行四邊形 ABCM,連接對角線 BD,過A C兩點分別作 AE BD于E 點，CF BD于

10、F點，求證：四邊形 AEC皿平行四邊形練習(xí):1、如圖是某市一公園的路面示意圖，其中，ABC虛平行四邊形，BE AC, DF AC, E、F是垂足，G H分別是BG AD的中點，連接 EG GF、FH, HE為公園中小路，問小明從 B地經(jīng)E地，H地到F地，與小強從 D地經(jīng)F地，G地到E地，誰的路程遠(yuǎn)？2、如圖所示，在 YABCD43, E、F是對角線AC上兩點，且 AF=CE,求證：四邊形 BEDF是 平行四邊形.3、如圖，在 YABCN,點M N是對角線 AC上的點，且 AM=CN, DE=BF,求證：四邊形 MFNE平行四邊形18 .坐標(biāo)平行四邊形知識點總結(jié)：若A、B C為已知點，則求一點D

11、與他們構(gòu)成平行四邊形， 則有三個點D1、D2、D3,則有D1=A+B-C D2=A+C-B D3=B+C-A (按照中點坐標(biāo)公式和對角線相互平分性質(zhì))例題1、已知點A(- 1, 0), B (2, -1), D (0, 1).請在直角坐標(biāo)系中找一點C與A、BC D四點構(gòu)成平行四邊形，則點C的坐標(biāo)為 -練習(xí)：1、若以A(, 0), B (2, 0), C (0, 1)三點為頂點要畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn). 第四象限2、已知點D與點A (8, 0), B (0, 6), C (a, - a)是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為.例題2、如

12、圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 RtAOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x 軸上，并且 OA OB的長分別是方程x2 7x 12 0的兩根(OA<0B),動點P從點A開始在 線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點 O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以 每秒2個單位長度的速度向點 A運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒.(1)求A、B兩點的坐 標(biāo)。(2)當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點 M,使以A P、Q M為頂點的四邊形是平 行四邊形 *存在，請直接寫出 M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由練習(xí): 1、如圖BC x軸于C點，BA 例于人點，B(3,4),四邊形ABC加直線EF折疊，

13、點A落在BC邊上的 G處，E、F分別在 AD AB上，且 AF=2. (1)求G點坐標(biāo)；(2)求直線 EF解析式；(3)點N在x軸上，直線EF上是否存在點 M使以M N、F、G為頂點的四邊形 是平行四邊形？若存在，請直接寫出 M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由19 .動點平行四邊形例題1:在四邊形ABCD中，AD/ BG且AD> BC,BC=6cmP、Q分別從A、C同時出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運動，幾秒后四邊形 ABQP 是平行四邊形？練習(xí)：1、如圖，在 ABC中,AB=AC,射線AM/ BC,點P從點A出發(fā)沿射線AM 運動，同時點Q從點B出

14、發(fā)沿射線BC運動，設(shè)運動時間為t (s).(1)連接PQ AQ PC,當(dāng)PQ經(jīng)過AC的中點D時，求證：四邊形AQCP 是平行四邊形;|一(2)若BC=6cm,點P速度為1cm/s，點Q的速度為4cm/s ,填空：當(dāng)t為 s時，以A、Q、G P為頂點的四邊形是平行四邊形；(1)證明：: D為AC中點,AD=CDv AM/ BC,丁. / PAC=/ ACB,在 ADP和 CDQ中，/ PAD= / DCQAD= CD/ ADP= /CDQ .ADPCDQ (ASA), PD=DQ又 = AD=CD)四邊形AQCP是平 行四邊形；(2)當(dāng)Q在線段BC上，AP=QC時，以A、Q C、P為頂點的四邊形

15、是 平行四邊形，|由題意得：t=6-4t ,解得：t二,當(dāng)Q在C的右邊時，AP=QC時，以A、。C、P為頂點的四邊形是平行四 邊形，由題意得：t=4t-6 ,解得：t=2 ,故答案為：或2;2、如圖，/ ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一 個動點(不與點B重合)，連接AD,彳BEXAD,垂足為E,連接CE,過 點E作EFLCE,交BD于F.(1)求證：BF=FD;(2)點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能， 請說明理由；如能，求出此時/ A的度數(shù).解：(1)在 RtzXAEB中，.AC=BC-1二 CE= AB2CB=CE丁. / CEB=/ CBE

16、vZ CEF=/ CBF=90° ,丁. / BEF=/ EBF, EF=BF.vZ BEF+/ FED=90° , / EBD+Z EDB=90° ,丁. / FED=/ EDF, v EF=FD.BF=FD.(2)能.理由如下：若四邊形ACFE為平 行四邊形，貝U AC/ EF, AC=EF,BC=BE . BA=BD /A=45° .當(dāng)/ A=45°時四邊形ACFE為平行四邊形.3、將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺( ABC的長直角邊與含450 角的三角尺( ACI)的斜邊恰好重合.已知A五2<3, P是AC上的一

17、個動點.(1)當(dāng)點P運動到/ ABC的平分線上時，連接 DP；求DP的長；(2)當(dāng)點P在運動過程中出現(xiàn)PD= BC時，求此時/ PDAB度數(shù)；(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，以D, P, B, Q為頂點的平行四邊形的頂點 Q恰好在邊BC上？求出此時DPBQ勺面積.34、直線y -x 6與坐標(biāo)軸分別父與點A、B兩點，點P、Q同時從。點出發(fā)， 4同時到達A點，運動停止。點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿O-B-A運動。(1)直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)；(2)設(shè)點Q的運動時間為t秒，OPQ勺面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。(3)當(dāng)S 48時，求出點P的坐標(biāo)，并直接寫出以點 Q P、

18、Q為頂點的平行四邊形 5的第四個頂點M的坐標(biāo)。20.性質(zhì)和判定綜合例題1、如圖E、F是四邊形ABCM對角線AC上的兩點，AF=CE DF=BE DF/ BE求證：(1)/AF陰/CEB ",(2)四邊形ABC虛平行四邊形.解：(1)因為 DF/ BE,所以 / AFD= /CEB 又因為 AF=CE DF=BE,所以 AF陰/CEB(2)由(1) AAFtDCEB 知 AD=BC / DAF= / BCE , 所以 AD/ BC ,所以四邊形ABCD平行四邊形.例題2:如圖，在 ABC中，/AC由90° , D是BC的中點，DH BG CEBD BF為鄰邊作平行四邊形BDE

19、F又APBE（點P、E在直線AB的同側(cè)）,如果BD 1AB ,那4么4PBC的面積與 ABC面積之比為【】A. 1 B. 3C. 1 D. -4554【答案】a【考點】平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟^點P作PH/ BC交AB于H,連接CH PF, PB . APBE :四邊形 APE配平行四邊形。. PEAB , 四邊形BDEF平行四邊形，. EFBD .EF/ AR a P, E, F 共線。設(shè) BD=a1.八- BD - AB , 二 PE=AB=4aPF=PE-EF=3a4v PH/ BG HB(=SkPBCo.PF/ AB,二四邊形 BFPH平行四邊形。. BH=PF=3a,/Sah

20、bc Saabc=BH AB=3a 4a=3: 4, S apbc: Saabc=3: 4。故選 D。練習(xí)：1、如圖， ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)任一點，PD/AB,PE/BC,PF/AC ,若 ABC周長為 12,求 PD+PE+PF化來源：學(xué)&M 刎 Z&X&X&K2、圖3是某城EC±BG BA/ DE, BD/ AE, EF=FC甲、乙兩人同時從 B站乘車 到F站，甲乘1市部分街道示意圖，圖中AF/ BC,路車，路線是B-A- E- F, 乙乘2路車，路線是B- AC-F.假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤時間相同， 那么誰先到達F點，？請說明理由.來源:Z§xx§E3、已知：如圖，四邊形ABC此平行四邊形，DEY(1)求證：乙AEMCFN 21世紀(jì)教育網(wǎng)(2)求證：四邊形BMDN!平行四邊形.【答案】證明：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形,.AB/ DC , AD/ BG/ E=Z F, / DABW BCD/ EAMg FCNX v AE=CF ., AAEIWACFN( ASA。(2).由(1