2019-2020年高中數(shù)學第2章平面解析幾何初步章末知識整合蘇教版必修

1、2019-2020 年高中數(shù)學第 2 章平面解析幾何初步章末知識整合蘇教版“數(shù)形結(jié)合”是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何中的“形”結(jié)合起來認識問題、理解問題并解決問題的思維方法，是人們的一種普遍思維習慣在數(shù)學上的具體表現(xiàn).數(shù)形結(jié)合一般包括兩個方面，即以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”解“形”.解析幾何研究問題的主要方法一一坐標法，就是數(shù)形結(jié)合的典范. 在本章的學習中主要體現(xiàn)在以下兩個方面：(1) 直線的方程中有很多概念，如距離、傾斜角、斜率等都很容易轉(zhuǎn)化成“形”，因此 題目中涉及這些問題時可以嘗試用數(shù)形結(jié)合來解決.(2) 與圓有關(guān)的最值問題、直線與圓的交點個數(shù)、圓與圓的位置關(guān)系等都可能用到數(shù)形 結(jié)合思想.例 1

2、 已知圓G：x2+y2= 4 和圓C2：x2+ (y 8)2= 4，直線y=x+b在兩圓之間(不與圓相交或相切)，求實數(shù)b的取值范圍.解：畫出示意圖如圖所示，直線y=x+b,即Q5x 2y+ 2b= 0.解得b= 3；| 16+ 2b|當直線與圓C2相切時，- -2,解得b= 5 或b= 11.5 + 4結(jié)合圖形可知 3b5.規(guī)律總結(jié)圓是一種幾何特征非常明顯的圖形.在解圓的有關(guān)問題時， 一般要根據(jù)題意在平面直角坐標系中畫出圖形，然后充分利用圖形解決問題.變式訓練1 .設(shè)點 Rx,y)是圓x2+ (y+ 4)2= 4 上的任意一點，貝U ,(x 1)2+(y 1)2的最大 值為_ .當直線與圓G

3、相切時，I2bl _25+ 4=2,、數(shù)形結(jié)合思想解析：因為點F(x,y)是圓x2+ (y+ 4)2= 4 上的任意一點，所以寸(x 1) +(y 1)表示點(1 , 1)與該圓上任意一點的距離.易知點(1 , 1)在圓x2+ (y+ 4)2= 4 外，如圖所示，所以(x 1)2+(y 1)2的最大值為(1 0)2+( 1 + 4)2+ 2= 26 + 2.答案：26 + 22.已知點A(3 , 1)，在直線y=x和y= 0 上各找一點M和N,使厶AMN勺周長最短，并求出最短周長.關(guān)于y= 0 的對稱點 Q3 , 1)，如圖所示.解：由點A(3 , 1)及直線y=x,可求得點A關(guān)于y=x的對稱

4、點B(1 , 3)，同理可得點A則AM+At+MN= BM+Ct+MN BC當且僅當B, M N, C四點共線時，AMN勺周長最短，為BC= 2 5.由點耳 1 , 3) ,C(3 , 1)可得直線BC的方程為 2x+y 5= 0.由嚴+y-5=0，得Iy=x,5x= 3,5y= 3.故點M的坐標為g, 3B52x+y 5= 0,令y= 0,得x=2,對于故點N的坐標為 f|, 0 . g丿故點,3 與點N；0 即所求，此時AMN勺周長最短，且最短周長為3丿、22 5.二、分類討論思想分類討論思想是數(shù)學的基本思想之一，其實質(zhì)就是把整體問題化為部分問題,從而增加題設(shè)的條件來解決問題.例 2過點R

5、 1,0) ,Q0, 2)分別作兩條互相平行的直線， 使它們在x軸上截距之 差的絕對值為 1，求這兩條直線方程.解：(1)當兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x= 1,x= 0,它們在x軸上截距之差的絕對值為1，滿足題意；(2)當直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為k,則兩條直線的方程分別為y=k(x+ 1) ,y=kx+ 2.2令y= 0,分別得x= 1,x= *I 2由題意1 +k= 1,即k= 1.所以這兩條直線的方程分別為y=x+ 1,y=x+ 2,即xy+ 1 = 0,xy+ 2= 0.綜上可知，所求的直線方程分別為x= 1,x= 0 或xy+ 1= 0,xy+ 2= 0.規(guī)律總結(jié)

6、研究直線要善于從斜率的角度去考慮問題，即從斜率存在和斜率不存在兩個方面分類討論這是隱含在題中的一個分類因素，易被忽視，也是犯“對而不全”錯誤的根源之一.變式訓練3.已知直線I: 4xysin0+ 1 = 0，求它的斜率及斜率的取值范圍.解：直線I的方程中y的系數(shù)是一 sin0,而 sin0的值域是1, 1 , sin0的值 可取零，但sin0= 0 的直線的斜率不存在，故視sin0為研究對象，分類討論.(1) 當 sin0= 0，即0=kn(k Z)時，n直線I的斜率不存在，傾斜角a= 2 ；(2) 當 sin0工 0，即0工kn(kZ)時，.、一 4直線I的斜率k=5 泊0?k的取值范圍為(

7、a, 4U4,+).三、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想在圓中應用較廣泛，求圓的方程、直線與圓的交點及圓與圓的交點等都要用到函數(shù)與方程思想.例 3 已知過點(3 , 0)的直線I與圓x2+y2+x 6y+ 3= 0 相交于P,Q兩點，且OPL OQ其中O為坐標原點)，求直線I的方程.分析：已知OPL OQ若設(shè)R X1, yj ,QX2,y2)，貝UX1X2+yty2= 0,由點P, Q在圓及直 線I上，可聯(lián)立方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系求解.解：設(shè)直線I的方程為x+ay 3 = 0,由題意知a*0.2 2x+y+x 6y+ 3 = 0, 由x+ay 3 = 0,2222即(a+ 1)x+ (a+ 6a

8、 6)x+ 3a 18a+ 9= 0,2 2 2 2由方程組(*)消去x，得(3 ay) +y+ 3 ay 6y+ 3 = 0，即(a+ 1)y (7a+ 6)y+ 15依題意知OPL 0Q所以X1X2+y1y2= 0.整理，得a2 6a+ 8= 0,解得a= 2 或a= 4,經(jīng)檢驗知a= 2 和a= 4 都滿足題意,所以直線l的方程為x+ 2y 3 = 0 或x+ 4y 3 = 0.規(guī)律總結(jié)函數(shù)思想的實質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點提出問題的數(shù)學特征，建立各變量間的函數(shù)關(guān) 系通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決.方程的思想多用于曲線方程的求解和兩直線位置關(guān)系的判定.變式訓練1 一4.已知

9、直線I:y=尹和兩個定點A(1 , 1) ,B(2 , 2)，問直線I上是否存在一點P,使 得|PA2+|PB2取得最小值，若存在，求出點P的坐標和|PA2+|PB2的最小值；若不存在，說明理由.解：假設(shè)存在一點P,使得|PA2+ |PB2取得最小值，設(shè)此點為P(2x。，X。)，則|PA2+|PB2= (2X0 1)2+ (X0 1)2+ (2X0 2)2+ (X0 2)2= 10X0 18x0+ 10.因為 xo R,所以當 X0= 1, 即點p的坐標為 5, w 時,(*)消去y,得x2+設(shè)P(xi,yi) ,QX2,y2)，貝UX1X2=23a 18a+ 9a2+ 1所以y1y2=15a

10、2+1將代入，得23a 18a+ 9a2+ 115a2+ 1=0.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想把代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，可使較復雜問題直觀化、具體化、簡單化，從而 使問題快速得到解決.PA+PB可取得最小值，且最小值為1910.例 4已知實數(shù)x,y滿足y=x2- 2x+ 2( Kx 1)，試求靂的最大值和最小值2y+ 3解：設(shè)y=x2 2x+ 2( Kxd得 P(x 1)2+(y 1)2A,即x2+y2 2x 2y+ 2A；，故所求最小值為；2019-2020 年高中數(shù)學第 2 章推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1合情推理自主練習蘇教版選修我夯基我達標1.對命題“對頂角相等”的說

11、法正確的是(kpAkwkpBR 2, 3)A.前提是對頂角，結(jié)論“相等”.B.前提是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“這兩個角相等”C .前提是“兩個角相等”，結(jié)論是“這兩個角是對頂角”D.前提是“兩個角相等”，結(jié)論是“兩個角全等”.思路解析 :把命題“對頂角相等”改寫成“如果兩個角是對頂角， 那么這兩個角相等” .所以 前提是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“這兩個角相等”.答案:B2.等差數(shù)列 1, 3, 5,-( 2n-1)的前 n 項和為()222A.n2B.(n+1)2C.(n-1)2D.n(n-1)思路解析：令前 n 項的和為 S,貝USI=1,S2=1+3=4=22,S3=1+3+5=9=3

12、2,S4=1+3+5+7=42.所以猜想 Sn=n2.答案：A23.若 f(n)=n +n+41(n N),下列說法中正確的是()思路解析：合情推理包括歸納推理和類比推理，而歸納推理是從特殊到一般的推理過程，而 類比推理是從特殊到特殊的推理過程 .答案：D5.(xx 年湖南省高考卷)設(shè) fo(x)=s in x,f1(x)=f o(x) , f2(x)=f i(x),fn(x)=fn-i (x),n N,則 f2OO5(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx思路解析:(sinx) =COSX,(COSX)= -sinx,(-sinx) =-COSX,(- cosx) =

13、sinx,由此可知，其周期為4,故可得 fn+4(x)= =fn(x)故猜測 fn(x) 是以 4 為周期的函數(shù)，有 f4n+1(x)=f(1)=cosxf4n+2(x)=-sinx f4n+3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f(4)=sinx.答案 :C6. ( xx 年廣東高考卷)設(shè)平面內(nèi)有 n 條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用 f(n)表示這 n 條直線交點的個數(shù)，則 f(4)=_ ,當 n4 時，f(n)=_ .( 用 n 表示)思路解析 :f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以歸納出每增加一條直線，交點增加的個數(shù)為

14、原有直線的條數(shù) . 所以有 f(3)-f(2)=2， f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜測得出 f(n)-f(n-1)=n-1,有 f(n)-f(2)=2+3+4+(n-1) f(n )= (n+1)(n-2)A.f(n) 可以為偶數(shù)B.f(n)C.f(n) 一定為質(zhì)數(shù) 思路解析：f(1)=43,f(2)=2 是奇數(shù) .D.f(n)必為合數(shù) .2 2 22+2+41=47， f(3)=32+3+41=53， f(4)=42+4+41=71,猜想 f(n) 一定答案：B4. 下列說法中正確的是()A.合情推理就是正確的推理B.合情推理就是歸納推理C歸納推理是從一般到特殊的推理過程

15、D. 類比推理是從特殊到特殊的推理過程因此，f(4)=5,f(n)=(n+1)(n豐2)答案 :f(4)=5 f(n)=(n+1)(n-2).7. 已知數(shù)列an的第 1 項 a1=1,且 an+1=(n=1,2,)，試用歸納法歸納出這個數(shù)列的通次公式.解： a1=1,1214當 n=2 時，a2=觀察可得，數(shù)列an的前 4 項都等于相應序號的倒數(shù)，由此我們可以猜測，這個數(shù)列的通項 公式為 an=.8.應用歸納推理猜測的結(jié)果解：當 n=1 時，=3當 n=2 時，=33當 n=3 時，=333當 n=4 時，=3 333觀察可得111111 -2222 =3333 2n個1n個2n個39.找出圓

16、與球的相似之處，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)(1 )圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦；(2 )與圓心距離相等的弦也相等；(3) 圓的周長 C=nd (d 為圓心直徑);(4) 圓的面積 S=nr2.解: (1)圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點構(gòu)成的集合，球面是一空間中到定點的距離等于定長的所有點構(gòu)成的集合 (2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對稱圖形，球是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測球的有關(guān)性質(zhì)：圓球(1 )圓心與弦(非直徑)中點的連線 垂直于弦球心與截面圓(不過球心的小截面圓)圓心的連線 垂直于截面(2)與圓心距離相等的弦長相等與球心的距離相等的兩

17、個截面圓的面積相等(3)圓的周長 C-nd2球的表面積 S=nd2圓的面積 S=nr球的體積 V=(5)圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周 長函數(shù)，即(nr2) =2nr,球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù).()=4nr2我綜合我發(fā)展10. (xx 年廣東高考卷，10)對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d)，規(guī)定：(a,b)= (c,d),當且僅當 a=c,b=d 時成立；運算”為：(a,b) (c,d)=(ac-bd,bc+ad), 運算”為(a,b)(c,d)=(a+c,b+d), 設(shè) p、q R 若(1, 2) ( p、q)=(5,0),則(1, 2) ( p、q)=()A. (4、0)

18、 B. (2、0)C.(0、2) D. (0, -4 )思路解析：利用類比推理得：由(1,2)(p,q)=(5,0) 得當 n=3 時,as=當 n=4 時， a4=1214所以(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)答案:B11. 如圖 2-1-2 中的三角形稱為謝賓斯基三角形，在下面 3 個三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前 3 項，則這個數(shù)列的一個通項公式是A A A圖 2-1-2思路解析：這 3 個三角形中著色三角形的個數(shù)依為1 , 3, 9,則所示數(shù)列的前 3 項都是 3 的指數(shù)幕，指數(shù)為序號減1,所以數(shù)列的一個通項為an=3n-1答案:an=312.(

19、xx 年廣東高考卷，14)在德國不來梅舉行的第48 屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第 1 堆只有一層，就一個球；第 2, 3, 4，堆最底層(第一層)分別按圖2-1-3 所示方式固定擺放.從第二層開始，每層的木球自然壘放在下一層之上，第n 堆第 n 層就放一個乒乓球.以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=_;f(n)=_ .( 答案用 n 表示)圖 2-1-3思路解析：f(1)=1,觀察圖象可知 f(2)=4,f(3)=10, f(4)=20,下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層個數(shù)， 而第一層的個數(shù)滿足1 , 3, 6, 10,通項公式是. f(5)=f(4)+15=35.答案:10,.13. 類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)解：(1)兩個實數(shù)經(jīng)過加法運算或者乘法運算后，所