平面向量的數(shù)乘和運(yùn)算律

1、平面向量的數(shù)乘和運(yùn)算律一、平面向量的數(shù)乘和運(yùn)算律1、向量的加法求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。注：向量的和仍是一個向量；對零向量與任一向量$boldsymbol a$,有 $boldsymbol 0+boldsymbol a=boldsymbol a+boldsymbol O=boldsymbol a$,即任 意向量與零向量的和為其本身。常用結(jié)論$boldsymbol 0+boldsymbol a=boldsymbol a+boldsymbol O=boldsymbol a$, $ boldsymbol a+boldsymbol b leqslant boldsymbol a I + &#

2、39;boldsymbol b；So當(dāng)$1?01:15丫1111)01 &$與$世01(15丫1101 b$同向時，S boldsymbol a+boldsymbol b =|boldsymbol a|+lboldsymbol b $°當(dāng)$讓01(15丫1111)01 &$與$世01(15丫1101 b$反向或$boldsymbol aS, $boldsymbol 6$中 至少有一個為$boldsymbol 0$時，S boldsymbol a+boldsymbol b |=$S boldsymbol a -| boldsymbol b $ (boldsymbol b

3、 -I boldsymbol a $) 0向量加法的運(yùn)算律交換律：$boldsymbol a+boldsymbol b=boldsymbol b+boldsymbol aS .結(jié)合律：$ (boldsymbol a+boldsymbol b)+boldsymbol c=boldsymbol a+(boldsymbol b+boldsymbol c)So2、向量的減法求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。注：減去一個向量，相當(dāng)于加上這個向量的相反向量，兩個向量的差仍是向量。常用結(jié)論$一(一boldsymbol a)=boldsymbol a$» $boldsymbol a+("

4、boldsymbol a)=(" boldsymbol a)+boldsymbol a=boldsymbol OS, $boldsymbol a-boldsymbol b=boldsymbol a+ ("boldsymbol b) $<.3、向量的數(shù)乘一般地，我們規(guī)定實數(shù)$人$與向量$boldsymbol a$的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做 向量的數(shù)乘，記作$人boldsymbol a$。它的長度與方向規(guī)定如下： $! Xboldsymbol a =1 X |boldsymbol a $。 當(dāng)$人二0$時,$ X boldsymbol a=0$：當(dāng)$人0$時,$ X b

5、oldsymbol $的方向與 $boldsymbol a$的方向相反;當(dāng)$人0$時,$ X boldsymbol a$的方向與$，1(157111向1 a$的方向相同。向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是向量。實數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如 $ X +boldsymbol a$, $ X -boldsymbol a$無意義°向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)$入$, $U$為實數(shù)，則有：$ X ( n boldsymbol a) = ( X ji) boldsymbol aS (結(jié)合律)。$ ( X + 11) boldsymbol a=' boldsymbol a+ 口 boldsymbo

6、l a$ (第一分配律)。$ 入(boldsymbol a+boldsymbol b) = X boldsymbol a+ X boldsymbol b$ (第二分 配律)。特別地，我們有：$ (" X ) boldsymbol a="( X boldsymbol a)=X (-boldsymbol a)$。$ X (boldsymbol a-boldsymbol b) = Xboldsymbol a- Xboldsymbol bSo4、向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對于任意向量$boldsymbol a$, $boldsymbol b$ 以及任

7、意實數(shù) $人$, $U_1S, $U_2$,恒有$ 人(口 _lboldsymbol a± U _2boldsymbol b)=$ 入 x _lboldsymbol a±入 U _2boldsymbol b$°二、平面向量的數(shù)乘的相關(guān)例題已知$boldsymbol a$, $boldsymbol bS均為單位向量，若$ | boldsymbol ar 2boldsymbol b I =sqrt 3 $則向量$ boldsymbol a $與$ | boldsymbol b $的夾角為A. $frac 6 $ B. $frac 3$ C. Sfrac 2 n 3 $ D. $frac5 6$答案：B解析：由$ I boldsymbol a-2boldsymbol b =sqrt 3 $得S (boldsymbol a" 2boldsymbol b)2=3$, E|J$boldsymbol a " 2+$S4b * 2"$4boldsymbol a boldsymbol b二$3,設(shè)單位向量$bo