2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例：用樣本估計(jì)總體學(xué)案

1、【考點(diǎn)梳理】1.頻率分布直方圖（1）頻率分布表的畫(huà)法:第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間; 第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）.2.莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊 生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).3樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數(shù)x1 |X2 x樣本數(shù)據(jù)的

2、算術(shù)平均數(shù)，即x=nn方差1 S2=n(XLX)2+ (X2x)2+(xn-X)2，其中S為標(biāo)準(zhǔn)差【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、莖葉圖及其應(yīng)用用樣本估計(jì)總體第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距=極差組數(shù);橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示組距2【例 1】某市為了考核甲、乙兩部門(mén)的工作情況，隨機(jī)訪問(wèn)了對(duì)這兩部門(mén)的評(píng)分(評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下:甲部門(mén)ZSn434so97!12246677789Q766521 1 0601 1 23 46JSH98877766555554443332100riDOI 13449665 5 20()I2334S63222D9011456JU(1) 分別估計(jì)該市的市

3、民對(duì)甲、乙兩部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)；(2) 分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)分高于90 的概率；(3) 根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)價(jià)解析 (1)由所給莖葉圖知， 50 位市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分由小到大排序， 排在第 25， 26 位 的是 75, 75，故樣本中位數(shù)為 75,所以該市的市民對(duì)甲部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50 位市民對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分由小到大排序，排在第 25, 26 位的是 66，68,故樣本中位數(shù)為66尹 =67,所以該市的市民對(duì)乙部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.一一 一58(2) 由所給莖葉圖知，50 位市民對(duì)甲、乙部門(mén)的評(píng)分高于90 的比率分別為0.1 ,=5

4、0500.16，故該市的市民對(duì)甲、乙部門(mén)的評(píng)分高于90 的概率的估計(jì)值分別為0.1 , 0.16.(3) 由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門(mén)的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大【類(lèi)題通法】1 莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況.2. (1)作樣本的莖葉圖時(shí)先要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)確定莖、葉，再作莖葉圖；作“葉”時(shí)，要做到不重不漏，一般由內(nèi)向外，從小到大排列，便于數(shù)據(jù)的處理(2)根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)數(shù)字特征進(jìn)行分析判

5、斷考查識(shí)圖能力，判斷推理能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)；解題的關(guān)鍵是抓住“葉”的分布特征，準(zhǔn)確提煉信息【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)甲紐乙組50 位市民.根據(jù)這 50 位市民=36 000.390917424已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x+y的值為_(kāi)答案13解析由莖葉圖及已知得x= 5，又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8 ,9+ 15+ 10 +y+ 18 + 24即5= 16.8，解得y= 8,因此x+y= 13.考點(diǎn)二、頻率分布直方圖【例 2】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查

6、.通過(guò)抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5 , 1),4 , 4.5分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1) 求直方圖中a的值；(2) 設(shè)該市有 30 萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)，說(shuō)明理由；(3) 估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).解析(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0,0.5)內(nèi)的頻率為 0.08X0.5 = 0.04.同理，在0.5 , 1) , 1.5 , 2) , 2 , 2.5) , 3 , 3.5) , 3.5 , 4) , 4 , 4.5等組的頻率分別為 0.08 , 0.21 , 0.2

7、5 , 0.06 , 0.04 , 0.02.由 1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5Xa+0.5Xa,解得a= 0.30.(2)由(1)知，該市 100 位居民中月均用水量不低于3 噸的頻率為 0.06 + 0.04 + 0.02 = 0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30 萬(wàn)居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)為 300 000X0.12因?yàn)榍?5 組的頻率之和為 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.21 + 0.25 = 0.730.5.=230.24(3)設(shè)中位數(shù)為x噸又前 4 組的頻率之和為 0.04 + 0.08 + 0

8、.15 + 0.21 = 0.480.5.所以 2x0.5.=230.25(2)月平均用電量的眾數(shù)是220+ 240直方圖中x的值為 0.007 5.206/ (0.002+0.009 5+0.011)X20=0.45y，因此可看出 A 藥的療效更好.(2)由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：A 藥B 藥60.5 5 6 8 98 5 5 2 21 .1 2 2 3 4 6 7 8 99 8 7 7 6 5 4 3 3 2 21 4 5 6 75 2 1 03.2從以上莖葉圖可以看出，A 藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有 工的葉集中在莖 2，3 上，而 B 藥療效的10試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖 0，1 上，由此可看出

9、 A 藥的療效更好10【類(lèi)題通法】1 平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的中心，是平均水平，而方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波 動(dòng)大小進(jìn)行平均數(shù)與方差的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式2.平均數(shù)與方差所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，一般可以通過(guò)比較甲、乙兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的差異，對(duì)甲、乙兩品種可以做出評(píng)價(jià)或選擇【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】某車(chē)間 20 名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：9年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305311323101Ail20(1)求這 20 名工人年齡的眾數(shù)與極差；20 名工人年齡的莖葉圖；30;這 20 名工人年齡的極差為 40 19= 21.20 名工人年齡的莖葉圖如下：990 11112 2 2(19+28X3+29X3+30X5+31X4+32X3+40)-20=123232524232120(30 19) + 20(30 28) + 20(30 29) + 方(30 30) + 習(xí)(30 31) + 無(wú)(30 32