三角形的五心

1、三角形的五心三角形的五心一、外心 . 三角形外接圓的圓心，簡稱外心 . 與外心關(guān)系密切的有圓周角定理 . 圓周 角定理: 同弧所對圓周角是圓心角的一半 . 證明略分類思想 ,3 種, 半徑相等 圓周角推 論1:半圓弧和半徑所對圓周角是 90' . 90 '圓周角所對弦是直徑.常用輔助線：已 知直徑，作其所對圓周角；90 '圓周角,作其所對弦,即直徑.圓周角推論2:同 等 弧所對圓周角相等 . 同等 圓中, 相等的圓周角所對弧相等 .二、重心 三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心 . 掌握重心將每 條中線都分成 定比2:1及中線長度公式，便于解題.中線長度公式：在三角形

2、ABC中，D為BC上的中 點(diǎn)，設(shè) BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=那么有 2m2+n2=a2+b2三、垂心 三角形的三條高線交于一點(diǎn) . 三角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心 .銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心在三角形外。四、內(nèi)心 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形例：O O是厶ABC的內(nèi)切圓， ABC是OO的一個(gè)外切三角形，點(diǎn) O叫做 ABC的內(nèi)心.張角公式:,設(shè)點(diǎn)C在線段AB上,AB外一點(diǎn)P 對線段AC、BC的張角分別為 丫、卩,那么sin 丫 +3 /PC=sin 丫 /

3、PB+sin卩/PA.三角形內(nèi) 角平分線性質(zhì)定理 : 三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。1. 內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心；2. 內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；3. 內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)4. 內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部；5. 內(nèi)切圓的半徑一般通過面積方法來解決五、旁心 與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁心 .例：圖中O 01、O02 O03都是 ABC的旁切圓，點(diǎn) 01、 02 03叫做 ABC的旁心.三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)， 這個(gè)交點(diǎn)到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等，就是三

4、角形的旁心. 三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心 .重心定理 : 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的 2 倍 上述交點(diǎn)叫做三角形的重心 . 在坐標(biāo)上是三頂點(diǎn)坐標(biāo)之和的三分之一 外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn) 這點(diǎn)叫做三角形的外心 .垂心定理 三角形的三條高交于一點(diǎn) 這點(diǎn)叫做三角形的垂心 . 內(nèi)心定理 三角形的 三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn) 這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心 .旁心定理 三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn) 這點(diǎn)叫做三 角形的旁心三角形有三個(gè)旁心三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱為三角形的五心它們都是三角形的重要相關(guān)點(diǎn)數(shù)學(xué)中，既有大小又有方向的量

5、叫做向量亦稱 矢量。注：在線性代數(shù)中的向量是指n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組，稱為n維向量。a = al,a2,，an 稱為n維向量.其中ai稱為向量a的第i個(gè)分量。"a1"的"1"為a的下標(biāo)，"ai"的"i"為a的下標(biāo),其他類推。在C+中，也有向量。1、代數(shù)表示：一般印刷用黑體小寫字母a、卩、y或a、b、c等來表示，手寫用在 a、b、c等字母上加一箭頭表示。2、幾何表示：向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。假設(shè)規(guī)定線段AB 的端點(diǎn) A 為起點(diǎn)，B 為終點(diǎn)，那么線段就具有了

6、從起點(diǎn) A 到終點(diǎn) B 的方向和長度。這種具有方向和長度的線 段叫做有向線段。 3 、坐標(biāo)表示： 1 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 x 軸、 y 軸方向 相同的兩個(gè)單位向量 i ， j 作為一組基底。 a 為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原 點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量OP=a由平面向量根本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù) x , y ,使得 a=向量OP=xi+yj，因此把實(shí)數(shù)對x , y 叫做向量a的坐標(biāo)，記作a= x , y 。這 就是向量 a 的坐標(biāo)表示。其中 x ， y 就是點(diǎn) P 的坐標(biāo)。向量 OP 稱為點(diǎn) P 的位置向 量。2在立體三維坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸,z軸方向相同的3個(gè)單位向量i

7、, j, k 作為一組基底。假設(shè) a 為該坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為起點(diǎn)作向量 OP=a。 由空間根本定理知，有且只有一組實(shí)數(shù)x , y, z ，使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把實(shí)數(shù)對 x ， y, k 叫做向量 a 的坐標(biāo)，記作 a= x ， y, z 。這就是向量 a 的坐標(biāo)表 示。其中 x ， y, k , 也就是點(diǎn) P 的坐標(biāo)。向量 OP 稱為點(diǎn) P 的位置向量。 3 當(dāng)然, 對于空間多維向量 , 可以通過類推得到 , 此略. 向量的模和向量的數(shù)量 向量的大小，也 就是向量的長度 或稱模 。向量 a 的模記作 |a| 。 注： 1 、向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，是可 以比

8、擬大小的。 2 、因?yàn)榉较虿荒鼙葦M大小，所以向量也就不能比擬大小。對于向量來說“大于和“小于的概念是沒有意義的。例如，“向量AB洞量CD是沒有意義的。編輯本段各種向量單位向量 長度為單位 1 的向量，叫做單位向量與向量 a 同向且長度 為單位 1 的向量，叫做 a 方向上的單位向量，記作 a0， a0=a/|a| 。 零向量 長度為 0 的 向量叫做零向量，記作 0零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)重合，所以零向量沒有確定的方向，或說 零向量的方向是任意的。 相等向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量 a 與 b 相等，記作 a=b 規(guī)定：所有的零向量都相等 當(dāng)用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以 任意選取

9、。任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的 起點(diǎn)無關(guān)同向且等長的有向線段都表示同一向量。 自由向量 始點(diǎn)不固定的向量，它可 以任意的平行移動，而且移動后的向量仍然代表原來的向量。 在自由向量的意義下，相 等的向量都看作是同一個(gè)向量。 數(shù)學(xué)中只研究自由向量。 滑動向量 沿著直線作用的向 量稱為滑動向量。 固定向量 作用于一點(diǎn)的向量稱為固定向量亦稱膠著向量。 位置 向量 對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn) P ，我們把向量 OP 叫做點(diǎn) P 的位置向量，記作：向量 P 。 方向向量 直線 l 上的向量 a 以及與向量 a 共線的向量叫做直線 l 上的方向向量 相反向量 與 a 長

10、度相等、方向相反的向量叫做 a 的相反向量，記作 -a 。有 - -a =a； 零向量的相反向量仍是零向量。 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行或共線 向量.向量a、b平行共線，記作a II b .零向量長度為零，是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的 向量，其方向不確定，我們規(guī)定：零向量與任一向量平行 平行于同一直線的一組向量 是共線向量。假設(shè) a=x,yb=m , n。a/b=>a b=xn-ym=O共面向量 平行于同一平面的三個(gè)或多于三個(gè)向量叫做共面向量。 空間中的向量有且只有以下兩種位置關(guān)系：共面；不共面。只有三個(gè)或三個(gè)以上向量才談共面不共面。法向量直線I丄a ,取直線l的方向向量a，那么向

11、量a叫做平面a的法向量。編輯本段向量的運(yùn)算 設(shè) a=x ， y ， b=x' ， y'。 1 、向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法那么和三角形法那么。 AB+BC=AC。 a+b=x+x' ， y+y' 。 a+0=0+a=a。 向量加法的運(yùn)算 律： 交換律： a+b=b+a； 結(jié)合律： a+b+c=a+b+c 。 2 、向量的減法 如果 a 、 b 是互 為相反的向量，那么 a=-b， b=-a， a+b=0. 0 的反向量為 0 AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指 向被減 a=x,yb=x ',y'貝V a-b=x-x',y-y

12、'. 3、數(shù)乘向量 實(shí)數(shù)入和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作 入a,且I入a I =1入ll al。 當(dāng)入0時(shí)，入a與a同方向； 當(dāng)入v0時(shí)，入a與a反方向；當(dāng)入=0時(shí)，入a=0,方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)入，都有入a=0。注：按定義知，如果 入a=0,那么入=0或a=0。實(shí)數(shù)入叫做向量a 的系數(shù)，乘數(shù)向量 入a的幾何意義就是將表示向量 a的有向線段伸長或壓縮。當(dāng)I入I> 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向入> 0或反方向入v 0上伸長為原來的 I入I倍；當(dāng)I入Iv 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向入>0或xx反方向 入v 0上縮短為原來的I入I倍。數(shù)與向量的乘

13、法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：入a b=入a b=a 入b。向量對于數(shù)的分配律第一分配律：入+ 口 a=入a+口 a.數(shù)對于向量的分配律第二分配律：入a+b=入a+入b.數(shù)乘向量的消去律：如果實(shí)數(shù) 入工0且入a=入b,那么a=b。如果a工0且入a= a,那么 入=口。4、向量的數(shù)量積 定義：兩個(gè)非零向量 a,b。作OA=a,OB=b那么角AOB稱作 向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定0w a,b > < n定義：兩個(gè)向量的數(shù)量 積內(nèi)積、點(diǎn)積是一個(gè)數(shù)量，記作 a bo假設(shè)a、b不共線，那么a b=|a| |b| cosa , b；假設(shè)a、b共線，那么a b=+- I a I I b

14、I。 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a b=x x'+y y'。 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 a b=b a 交換律；入a b=入a b關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律 ；a+b c=a c+b c 分配律；向量的數(shù)量積的性質(zhì) a a=|a|的平方。 a丄b => a b=0。 |a b| < |a| |b|。(該公式 證明如下：|a b|=|a| |b| |cos a | 因?yàn)?Ow |cos a | < 1 所以 |a b| < |a| |b| )向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a b) cz a (b c);例如：(a b)A2工aA2

15、 bA2o2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a b=a c (a 工0)，推不出 b=c。 3、|a b| 工 |a| |b| 4、由 |a|=|b|,推不出 a=b 或 a=-b o 5 、向量的向量積 定義：兩個(gè)向量 a 和 b 的向量積(外積、叉積) 是一個(gè)向量，記作axb (這里并不是乘號，只是一種表示方法，與“ 不同，也可記 做 “A")。假設(shè) a、b 不共線，那么 ax b 的模是：l ax b I =|a| |b| sin a , b >； ax b的方向是：垂直于 a和b，且a、b和ax b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。假設(shè)a、b共線，那么ax b=|a|b| 。向

16、量的向量積性質(zhì)：I ax b I是以a和b為邊的平行四邊形面積。 axa=0。 a 垂直 b => axb=|a|b| 。 向量的向量積運(yùn)算律 axb=-bxa ；(入 a)x b=入(ax b ) =ax(入 b)； ax( b+c) =ax b+ax c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD是沒有意義的。6、三向量的混合積 定義：給定空間三向量a、b、c ,向量a、b的向量積ax b，再和向量c作數(shù)量積(a x b) c，所得的數(shù)叫做三向量 a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a x b) c混合積具有下 列性質(zhì)： 1、三個(gè)不共面向量

17、a 、 b 、 c 的混合積的絕對值等于以 a 、 b 、 c 為棱的平行六面體的體積 V ，并且 當(dāng) a 、 b 、 c 構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng) a 、 b 、 c 構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)， 即(abc)= e V (當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)& =1;當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)& =-1 ) 2、上性質(zhì)的推論：三向量 a 、 b 、 c 共面的充要條件是 (abc)=0 3 、 (abc)=(bca)=(cab)=- (bac)=-(cba)=-(acb)4 、(a x b) c=a (b x c) 7、三向量的二重向量積由于二重向量叉乘的計(jì)算較為復(fù)雜，于是直接給出了

18、以下化簡公式以及證明過程：向量的三角形不等式 1 、II a I -I b IIwI a+bIwI a I +I b I； 當(dāng)且僅當(dāng) a 、 b 反向時(shí)，左邊取等號； 當(dāng) 且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號。2、II a I - I b I I<Ia - b I<I a I + I b I。當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號；當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號。編輯本段定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式(向量 P1P=X 向量PP2)設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是I上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。那么存在一個(gè)任意實(shí)數(shù)入且入不等于-1，使 向量P1P=X 向量PP2,入叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。假設(shè)P1 (x1,y1),P2(x2,y2) , P(x,y)，那么有 0P=(0P1 +入 OP2)/(1+ 入);(定比分點(diǎn)向量公式)x=(x1+ 入x2)/(1+入),y=(y1+入y2)/(1+入)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2的定比分點(diǎn)公式 三點(diǎn)共線定理 假設(shè)OCn OA + 口 OB ,且入+ 口 =1 , 那么A、B、C三點(diǎn)共線 三角形重心判斷式 在厶ABC中，假設(shè) GA