[高二數(shù)學(xué)]范文橋總結(jié)圓錐曲線的解題全面方法

1、.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題解法面面觀匯編：范文橋圓錐曲線解答題中的十一題型：幾乎全面版題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點的問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值、最值問題問題八：直線問題問題九：對稱問題問題十、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（簡單題型未總結(jié)）題型二：弦的垂直平分線問題例題1、過點T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點，在x軸上是

2、否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得即 由韋達定理，得：。則線段AB的中點為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時?！旧婕暗较业拇怪逼椒志€問題】 這種問題主要是需要用到弦AB的垂直平分線L的方程，往往是利用點差或者韋達定理產(chǎn)生弦AB的中點坐標(biāo)M，結(jié)合弦AB與它的垂直平分線L的斜率互為負(fù)倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線L的方程，然后解決相關(guān)問題，比如：求L在x軸y軸上的截距的取值范圍，求L過某定點等等。有時候題目的條件比

3、較隱蔽，要分析后才能判定是有關(guān)弦AB的中點問題，比如：弦與某定點D構(gòu)成以D為頂點的等腰三角形（即D在AB的垂直平分線上）、曲線上存在兩點AB關(guān)于直線m對稱等等。例題分析1：已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于解：設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出題型三：動弦過定點的問題例題2、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？

4、并證明你的結(jié)論解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根，則，即點M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為，即故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。題型四：過已知曲線上定點的弦的問題例題4、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且

5、BC過橢圓的中心O又點C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點，則橢圓方程為：將點C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。題型五：共線向量問題1：如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.I）求曲線E的方程；II）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足，求的取值范圍.解：（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|又動點N的軌跡是以點C（1，0），A（1，

6、0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 曲線E的方程為 （2）當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為得設(shè) ，又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為 2：已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.（1）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C 的右焦點作直線交橢圓C于、兩點，交軸于點，若， ，求證：.解：設(shè)橢圓C的方程為 （）拋物線方程化為，其焦點為， 則橢圓C的一個頂點為，即 由，橢圓C的方程為 （2）證明：右焦點，設(shè)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ，代入方程 并整理，得， 又，而 ， ，即，所以 3、已知OFQ的面積S=2, 且。設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦

7、點的雙曲線經(jīng)過Q， ，當(dāng)取得最小值時，求此雙曲線方程。解：設(shè)雙曲線方程為， Q（x0, y0）。 ， SOFQ=，。=c(x0c)=。當(dāng)且僅當(dāng)，所以。類型1求待定字母的值例1設(shè)雙曲線C：與直線L：x+y=1相交于兩個不同的點A、B，直線L與y軸交于點P，且PA=，求的值思路：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)，將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達式，再利用韋達定理，通過解方程組求a的值。 解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA= x1=.聯(lián)立消去y并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)A、B是不同的兩點，0<a<且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=，即，消去x2得，=，

8、a=，0<a<且a1，a=。類型2求動點的軌跡例2如圖2 ，動直線與y軸交于點A，與拋物交于不同的兩點B和C, 且滿足BP=PC， AB=AC，其中。求POA的重心Q的軌跡。思路：將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達式，消去參數(shù)獲得重心Q的軌跡方程，再運用判別式確定實數(shù)k的取值范圍，從而確定軌跡的形狀。ABCOPxy解：由得，k2x2+(2k1)x+4=0.由設(shè)P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （圖2）則x1+x2=, x1.x2=.由= = 由 =。 消去k得， x2 y6=0 (*) 設(shè)重心Q(x,y)，則，代入(*)式得，3x6y4=0。因為故點Q的軌跡方程是3x6y

9、4=0（），其軌跡是直線3x6y4=0上且不包括點的線段AB。類型3證明定值問題例3已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。設(shè)M為橢圓上任意一點，且，其中證明：為定值。思路：設(shè)A、B、M三點的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系、和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再利用方程組、韋達定理、點在橢圓上滿足方程等證明定值。解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為代入橢圓方程中，化簡得，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由 與共線，得，。又而于是。因此橢圓方程為設(shè)M(x, y), 由得，因M為橢圓上一點，所以 即 又，則 而代入得，=1，為定值。類型4探索點、線

10、的存在性例4在ABC中，已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D，ABC的垂心H分有向線段AD 設(shè)P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在點H，使成等差數(shù)列，為什么？思路：先將ACBH轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，由此獲得動點H的軌跡方程；再將向量的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)（坐標(biāo)）關(guān)系，通過解代數(shù)方程組獲解。解： 設(shè)H(x, y), 由分點坐標(biāo)公式知H為垂心 ACBH，整理得，動點H的軌跡方程為 。 ， ， 。假設(shè)成等差數(shù)列，則 即 H在橢圓上 a=2, b=, c=1，P、Q是焦點，即 由得， 聯(lián)立、可得，顯然滿足H點的軌跡方程，故存在點H（0，±），使成等差數(shù)列。類型5求相關(guān)量的

11、取值范圍 例5給定拋物線C：，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點，且，求l在軸上截距的變化范圍。思路：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再求出l在軸上的截距，利用函數(shù)的單調(diào)性求其變化范圍。解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，即 由得， 。 聯(lián)立、得，。而當(dāng)直線l垂直于軸時，不符合題意。因此直線l的方程為或直線l在軸上的截距為或由知，在上遞減的，所以 于是直線l在軸上截距的變化范圍是存在、向量例6、雙曲線，若上存在一點。解：方程為，即。由，消去y得，定值問題例7：是拋物線上的兩點，滿足（為坐標(biāo)原點），求證：（1）兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別是定值

12、；（2）直線經(jīng)過一定點。分析：（1）設(shè)，則又由 （2）直線的方程為，故直線過定點。題型六：面積問題例題1、已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當(dāng)軸時，。（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。當(dāng)時，綜上所述。當(dāng)最大時，面積取最大值。2、已知橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.()求橢圓C的方程;()設(shè)直線l與橢圓

13、C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值.解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時，（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)時，綜上所述當(dāng)最大時，面積取最大值3、已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為（）設(shè)點的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形的面積的最小值解：（）橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設(shè)，則，；因為與相交于點，且的斜率為，所以，四邊形的面積當(dāng)時，上式取等號（）當(dāng)

14、的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為題型七：弦或弦長為定值、最值問題1、已知的面積為，（1）設(shè)，求正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖）， 當(dāng) 取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè) （2）設(shè)所求的雙曲線方程為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，最小，此時的坐標(biāo)是或 ，所求方程為2、已知橢圓兩焦點分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點.（）求P點坐標(biāo)；（）求證直線AB的斜率為定值；（）求PAB面積的最大值.解：（）由題可得，設(shè)則，點在曲線上，則，從而，得.則點P的坐標(biāo)為.（

15、）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：AB的斜率為定值.（）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得P到AB的距離為，則。當(dāng)且僅當(dāng)取等號三角形PAB面積的最大值為。3、已知橢圓的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點。（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍。解：（I）圓過點O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根

16、。記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標(biāo)的取值范圍為4、已知點的坐標(biāo)分別是，直線相交于點M，且它們的斜率之積為（1）求點M軌跡的方程；（2）若過點的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點、（在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標(biāo)原點）解：（1）設(shè)點的坐標(biāo)為， 整理，得（）， （2）如圖，由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為將代入，整理，得，由，解得設(shè)，則令，且且，解得且 ，且故OBE與OBF面積之比的取值范圍是5、已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當(dāng)線段的中點與的中點的橫坐標(biāo)相等時，求的最小值解析：（I

17、）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設(shè)則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，所以有，設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1題型八：直線問題例題1、設(shè)橢圓過點，且著焦點為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則

18、且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點總在定直線上方法二設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點總在定直線上2、已知曲線上任意一點到兩個定點和的距離之和為4（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過的直線與曲線交于、兩點，且（為坐標(biāo)原點），求直線的方程解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓， 其中，則 所以動點M的軌跡方程為 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意當(dāng)直線

19、的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)， 由方程組得則，代入，得即，解得，或所以，直線的方程是或 3、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點。（）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值；（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍。解：（）解法一：易知 所以，設(shè)，則因為，故當(dāng)，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當(dāng)，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又 又，即 故由、得或題型九：軌跡問題軌跡法：1直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些

20、條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；例1、已知直角坐標(biāo)系中，點Q（2，0），圓C的方程為，動點M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)，求動點M的軌跡?！窘馕觥吭O(shè)MN切圓C于N，則。設(shè),則 化簡得（1） 當(dāng)時，方程為，表示一條直線。（2） 當(dāng)時，方程化為表示一個圓。如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點分別作圓、圓的切線（分別為切點），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點的軌跡方程.【解析】以的中點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.由已知，得.因為兩圓半徑均為1，所以.設(shè)，則，即.(或)評析：1、用直接法求動點軌跡一般有建

21、系,設(shè)點，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。2定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。例2、已知動圓過定點，且與直線相切，其中.求動圓圓心的軌跡的方程；【解析】如圖，設(shè)為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為； 已知圓O的方程為 x2+y2=100,點A的坐標(biāo)為（-6

22、，0），M為圓O上任一點，AM的垂直平分線交OM于點P，求點P的方程?！窘馕觥坑芍写咕€知，故，即P點的軌跡為以A、O為焦點的橢圓，中心為（-3，0），故P點的方程為已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程. 【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點， 兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|

23、BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓， 以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標(biāo)系， 可求得動點P的軌跡方程為：l O ' PE D C B A 評析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。 三、相關(guān)點法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律和動點滿足的條件，然而得出動點的軌跡

24、方程。例3、如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點P的軌跡方程。【解析】設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x,y）,點Q的坐標(biāo)為（x1,y1）則N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2又PQ垂直于直線x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0由解方程組得, 代入雙曲線方程即可得P點的軌跡方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足求點T的軌跡C的方程；【解析】解法一：（相關(guān)點法）設(shè)點T的坐標(biāo)為 當(dāng)

25、時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點T的軌跡C的方程是解法二：（幾何法）設(shè)點T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是評析：一般地：定比分點問題，對稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點法。四、參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。例4、在平面直角坐標(biāo)系

26、xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點O的兩不同動點A、B滿足AOBO（如圖4所示）.求AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；【解析】解法一：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)由解得A（k，k2）OAOB，OB：由解得B設(shè)AOB的重心G（x，y），則消去參數(shù)k得重心G的軌跡方程為解法二：設(shè)AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則 （1）OAOB ,即，(2)又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得所以重心為G的軌跡方程為。如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.求APB的重心G的軌跡方程.【

27、解析】設(shè)切點A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：五、交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。例5 、拋物線的頂點作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點O在直線AB上的射影M的軌跡。解1（交軌法）：點A、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得

28、，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程為 由消去得yA+yB即得， 即得。所以點M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點（0，0）。評析：用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點的兩個坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。解2（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 可得AB過定點（4p,0）而OM垂直AB，所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。所以方程為，除去點（0，0）。1、已知

29、定點F（1，0），動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且（1）動點N的軌跡方程；（2）線l與動點N的軌跡交于A，B兩點，若，求直線l的斜率k的取值范圍.（1）設(shè)動點N的坐標(biāo)為（x,y），則 ，因此，動點的軌跡方程為 （2）設(shè)l與拋物線交于點A（x1,y1）,B(x2,y2)，當(dāng)l與x軸垂直時，則由， 不合題意，故與l與x軸不垂直，可設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k0),則由由點A，B在拋物線又y2=4x, y=kx+b得ky24y+4b=0,所以因為解得直線l的斜率的取值范圍是. 題型九：對稱問題1、例：若橢圓上存在兩點A,B 關(guān)于：對稱，求的取值范圍解法（1）設(shè)直

30、線AB的方程為由消去得由題意知該方程有兩個不等式跟 故即設(shè)A,B則 設(shè)AB中點M則，又點M在直線上 即解得解法（2）：設(shè)A,B，AB中點M 又A,B在橢圓上，兩式相減得即也即中點M在上 由求得又必在橢圓內(nèi)部 即解得2、已知實軸長為2a，虛軸長為2b的雙曲線S的焦點在x軸上，直線是雙曲線S的一條漸近線，而且原點O，點A（a，0）和點B（0，-b）使等式·成立.（I）求雙曲線S的方程；（II）若雙曲線S上存在兩個點關(guān)于直線對稱，求實數(shù)k的取值范圍.解：（I）根據(jù)題意設(shè)雙曲線S的方程為且解方程組得所求雙曲線的方程為解法一（設(shè)而不求法）：（II）當(dāng)k=0時，雙曲線S上顯然不存在兩個點關(guān)于直線

31、當(dāng)時，設(shè)又曲線S上的兩點M、N關(guān)于直線對稱，由直線MN的方程為則M、N兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y得顯然即設(shè)線段MN中點為則在直線即即的取值范圍是解法二（點差法）：當(dāng)k=0時，雙曲線S上顯然不存在兩個點關(guān)于直線當(dāng)時，設(shè) 兩式相減整理得 的取值范圍是問題十、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）1、設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|

32、AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, 當(dāng)時因為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.

33、當(dāng)時,. 當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 2、在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和（I）求的取值范圍；（II）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由解：（）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得整理得直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，解得或即的取值范圍為（）設(shè)，則，由方程，又而所以與共線等價于，將代入上式，解得由（）知或，故沒有符合題意的常數(shù)3、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點. （）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值； （）是否存在過點

34、A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由. 解：易知，設(shè)P（x，y），則， ，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；當(dāng)，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4 （）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時，設(shè)交點C，CD的中點為R，則又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2

35、D| 4、橢圓G：的兩個焦點為F1、F2，短軸兩端點B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點共圓，且點N（0，3）到橢圓上的點最遠距離為（1）求此時橢圓G的方程；（2）設(shè)斜率為k（k0）的直線m與橢圓G相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關(guān)于過點P（0，）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由解：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段F1F2與線段B1B2互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點外接圓的圓心故該橢圓中即橢圓方程可為，H（x,y）為橢圓上一點，則，則有最大值，（舍去），所求橢圓方程為（2）設(shè)，則由 兩式相減得又直線PQ直線m 直線PQ方程為將點Q（）代

36、入上式得，由得Q（），Q點必在橢圓內(nèi)部，由此得故當(dāng)時，E、F兩點關(guān)于點P、Q的直線對稱5、已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，坐標(biāo)原點到的距離為 （I）求，的值；（II）上是否存在點P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。解：（）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為 ，故 ， ， 由 ，得 ，=（）C上存在點，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。由 （）知橢圓C的方程為+=6. 設(shè) () 假設(shè)上存在點P，且有成立，則，整理得 故 將 于是 , =, ， 代入解得，此時于是=， 即 因此， 當(dāng)時， ； 當(dāng)時， 。（）當(dāng)垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。綜上，C上存在點使成立，此時的方程為.6、已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點。 （I）求橢圓的方程； （）求線段MN的長度的最小值； （）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又，由得 故又 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立