專題復(fù)習(xí)“數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用”

1、【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：專題復(fù)習(xí)”數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用”要點(diǎn)綜述(1)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些 抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué) 問題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法 簡(jiǎn)捷。(2)所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互 轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸 上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以 幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的 等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的

2、幾何意義。如等式(x -2)2 (y -1)2 -4(3)縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象 的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。(4)數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中， 在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想， 不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過程。 這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有 圖，見數(shù)想圖,以開拓自己的思維視野?！镜湫屠}】例1.若關(guān)于x的方程x2 +2kx +3k = 0的兩根都在-1和3之間，

3、求k的取值范圍。分析：令f (x) = x2 +2kx+3k,其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程 f(x) = 0 的解，由y = f(x)的圖象可知，要使二根都在-1, 3之間，只需f(-1)>0, f(3)bA0, f (旦)=f (k) <0 同時(shí)成立，解得 1 <k <0,故 k u(1, 0)2a例2.解不等式y(tǒng)x +2 >x常規(guī)解法：原不等式等價(jià)于（I”x+20x ： 0或（II ）x 2 . 0解（I）,得 0Wx<2;解（II）,得一2Wx<0綜上可知，原不等式的解集為x|-2Ex<0或0Ex<2=x|-2Ex<2數(shù)形結(jié)

4、合解法：令yi = 'x +2 , y2 = x,則不等式Jx+2 V x的解,就是使y = Jx + 2的圖象 在丫2 = x的上方的那段對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，如下圖，不等式的解集為x|xa < x :二xb而xB可由Jx +2 =故不等式的解集為x|-2 < x < 2 o例3.已知0 <a <1,則方程a|x| =|loga x|的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)分析：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖象y = a岡與y =|loga x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）。例4

5、.如果實(shí)數(shù)x、y滿足（x - 2）2 + y2 = 3,則 ' 的最大值為（） xA.1c 3B.3c 3 3C.2D. 3分析:等式（x 一2）2 y2 =珀明顯的幾何意義，它表坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為（2, 0）,半徑r=V3,（如圖），而=匕則表示圓上的點(diǎn)（x, y）與坐x x - 0標(biāo)原點(diǎn)（0, 0）的連線的斜率。如此以來(lái)，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動(dòng)點(diǎn) A 在以（2, 0）為圓心，以J3為半徑的圓上移動(dòng)，求直線 OA的斜率的最大值，由圖 可見，當(dāng)/ A在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得最大值為tg60 ° =用22例5.已知x, y滿足 &

6、#39;十匕=1,求y 3x的最大值與最小值162522分析：對(duì)于二元函數(shù)y-3x在限定條件 ± +匕=1下求最值問題，常采用1625構(gòu)造直線的截距的方法來(lái)求之。令y-3x=b,則 y=3x+b, 22原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓 L =1上求一點(diǎn) 使過該點(diǎn)的直線斜率為3,1625且在y軸上的截距最大或最小，22由圖形知，當(dāng)直線y=3x+b與橢圓 合+工=1相切時(shí)，有最大截距與最小1625截距。.16 25由A=0, 得b = ±13,故y-3x的最大值為13,最小值為 -13一、x =3cos 日、例 6.若集合 M =，(x, y) W(0 <6 <tl) >

7、,集合 N =( x, y)|y = x + by = 3sinHk、z且MCNW0,則b的取值范圍為。分析：M =(x, y)|x2+y2=9, 0<yE1,顯然，M表示以(0, 0)為圓心，以3為半徑的圓在x軸上方的部分，(如圖)，而 N則表示一條直線，其斜率k=1,縱截距為b,由圖形易知，欲使 MCINW0,即是使直線y = x+b與半圓有公共點(diǎn)，顯然b的最小逼近值為 -3,最大值為3<2,即3<bM3V222例7.點(diǎn)M是橢圓 人+2=1上一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)Fi的距離為2, N為2516MFi的中點(diǎn)，。表示原點(diǎn)，則|ON|二()3A.-B.2C.4D.82分析：設(shè)橢

8、圓另一焦點(diǎn)為F2,(如下圖)則|MF1|+|MF2|=2a,而a =5|MFi| = 2, . |MF2| = 8又注意到N、。各為MFi、F1F2的中點(diǎn)，.ON是MF1F2的中位線，-11.|ON|=-|MF2|=- X8=4若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn) M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MFi中點(diǎn)的坐標(biāo)，最 后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|,但這樣就增加了計(jì)算量，方法較之顯得有 些復(fù)雜。例8.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2 2i|= J2,求z的模的最大值、最小值的范圍。分析：由于|z-22i|=|z （2+2i）,有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù) 萬(wàn)寸應(yīng)的 點(diǎn)到復(fù)數(shù)2+ 2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，因此滿足 |z （2

9、 + 2i）| = J2的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn) Z,在以（2, 2）為圓心，半徑為的圓上，（如下圖），而|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離，顯然，當(dāng)點(diǎn) Z、圓心C、點(diǎn)O三點(diǎn)共線時(shí)，|z|取得最值， |Zmin=j2,門扃=3<2,02：|z|的取值范圍版,3向sin x - 2例9.求函數(shù)y = s1nx 2的值域。cosx - 2sin x 2斛法(代數(shù)法)： 則丫 =得y cosx2y =sin x+2 ,cosx - 2si ix ycox = -2y 2,. sin(x+5)=z2=2 , ,y2 1y2 1s i nx( ) = -2y -2而 |sin(x )| 一 1-4-

10、 . 7-4 、，7y 33-473_ y2 - yi y 一x2 一 xi-2y -2 八 _|y2IM1,解不等式得,y 1一，一4 一、7.函數(shù)的值域?yàn)?3解法二（幾何法）：y = sin x + 2的形式類似于斜率公式cosx - 2y = sj_n_2表示過兩點(diǎn)po(2, 一2), P(cosx, sinx)的直線斜率 cosx - 2顯然，kp）A 一 y 一 kP0B設(shè)過R的圓的切線方程為則有2k丁2| =1,解得k,k2 1-4 - . 73,kp)By 2 = k(x -2)-4 ± 7733-4.73-4、.73-4 - . 7二函數(shù)值域?yàn)?-4 .7 k例10.

11、求函數(shù)u = J2t +4 +16 -t的最值。分析：由于等號(hào)右端根號(hào)內(nèi)t同為t的一次式，故作簡(jiǎn)單換元.2t 4 = m,無(wú)法轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對(duì)式子平方處理，將會(huì)把問題復(fù)雜化，因此該 題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個(gè)根號(hào)，故可采用兩步換元。解：設(shè)x = 42t +4, y =、:6 -t,則口 = x + y且x2 +2y2 =16（0 Ex E4, 0 < y <2-72）所給函數(shù)化為以u(píng)為參數(shù)的直線方程y = -x+u,它與橢圓x2+2y2 = 16在第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖）y-Umin=2-2相切于第一象限時(shí)，u取最大值y = -x

12、 u2222= 3x -4ux 2u -16 = 0x2 2y2 =16解A = 0,彳|u = ±2v'6,取u =26：umax=26【模擬試題】-、選擇題：1 .方程lgx =sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)2 .函數(shù)y =2兇與丫 = x+a的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是( )A. (1,二)B. (-1, 1)C. 3, -1U1, +8)D. (-co, -1)U(1,十a(chǎn))3 .設(shè)命題甲：0<x<3,命題乙：|x-1|c4 ,則甲是乙成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分

13、也不必要條件4 .適合|z1| = 1且argz = ±的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為()4A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè) D. 4個(gè)5 .若不等式v'x +a之x (a >0)的解集為x|m E x M n,且|m - n|= 2a,則a的 值為()A. 1B. 2 C. 3 D. 46 .已知復(fù)數(shù)Z1 =3-i,憶21=2,則|4+z2|的最大值為()A. . 10 -2 B. 5 C. 210 D. 2 2.27 .若x w(1, 2)時(shí)，不等式(x -1)2 < log a x恒成立，則a的取值范圍為()A. (0, 1) B. (1, 2)C. (1, 2 D. 1

14、, 28 .定義在R上的函數(shù)y = f(x)在(，2)上為增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x + 2)的 圖象的對(duì)稱軸為x=0,則()A. f (-1):二 f (3)B. f (0) f (3)C. f (-1) = f (-3)D. f(2) < f (3)二、填空題：9 .若復(fù)數(shù)z滿足|z|=2,則|z+1 -i|的最大值為10 .若 f(x) = x2 +bx +c 對(duì)任意實(shí)數(shù) t,都有 f (2+t)= f(2-t),則f (1)、f (-3)、f (4)由小到大依次為 11 .若關(guān)于x的方程x2-4|x|+5 =m有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) m的取值范 圍為12 .函數(shù) y = Jx2

15、 -2x+2 + Jx2 6x +13 的最/、值為13 .若直線y = x-m與曲線y = 4"x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值 范圍是三、解答題：214 .右方程 lg( -x +3x -m) = lg(3 x)在0, 3上有唯一斛， 求m的取值范圍。15 .若不等式，4x-x2 >(a-1)x的解集為A,且A=x|0 < x < 2,求a的取 值范圍。16 .設(shè)a >0且aw1 ,試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。 22、loga(x -ak) = loga2 (x -a )17，勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，t軍芳一分才；景_華羅庚_1r .l一. q i一.X

16、T- -一-一. 【試題答案】-、選擇題1. C提示：畫出y=sinx, y = lg x在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。2. D提示：畫出y = a|x|與丫 = x+a的圖象(a>0)k 士什/a 0情形1 ：4 na a 1a 1(a<0) k7 a ,二 0情形 2：a <-1a ：T3. A4. C提示：|Z1|二1表示以（1, 0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的 復(fù)數(shù)滿足條件argz = j,另外，點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)O,因其輻角是多值，它也滿 足argz = -,故滿足條件的z有兩個(gè)。45. B提示：畫出y =，x + a y=x的圖象，依題意，m = _a, n

17、 = a,從而 ,a +a = a = a = 0或2。6. C提示：由|Z2|=2可知，Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓上, yf而 | Zi ' Z2I -|z2 - (-z1 )| -|z2 - (-3 i )|表示復(fù)數(shù)Z2與- 3 i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為：|PO| r -<：-(-3-0)2 (1-0)2 2 =10 27. C提示：令 yi =(x1)2 , y2 =loga x ,若a>1,兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x-(1, 2)時(shí),要使y1 <丫2 ,只需使loga 2之(2 -1)2 ,即a W2 ,綜

18、上可知當(dāng) 1 <a £2 時(shí)，不等式(x1)2 <logax)CtxW(1, 2)恒成立。若0<a<1,兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng) xW(1, 2)時(shí)，不等式(x1)2 < log a x 恒不成立?？梢姂?yīng)選C8. A提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知f(x+2) 的圖象關(guān)于直線x=0 (即y軸)對(duì)稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱, 由f(x)在(g, 2 )上為增函數(shù)，可知，f(x)在(2, +s)上為減函數(shù)，依此易比 較函數(shù)值的大小。 x=2二、填空題：9. 22提示：|Z|二2表示以原點(diǎn)為原心，

19、以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對(duì) 應(yīng)的點(diǎn)在圓。上運(yùn)動(dòng)，(如下圖)，而|z+1-i|=|z- ( 1+i) |表示復(fù)數(shù)Z與一 1+i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離。由圖形，易知，該距離的最大值為 6+2。10. f (1)：二 f (4)：二 f (-3)提示：由f(2+t) = f (2-1)知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又f (x) =x2+bx+c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由 f(x)的圖象，易 知 f (1)、f (-3)、f (4)的大小。11. m (1, 5)提示：設(shè)yi =x2 -4|x|+5 y2 = m,畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程 x2 -4|x|-5 =

20、 m有四個(gè)不相等實(shí)根，只需使1 ：二m ：二512. 最小值為V13提示：對(duì) Jx2 -2x + 2 = J(x-1)2+ 1 = v(x-1)2 +(1-0)2 ,聯(lián)想到兩點(diǎn)的距 離公式，它表示點(diǎn)(x, 1)至 1 (1, 0)的距離，Jx2 _6x + 13 = /(x3)2 +(1 3)2 表示點(diǎn)(x, 1)到點(diǎn)(3, 3)的距離，于是y = %；x2-2x+ 2 + Jx2 - 6x+13表示 動(dòng)點(diǎn)(x, 1)到兩個(gè)定點(diǎn)(1,0)、(3,3)的距離之和，結(jié)合圖形，易得ymin =a/13 o13. mW(T'5, -1提示：y=x m表示傾角為45° ,縱截距為m的直線方程，而y=41-x2 則表示以(0, 0)為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分(包括圓與x軸的 交點(diǎn))，如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需直線的縱截 距-m1,尬)，即m-72, -1。解答題14.解：原方程等價(jià)于令 y1 - -x2 4x - 3其中注意0x<3,2-x3x - m 03-x 00Mx