《數(shù)值計(jì)算方法》試題集及答案

1、計(jì)算方法期中復(fù)習(xí)試題、填空題:已知f=1.0, f=12 f=3,則用辛普生(辛卜生)公式計(jì)算求得31 f(x)dx :，用三點(diǎn)式求得定答案：2.367, 0.252、f(1)=-1，f(2)=2，f (3)=1 ,則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為格朗日插值多項(xiàng)式為11L2(x) =-(x-2)(x-3) -2(x-1)(x-3) (x-1)(x-2)答案：-1,22- 一 - 一一 一 . . . . 一3、近似值x =0.231關(guān)于真值乂 = 0.229有(2 )位有效數(shù)字;4、設(shè)f(x)可微，求方程x= f(x)的牛頓迭代格式是()xn - f(xn)xn 1 = xn 一：答案1

2、- f (xn)5、對(duì)f(x)=x3+x+1,差商f0,123=( 1 )f0,1,2,3,4=(6、計(jì)算方法主要研究( 截?cái)?誤差和( 舍入)誤差;7、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a, b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為b 一亙(2n 18、已知 f(1) =2,f(2) =3,f(4) =5.9,則二次 Newton 插值多項(xiàng)式中 x2 系數(shù)為(0.15 )11、1 -1-31-3 1f(x)dx0 f (x)dx f() f()兩點(diǎn)式高斯型求積公式b ( )d =( 022v132V3),代數(shù)精度為(5 );12、為了使計(jì)算y =102,、3x-1 (x-1)(x-1)的乘

3、除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)=* *_ 1 式改寫為_，一1° (3 (""S'"二1 一為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式.00'1999改寫為 2001 ,1999 13、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在區(qū)間Qi內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為0.5 , 1 , 進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5 , 0.75。14、計(jì)算積分0.5 Jxdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268,用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為 0.4309 ,梯形公式的代數(shù)精度為 1 ,辛卜生公 式的代數(shù)精度為/。15、設(shè) f(0)=0，f(1)

4、=16,f(2)=46Ml1(x)=l1(x) = -x(x-2), f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 N2(x) =16x 7x(x-1)bnf (x)dx :、Akf (xk)16、的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有求積公式k旬(2n +1 )次代數(shù)精度517、 已知 f (1)=1, f (3)=5, f (5)=-3,用辛普生求積公式求 1 f(x)dx = (12 )18、 設(shè) f (1)=1 , f (2)=2 , f (3)=0 ,用三點(diǎn)式求 f'>2.5 )。19、如果用二分法求方程x3+x-4 = 0在區(qū)間1，2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分 (10)次。彳

5、- x30MxM 1S(x) = 132(x -1)a(x -1) b(x -1) c 1 - x - 320、已知 2是三次樣條函數(shù)，則a=( 3) , b= ( 3), c= (1)。21、立刈,)，ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)X0,X1，Xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則nn% lk(x)=J xkl j(xk)二kf(1),"(xj), 當(dāng) n至2 時(shí)nv (x4 x2 3)lk(x) =42kf( x +x +3)022、區(qū)間a，國(guó)上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a，b1上具有直到 2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。23、改變函數(shù)f(x)=Gi-Jx(x為1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確f (x

6、)=:1v x +1 + J x 024、若用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分10 次。25、設(shè) SMmXM2 a= 3 , b= -3 , c= 1o1 x ,e dx_ 626、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算 477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。J°,要求誤差不超過(guò)10一，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用427、若 f(x) =3x28、數(shù)值積分公式 選擇題+ 2x +1,貝優(yōu)商 f 2,4,8,16, 32=312f(x)dx f( -1) 8f (0) f (1)9的代數(shù)精度為21、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B )A.2B. 5 C.3 D . 4 2、舍入誤差

7、是(A ) 產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3、3.141580是冗的有(B ) 位有效數(shù)字的近似值。A . 6B. 5 C . 4 D .74、用1 + x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C ) 誤差。A.模型 B .觀測(cè)C 截?cái)?D .舍入x5、用1 + 3近似表示V1方所產(chǎn)生的誤差是(D )誤差。A.舍入 B .觀測(cè) C .模型 D.截?cái)?、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效數(shù)字。A . 5 B . 6C. 7 D . 87、設(shè)f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,則拋物插值多項(xiàng)

8、式中x2的系數(shù)為(A )A.-0. 5 B .0.5 C . 2 D . -28、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A . 3 B . 4C. 5 D . 29、( D )的3位有效數(shù)字是0.236 X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2 (C) 235.418(D) 235.54 X10110、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x= 7(x),則f(x)=0的根是(B )。(A) y= 4x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B) y=x與y= ?(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (D) y=x 與y=

9、?(x)的交點(diǎn)11、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(B)(C)(D)Rn(x) =f(x)_Pn(x)(n1)o(n 1)!f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn1)(x xn),f (n 1)( )R(x) =f(x) _Pn(x) =( )1(x)(n 7)!12、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足(A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2, 一定收斂到方程f(x)=0的根。13、為求方程x3x21=0在區(qū)間1

10、.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )(A)21,1x =,迭代公式：為書=X -1xk -1(B)=1 +,迭代公式：xk4=1 + xxk(C)(D)14、在牛頓-柯特斯求積公式:bnf (x)dx : (b - a)' Ci(n) f (xi)i 20中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時(shí)，公=1 +x2，迭代公式：xp = (1 + x2)1/32-1=x2，迭代公式”書=1+一生一)時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(4) n -6,x00.511.521 2.5f(x)-2-1.75-10.2524.250(4)五次)式的穩(wěn)定性不能保證

11、，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)(1) n 之8 ,(2) n 27,(3) n 之 10 ,23、有下列數(shù)表所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(1)二次；(2)三次；15、取向定1.732計(jì)算x=(而(3)四次；4,下列方法中哪種最好？(16(A) 28)_16_(3 1)426、已知(A)6, 6;-16百； (B) (4-2囪)2；( C) (4+2病2 .(D)X30 三 xM2S(x)=32(x-1) +a(x-2)+b 2三x 4是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。xkxk116、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是()11.522.

12、533.5-10.52.5：5.018.011.5(A)5;(B)4;(C)3；( D) 20b17、形如Lf(x)-A f(x )+A2 f(x2)+A3 f(x3)的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度(D)3。Xk 2xk 1 = T(C)2xk ； (D)Xk3Xk為()(A) 9；(B)7；(。5；18、計(jì)算 石的Newton迭代格式為()xk3xk3Xk 1 = = 一Xk 1 = = -一(A)2 Xk;(B)2 2 Xk32619、用二分法求方程x +4x -10 = 0在區(qū)間1，2內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為 2,則對(duì)分次數(shù)至少為()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。9

13、、kli(k) =20、設(shè)li(X)是以Xk=k(k=0，1，川為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k田()(A) X；(B) k ；(0 i ；(D) 1。33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5;(B)4;(C)6;X3S(x) =321、已知12(x-1) +a(X 2)+b(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8(D)3。0 _ x _22-X工4是三次樣條函數(shù)，則2m的值為()，6;(D)8, 8。(A) Xk + =3/2工 +5 . (B)k* 22、由卜列數(shù)據(jù)W3“ ； ( C) Xk 由=4一Xk-5; (D)012341243-5確定的唯一插值

14、多項(xiàng)式的次數(shù)為()35、已知方程X3 -2X -5 = 0在乂 = 2附近有根，下列迭代格式中在X0 =2不收斂的是()Xk 1 二(A) 4 ；(B)2；(C)1；(D)3。23、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8;(E)9;(C)10;(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打？，否則打？)2 xk53 X2-21、已知觀察值(xi, yi)(i=0,1，2,，m)，用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式Pn(x)時(shí)，Pn(x) 的次數(shù)n可以任意取。()2x2、用1- 2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()(x - X0)(X - X2)3、(X1 -x0)(x1一x2

15、)表示在節(jié)點(diǎn)X1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。(?)4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。3-25、矩陣A=，具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。四、計(jì)算題:1 11f(x)dx: Af (-1)f(1) Bf () f()1、求A、B使求積公式U2，2的代數(shù)精度盡量高，21I =- dx并求其代數(shù)精度；利用此公式求1 x (保留四位小數(shù))答案：f(x) =1，x，x2是精確成立，即2A 2B -21 22A -B =-2 311811求積公式為叱:/) f 9<2)f(021當(dāng)f(x)=x3時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)f(x) = x4時(shí)，左=5,右=3。所以代數(shù)精度

16、為3。2、已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項(xiàng)式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))。L (x) 2(x-3)(x-4)(x-5) . 6(x-1)(x-4)(x-5) 答案：3(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求f（x）的二次擬合曲線P2（x）,并求f <0）的近似值答案：解：0-244-8r 16r -816 11-121-11-2220100r 0r 0013131113342548r 16r io20 101

17、5100343415a0 10a2 =15，10al =3正規(guī)方程組為110 a0 + 34a2 = 416、已知sinx區(qū)間0.4 , 0.8的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最??？并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差盡量小，即應(yīng)使 3（x）|盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5，0.6，0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果sin0.63891 % 0.596274,且7、構(gòu)造求解方程ex+10x-2=0的根的迭代格式 3 =文。）,0

18、,12，討論其收斂性,并將根求出來(lái)，|xn中-xn |<10"。答案：解：令f(x) =e且 f (x) =ex 10 010x -2, f (0) = -2，: 0, f (1) = 10 e . 0對(duì)Vxw(-%十叼，故f (x) = 0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程f (x) =0變形為則當(dāng)xw(0,1)時(shí)(x)二 1(2 -ex)10，呼(x)|=.x e10。:1故迭代格式收斂。取x0 =0.5,計(jì)算結(jié)果列表如下:n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 34

19、00.090 525 9500.090 525 0086且滿足 |x7x6 |E 0.000 00095 < 10 .所以 x 之 0.090 525008解：當(dāng) 0<x<1 時(shí)，f"(x)=ex,則1f *(x) Me,且 gdx有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差邸)(f)R(n)(f)<(b-a)3 一210、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。即可，解得所以 n=68,因此至少需將0,1 68 等份。12、取節(jié)點(diǎn)x0 =0，x1 =0.5，x2 =

20、1 ,求函數(shù)f(x) =e-在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式P2(x),并估計(jì)誤差。P2(x)=e" (x- e -解:(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)f (x) =e", f (x) = -e",M3 = max | f (x)|=1又x 0,1故截?cái)嗾`差1R2(x)He-p2(x)1,l|x(x-0.5)(x-1)10x14、給定方程 f（x）=（x-1）e -1 =01）分析該方程存在幾個(gè)根；2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3）說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（x-1）ex-1=0（1）改寫為xx1=e（2）x*作函數(shù)

21、f1（x） = xT, f2（x）=e的圖形（略）知（2）有唯一根x c（1，2）2）將方程（2）改寫為x=1+e"/二 kxk 書=1 +e=構(gòu)造迭代格式5。=1.5（k = 0,12）計(jì)算結(jié)果列表如下：k1234567891.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784xk3199264763)中(x) =1+e«中(x)=e當(dāng) x1,2時(shí)，平(x)7R2)$1)U1,2,且所以迭代格式xk41 =巴xk） （k =0，1，2,）對(duì)任意。*1，2均收斂。15、用牛頓（切線）法求、的近似值。取x0=1.7,計(jì)算三

22、次，保留五位小數(shù)。解：8是f（x） =x2 一3 = 0的正根，f （x）=2x，牛頓迭代公式為2xn - 3xn . 3xn1=xn- xn1= （nl= 0,1,2,）2xn ,即2 2xn1231.732351.732051.73205取Xo=1.7,列表如下:16、已知f (-1)=2 , f (1)=3 , f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)& f (1 , 5)的近 似值，取五位小數(shù)。2 (x-1)(x-2) (x 1)(x-2) 4 (x 1)(x-1)L2 ( x) 2 , 3-4一解：(-1-1)(-1-2)(1 1)(1-2)(2 1)(2-1)1

23、exdx17、n=3,用復(fù)合梯形公式求-0的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計(jì)。10x1 - 001 323、1e dx ： T3 =e 2(e e ) e ： 1.73422 3f (x) =e , f “(x) = e , 0 MxM1時(shí)，I f "(x) |We1925303819.032.349.073.3至少有兩位有效數(shù)字。20、(8分)用最小二乘法求形如y = a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù):解：中=span1,x2解方程組 AAC = ATy33913529603AT A =其中C J 173.6 1J79980.7 -C 解得：_ 0.9255577-.050102

24、5J所以a = 0.9255577, b = 0.050102521、(15分)用n=8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson公式)計(jì)算10e dx時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。用n =8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson公式)計(jì)算出該積分的近似值。底川=-解：一 、一一 322、(15分)萬(wàn)程xb -亙12h2f “J) < -112 821e00.001302768-x-1 =。在x =1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價(jià)形式(1)x =Vx+1對(duì)應(yīng)迭代格式xn書+1 3_3.x=x3 -1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn*=xn -1o :x =1 1xn ,1;(2)x對(duì)應(yīng)迭代格式判斷迭代格式

25、在x0 = 5的收斂性,1心；(3)選一種收斂格式計(jì)算x =1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。1 j(x) (x 1) 3解：(1)3中。引及加由故收斂.(x)(2)2勺1;/（1.叫=0.17<1,故收斂;(3)：(x)= 3x20珂=3M1.52A1,故發(fā)散。選擇(1)：Xo= 1.5x1 =1.3572x2 =1.3309 X3 =1.3259x4 =1.3249X5= 1.32476x6 =1.3247225、數(shù)值積分公式形如11R（x）xf（x）dx-S叫并估計(jì)誤差。0xf （x）dx歸S（x） = Af+ Bf+ C+ Df '試確定參數(shù)a,b,c,d使公式代數(shù)精

26、度4 一盡量高；（2）設(shè)f（x）cC 0,1,推導(dǎo)余項(xiàng)公式a 3 r 7 r 1c2 3A = , B = , B = , D = -20解：將f(x)=1,x,x ,x分布代入公式得：202030也（為）=0-構(gòu)造HermW插值多項(xiàng)式H3（x）滿足1H；（為）=f'（為）i = Q1其中x。= 0,% = 1則有:1o xH3(x)dx = S(x)f（4）（一 ?！柏滓?quot;1）27、（10分）已知數(shù)值積分公式為:h0 f(x)dxh2 - ' _- ':-f(0)f(h) h f (0) - f (h)2,試確定積分公式中的參數(shù)九，使其代數(shù)精確度盡量高，并指

27、出其代數(shù)精確度的次數(shù)解：f（X）=1顯然精確成立;f (x) = *時(shí)h h2 h2xdx =一 =一0 h -，h 1 -1022；f(x) =x2 時(shí)f(x) =x3 時(shí)h2hh22h1x dx0 h , h 0 -2h2 , h =032212 ；4h 3 h h 3122x3dx=0 h3 h20-3h204212:f(x) =x4 時(shí)x4dx ; 0 , h4 h20 -4h3二0 5 2 12 6 ；所以，其代數(shù)精確度為328、（8分）已知求Ja（a >0）的迭代公式為:證明：又t一切卜二1,2，4后,且序列是單調(diào)遞減的, 從而迭代過(guò)程收斂。1 a 1axk 1 = - （x

28、k ）2 xk :a k = 0,1,2證明：2xk2xk故對(duì)一切 k =1,2, , xk - a又；1(1，曰廠1過(guò)程收斂。所以x7Wxk,即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代f(x)dx ：；f f(2)是否為插值型求積公式？為什么？其代29、(9分)數(shù)值求積公式02 數(shù)精度是多少?x - 2x -1一、p(x)= f (1) f (2)解：是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為1-22-133p(x)dx = f (1) f (2)Jo2L。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程4x=cosx)+1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。1 I1xn 1 xn1 ' c0s xn(6 分)4, n=0,1,2,11x sin x 14尸 4對(duì)任意的初值xo=0，1,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算J115的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤 差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.043