學(xué)而思初一數(shù)學(xué)資料培優(yōu)匯總(精華) (1)

1、 數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)（一）一、【問題引入與歸納】1、正負(fù)數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。2、有理數(shù)的兩種分類： 3、有理數(shù)的本質(zhì)定義，能表成（互質(zhì)）。4、性質(zhì)： 順序性（可比較大?。?； 四則運(yùn)算的封閉性（0不作除數(shù)）； 稠密性：任意兩個有理數(shù)間都存在無數(shù)個有理數(shù)。5、絕對值的意義與性質(zhì)： 非負(fù)性 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)： i）非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)。ii）幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則他們都為0。二、【典型例題解析】： 1、若的值等于多少？ 2 如果是大于1的有理數(shù)，那么一定小于它的（ ） A.相反數(shù) B.倒數(shù) C.絕對值 D.平方 3、已知兩數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值是2，求的值。4、如果在數(shù)軸上表示、

2、兩上實(shí)數(shù)點(diǎn)的位置，如下圖所示，那么化簡的結(jié)果等于（ A. B. C.0 D.5、已知，求的值是（ ）A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3個有理數(shù)a,b,c，兩兩不等，那么中有幾個負(fù)數(shù)？ 7、 設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，的形式式，又可表示為0，的形式，求。8、 三個有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且則的值是多少？9、若為整數(shù)，且，試求的值。三、課堂備用練習(xí)題。1、計算：1+2-3-4+5+6-7-8+2005+2006 2、計算：1×2+2×3+3×4+n(n+1)3、計算：4、已知為非負(fù)整數(shù)，且滿足，求的所有可能值。5、若三個有理數(shù)滿足，求的值。第二

3、講 數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)（二）一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：1、絕對值的幾何意義 表示數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 表示數(shù)、對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。2、利用絕對值的代數(shù)、幾何意義化簡絕對值。二、【典型例題解析】： 1、 （1）若，化簡（2）若，化簡2、設(shè)，且，試化簡3、是有理數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應(yīng)附加什么條件？（1） （2）（3） （4）若則（5）若，則 （6）若，則4、若，求的取值范圍。5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，如果，那么B點(diǎn)在A、C的什么位置？6、設(shè)，求的最小值。7、是一個五位數(shù)，求的最大值。8、設(shè)都是有理數(shù)，令,試比較M、N的大小。 三、【課堂備用練習(xí)題】：1、已知求的最小值。

4、2、若與互為相反數(shù)，求的值。3、如果，求的值。4、是什么樣的有理數(shù)時，下列等式成立？（1） （2）5、化簡下式： 第三講 數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)（三）一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：1、運(yùn)算的分級與運(yùn)算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算的法則。（1）加法法則：同號相加取同號，并把絕對值相加；異號相加取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大絕對值減較小絕對值；一個數(shù)同零相加得原數(shù)。（2）減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（3）乘法法則：幾個有理數(shù)相乘，奇負(fù)得負(fù)，偶負(fù)得正，并把絕對值相乘。（4）除法法則：除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。3、準(zhǔn)確運(yùn)用各種法則及運(yùn)算順序解題，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣及解題習(xí)慣。二、【

5、典型例題解析】：1、計算：2、計算：（1）、（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3）、（-4）+3、計算： 4、 化簡：計算：（1）（2）（3）（4）（5）-4.035×127.535×12-36×（）5、計算： （1）（2）（3）6、計算：7、計算：第四講 數(shù)系擴(kuò)張-有理數(shù)（四）一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：1、運(yùn)算的分級與運(yùn)算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運(yùn)算的法則。3、巧算的一般性技巧： 湊整（湊0）； 巧用分配律 去、添括號法則； 裂項(xiàng)法4、綜合運(yùn)用有理數(shù)的知識解有關(guān)問題。二、【典型例題解析】：1、計算：2、 3、計算：4、

6、化簡：并求當(dāng)時的值。5、計算：6、比較與2的大小。7、計算：8、已知、是有理數(shù)，且，含，請將按從小到大的順序排列。三、【備用練習(xí)題】：1、計算（1） （2）2、計算：3、計算：4、如果，求代數(shù)式的值。5、若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為2，求的值。 第五講代數(shù)式（一）一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：（1）列代數(shù)式； （2）代數(shù)式的意義；（3）代數(shù)式的求值（整體代入法）二、【典型例題解析】：1、用代數(shù)式表示：（1）比的和的平方小的數(shù)。（2）比的積的2倍大5的數(shù)。（3）甲乙兩數(shù)平方的和（差）。（4）甲數(shù)與乙數(shù)的差的平方。（5）甲、乙兩數(shù)和的平方與甲乙兩數(shù)平方和的商。（6）甲、乙兩數(shù)和的2倍與甲乙兩數(shù)積的

7、一半的差。（7）比的平方的2倍小1的數(shù)。（8）任意一個偶數(shù)（奇數(shù)）（9）能被5整除的數(shù)。（10）任意一個三位數(shù)。2、代數(shù)式的求值：（1）已知，求代數(shù)式的值。（2）已知的值是7，求代數(shù)式的值。（3）已知；，求的值（4）已知，求的值。（5）已知：當(dāng)時，代數(shù)式的值為2007，求當(dāng)時，代數(shù)式的值。（6）已知等式對一切都成立，求A、B的值。（7）已知，求的值。（8）當(dāng)多項(xiàng)式時，求多項(xiàng)式的值。3、找規(guī)律：.（1）； （2）（3） （4）第N個式子呢？ .已知 ； ； ； 若（、為正整數(shù)），求. 猜想： 三、【備用練習(xí)題】：1、若個人完成一項(xiàng)工程需要天，則個人完成這項(xiàng)工程需要多少天？2、已知代數(shù)式的值為8，

8、求代數(shù)式的值。3、某同學(xué)到集貿(mào)市場買蘋果，買每千克3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而余下的錢都買了每千克2元的蘋果，則該同學(xué)所買的蘋果的平均價格是每千克多少元？4、已知求當(dāng)時，第六講 代數(shù)式（二）一、【能力訓(xùn)練點(diǎn)】：（1）同類項(xiàng)的合并法則；（2）代數(shù)式的整體代入求值。二、【典型例題解析】：1、 已知多項(xiàng)式經(jīng)合并后，不含有的項(xiàng)，求的值。2、當(dāng)達(dá)到最大值時，求的值。3、已知多項(xiàng)式與多項(xiàng)式N的2倍之和是，求N？4、若互異，且，求的值。5、已知，求的值。6、已知，求的值。7、已知均為正整數(shù)，且，求的值。8、求證等于兩個連續(xù)自然數(shù)的積。9、已知，求的值。10、一堆蘋果，若干個人分，每人分4個，剩下9個，若

9、每人分6個，最后一個人分到的少于3個，問多少人分蘋果？三、【備用練習(xí)題】：1、已知，比較M、N的大小。， 。2、已知，求的值。3、已知，求K的值。4、，比較的大小。5、已知，求的值。第七講 發(fā)現(xiàn)規(guī)律一、【問題引入與歸納】 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來，再從理論上來證明這一規(guī)律的一般性，這是人們認(rèn)識客觀法則的方法之一”。這種以退為進(jìn)，尋找規(guī)律的方法，對我們解某些數(shù)學(xué)問題有重要指導(dǎo)作用，下面舉例說明。 能力訓(xùn)練點(diǎn)：觀察、分析、猜想、歸納、抽象、驗(yàn)證的思維能力。二、【典型例題解析】1、 觀察算式：按規(guī)律填空：1+3+5+99= ？，1+3+5+7+ ？2、如圖是某

10、同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子。觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第個小房子用了多少塊石子？3、 用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚（如圖所示）的規(guī)律，拼成若干個圖案：（1）第3個圖案中有白色地面磚多少塊？（2）第個圖案中有白色地面磚多少塊？4、 觀察下列一組圖形，如圖，根據(jù)其變化規(guī)律，可得第10個圖形中三角形的個數(shù)為多少？第個圖形中三角形的個數(shù)為多少？5、 觀察右圖，回答下列問題：（1）圖中的點(diǎn)被線段隔開分成四層，則第一層有1個點(diǎn)，第二層有3個點(diǎn)，第三層有多少個點(diǎn)，第四層有多少個點(diǎn)？（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那第五層應(yīng)該畫多少個點(diǎn)，第n層有多少個點(diǎn)？（3）某一層上有77個點(diǎn)，這是第幾層？（4）第一層與第

11、二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？根據(jù)你的推測，前12層的和是多少？6、 讀一讀：式子“1+2+3+4+5+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將“1+2+3+4+5+100”表示為，這里“”是求和符號，例如“1+3+5+7+9+99”（即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為又如“”可表示為，同學(xué)們，通過以上材料的閱讀，請解答下列問題：（1）2+4+6+8+10+100（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號可表示為 ；（2）計算：= （填寫最后的計算結(jié)果）。7、 觀察下列各式，你

12、會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 11×13=143，而143=122-1 將你猜想的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來 。8、 請你從右表歸納出計算13+23+33+n3的分式，并算出13+23+33+1003的值。三、【跟蹤訓(xùn)練題】1 1、有一列數(shù)其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；則第個數(shù)= ，當(dāng)=2001時，= 。2、將正偶數(shù)按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826 根據(jù)上面的規(guī)

13、律，則2006應(yīng)在 行 列。3、已知一個數(shù)列2，5，9，14，20，35則的值應(yīng)為：（ ） 4、在以下兩個數(shù)串中：1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，1990，1993，1996，1999，同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有（ ）個。A.333 B.334 C.335 D.336 5、學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人（如右圖所示 ）按照這種規(guī)定填寫下表的空格：拼成一行的桌子數(shù)123n人數(shù)466、給出下列算式： 觀察上面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個規(guī)律： 7、通過計算探索規(guī)律： 1

14、52=225可寫成100×1×（1+1）+25 252=625可寫成100×2×（2+1）+25 352=1225可寫成100×3×（3+1）+25 452=2025可寫成100×4×（4+1）+25 752=5625可寫成 歸納、猜想得：（10n+5）2= 根據(jù)猜想計算：19952= 8、已知，計算：112+122+132+192= ； 9、從古到今，所有數(shù)學(xué)家總希望找到一個能表示所有質(zhì)數(shù)的公式，有位學(xué)者提出：當(dāng)n是自然數(shù)時，代數(shù)式n2+n+41所表示的是質(zhì)數(shù)。請驗(yàn)證一下，當(dāng)n=40時，n2+n+41的值是什么？

15、這位學(xué)者結(jié)論正確嗎？ 第八講 綜合練習(xí)（一）1、若，求的值。2、已知與互為相反數(shù)，求。3、已知，求的范圍。4、判斷代數(shù)式的正負(fù)。5、若，求的值。6、若，求7、已知，化簡8、已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對值等于2，P是數(shù)軸上的表示原點(diǎn)的數(shù)，求的值。9、問中應(yīng)填入什么數(shù)時，才能使10、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：11、若，求使成立的的取值范圍。12、計算：13、已知，求。14、已知，求、的大小關(guān)系。15、有理數(shù)均不為0，且。設(shè)，求代數(shù)式的值。第九講 一元一次方程（一）一、知識點(diǎn)歸納：1、等式的性質(zhì)。2、一元一次方程的定義及求解步驟。3、一元一次方程的解的理解與應(yīng)用。4、一元一次方程解的情況討論

16、。二、典型例題解析：1、解下列方程：（1） （2）；（3） 2、 能否從；得到，為什么？反之，能否從得到，為什么？3、若關(guān)于的方程，無論K為何值時，它的解總是，求、的值。4、若。求的值。5、已知是方程的解，求代數(shù)式的值。6、關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。7、若方程與方程同解，求的值。8、關(guān)于的一元一次方程求代數(shù)式的值。9、解方程10、已知方程的解為，求方程的解。11、當(dāng)滿足什么條件時，關(guān)于的方程，有一解；有無數(shù)解；無解。第十講 一元一次方程（2） 一、能力訓(xùn)練點(diǎn)：1、列方程應(yīng)用題的一般步驟。2、利用一元一次方程解決社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題（如經(jīng)濟(jì)問題、利潤問題、增長率問題）二、典型例題解析。

17、1、 要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫酸，問這兩種硫酸分別應(yīng)各取多少千克？2、一項(xiàng)工程由師傅來做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現(xiàn)由師徒同時做了4天，后因師傅有事離開，余下的全由徒弟來做，問徒弟做這項(xiàng)工程共花了幾天？3、某市場雞蛋買賣按個數(shù)計價，一商販以每個0.24元購進(jìn)一批雞蛋，但在販運(yùn)途中不慎碰壞了12個，剩下的蛋以每個0.28元售出，結(jié)果仍獲利11.2元，問該商販當(dāng)初買進(jìn)多少個雞蛋？：4、某商店將彩電按原價提高40%，然后在廣告上寫“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺彩電仍可獲利270元，那么每臺彩電原價是多少？5、一個三位數(shù)，十位上的數(shù)比個位上的數(shù)大4

18、，個位上的數(shù)比百位上的數(shù)小2，若將此三位數(shù)的個位與百位對調(diào)，所得的新數(shù)與原數(shù)之比為7:4，求原來的三位數(shù)？6、初一年級三個班，完成甲、乙兩項(xiàng)任務(wù)，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，現(xiàn)因任務(wù)的需要，需將（三）班人數(shù)分配至（一）、（二）兩個班，且使得分配后（二）班的總?cè)藬?shù)是（一）班的總?cè)藬?shù)的2倍少36人，問：應(yīng)將（三）班各分配多少名學(xué)生到（一）、（二）兩班？7、一個容器內(nèi)盛滿酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加滿，第二次倒出它的后用水加滿，這時容器中的酒精濃度為25%，求原來酒精溶液的濃度。8、 某中學(xué)組織初一同學(xué)春游，如果租用45座的客車，則有15個人沒有座位；如果租用同數(shù)量的

19、60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問租用哪種客車更合算？租幾輛車？ 9、 1994年底，張先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838，問到2006年底張先生多大？10、有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部A型抽水機(jī)，6天可抽干池水，若用21部A型抽水機(jī)13天也可抽干池水，設(shè)每部抽水機(jī)單位時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機(jī)抽水？11、狗跑5步的時間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現(xiàn)在狗已跑出55米，馬開始追它，問狗再跑多遠(yuǎn)馬可以追到它？1

20、2、一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，因霧大而未被發(fā)現(xiàn)，1小時快艇和輪船獲悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船從獲悉到追及小孩各需多少時間？數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸一、閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；4

21、、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。二、知識點(diǎn)反饋1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)在原點(diǎn)的左方，那么（ ）A B C D拓廣訓(xùn)練：1、如圖為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個數(shù)有（ ）（“祖沖之杯”邀請賽試題）A1 B2 C3 D43、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例2：如果數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5，那么A、B兩點(diǎn)的距離為 。拓廣訓(xùn)練：1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則2、已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O

22、的距離之和等于 。（北京市“迎春杯”競賽題）3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；例3：已知且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是 。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）拓廣訓(xùn)練：若且，比較的大小，并用“”號連接。例4：已知比較與4的大小 拓廣訓(xùn)練：1、已知，試討論與3的大小 2、已知兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。例5： 有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結(jié)果為（ ）A B C D拓廣訓(xùn)練：1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為 。2、已知，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如圖所示，則成立的是 。 3、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖：則化簡后的結(jié)果是（ ）（

23、湖北省初中數(shù)學(xué)競賽選撥賽試題）A B C D三、培優(yōu)訓(xùn)練1、已知是有理數(shù)，且，那以的值是（ ）A B C或 D或10A2B5C2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動點(diǎn)向左移動2個單位長度到達(dá)點(diǎn)，再向右移動5個單位長度到達(dá)點(diǎn)若點(diǎn)表示的數(shù)為1，則點(diǎn)表示的數(shù)為（）3、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個單位，點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（ ）AA點(diǎn) BB點(diǎn) CC點(diǎn) DD點(diǎn)4、數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大小關(guān)系是（ ）A B C D不確定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，若，那么點(diǎn)B（ ）A在A、C點(diǎn)右邊 B在A、C點(diǎn)左邊

24、 C在A、C點(diǎn)之間 D以上均有可能6、設(shè)，則下面四個結(jié)論中正確的是（ ）（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）A沒有最小值 B只一個使取最小值C有限個（不止一個）使取最小值 D有無窮多個使取最小值7、在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示和，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是 。8、若，則使成立的的取值范圍是 。9、是有理數(shù)，則的最小值是 。10、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：且求的值。11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時，如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊；如圖3，點(diǎn)A、B都在

25、原點(diǎn)的左邊；如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊。綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離。（2）回答下列問題：數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是 ；數(shù)軸上表示和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 ，如果，那么為 ；當(dāng)代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是 ；求的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的算術(shù)根可以有進(jìn)一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)

26、注意以下幾個方面：1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點(diǎn)。脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法。去絕對值符號法則：2、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離。3、靈活運(yùn)用絕對值的基本性質(zhì) 二、知識點(diǎn)反饋1、去絕對值符號法則例1：已知且那么 。拓廣訓(xùn)練：1、已知且，那么 。（北京市“迎春杯”競賽題）2、若，且，那么的值是（ ）A3或13 B13或-13 C3或-3 D-3或-132、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對值的幾何意義例2： 的最小值是（ ）A2 B0 C1 D-1解法1、分類討論當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時。比較可知，的最小值是2，故選A。解法

27、2、由絕對值的幾何意義知表示數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；表示數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；的最小值是指點(diǎn)到1與-1兩點(diǎn)距離和的最小值。如圖易知當(dāng)時，的值最小，最小值是2故選A。拓廣訓(xùn)練：已知的最小值是，的最大值為，求的值。三、培優(yōu)訓(xùn)練1、如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則在中，負(fù)數(shù)共有（ ）（湖北省荊州市競賽題）A3個 B1個 C4個 D2個2、若是有理數(shù)，則一定是（ ）A零 B非負(fù)數(shù) C正數(shù) D負(fù)數(shù)3、如果，那么的取值范圍是（ ）A B C D4、是有理數(shù)，如果，那么對于結(jié)論（1）一定不是負(fù)數(shù)；（2）可能是負(fù)數(shù)，其中（ ）（第15屆江蘇省競賽題）A只有（1）正確

28、B只有（2）正確 C（1）（2）都正確 D（1）（2）都不正確5、已知，則化簡所得的結(jié)果為（ ）A B C D6、已知，那么的最大值等于（ ）A1 B5 C8 D97、已知都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有（ ）A唯一確定的值 B3種不同的值 C4種不同的值 D8種不同的值8、滿足成立的條件是（ ）（湖北省黃岡市競賽題）A B C D9、若，則代數(shù)式的值為 。10、若，則的值等于 。11、已知是非零有理數(shù)，且，求的值。12、已知是有理數(shù)，且，求的值。13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱分別為與的零點(diǎn)值

29、）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1）當(dāng)時，原式=;（2）當(dāng)時，原式=；（3）當(dāng)時，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請你解決以下問題：分別求出和的零點(diǎn)值；（2）化簡代數(shù)式14、（1）當(dāng)取何值時，有最小值？這個最小值是多少？（2）當(dāng)取何值時，有最大值？這個最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。15、某公共汽車運(yùn)營線路AB段上有A、D、C、B四個汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，要求A，B，C，D四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好？16、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在

30、一條直線上有依次排列的臺機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，使這臺機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形： 如圖，如果直線上有2臺機(jī)床（甲、乙）時,很明顯P設(shè)在和之間的任何地方都行,因?yàn)榧缀鸵曳謩e到P的距離之和等于到的距離.如圖,如果直線上有3臺機(jī)床(甲、乙、丙)時，不難判斷，P設(shè)在中間一臺機(jī)床處最合適，因?yàn)槿绻鸓放在處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為到的距離；而如果P放在別處，例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D近段距離，這是多出來的，因此P放在處是最佳選擇。不難知道，如果直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何

31、地方；有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置。問題（1）：有機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在何處？問題（2）根據(jù)問題（1）的結(jié)論，求的最小值。有理數(shù)的運(yùn)算一、閱讀與思考在小學(xué)里我們已學(xué)會根據(jù)四則運(yùn)算法則對整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：首先，有理數(shù)計算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說的符號演算。數(shù)學(xué)競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速成度，有理數(shù)的計

32、算常用的技巧與方法有：1、利用運(yùn)算律；2、以符代數(shù)；3、裂項(xiàng)相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識點(diǎn)反饋1、利用運(yùn)算律：加法運(yùn)算律乘法運(yùn)算律例1：計算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：1、計算（1） （2）例2：計算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：計算：2、裂項(xiàng)相消（1）；（2）；（3）（4）例3、計算解：原式= = =拓廣訓(xùn)練：1、計算：3、以符代數(shù)例4：計算：解：分析：令=，則原式=拓廣訓(xùn)練：1、計算：4、分解相約例5：計算：解：原式= =三、培優(yōu)訓(xùn)練1、是最大的負(fù)整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，則= 。2、計算：（1）= ； （2）= 。3、若與互為相反數(shù)，則= 。4、計算：= 。5、計算：= 。6、這四個

33、數(shù)由小到大的排列順序是 。7、（2007“五羊杯”）計算：=（ ）A3140 B628 C1000 D12008、（2005“希望杯”）等于（ ）A B C D9、（2006“五羊杯”）計算：=（ ）A B C D10、（2009鄂州中考）為了求的值，可令S，則2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理計算出的值是（ ）A、 B、 C、 D、11、都是正數(shù)，如果，那么的大小關(guān)系是（ ）A B C D不確定12、設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為的形式，又可表示為的形式，求的值（“希望杯”邀請賽試題）13、計算（1）（2009年第二十屆“五羊杯”競賽題）（2）（北京市“迎春杯”競賽題）14、已知互為

34、相反數(shù)，互為負(fù)倒數(shù)，的絕對值等于，求的值15、已知，求的值（2006，香港競賽）16、（2007，無錫中考）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了層將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為第2層第1層第n層圖圖2圖3圖4如果圖1中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是；（2）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和第一講 和絕對值有關(guān)的問題知識結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)絕對

35、值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。 也可以寫成： 說明：（）|a|0即|a|是一個非負(fù)數(shù)；（）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對

36、值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正數(shù)B是負(fù)數(shù)C是零D不能確定符號解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)

37、形結(jié)合解決問題的意識。例3（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x<0，y>0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x>0，y&l

38、t;0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x<0，y<0，則 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x>0，y>0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整體的思想）方程 的解的個數(shù)是（ D ）A1個 B2個 C3個 D無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。 例5（非負(fù)性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，

39、試求下式的值分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：_相等 .（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置。那么點(diǎn)A呢？因?yàn)?/p>

40、x可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？ 結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)x<-1時，距離為-x-1, 當(dāng)-1<x<0時，距離為x+1， 當(dāng)x>0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 5 ，取得最小值時x的取值范圍為 -3x_2_.分析：即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 x<-4或

41、x>-1 分析： 同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實(shí)上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題。 小結(jié)1理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負(fù)性2體會

42、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1 “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1若多項(xiàng)式的值與x無關(guān)，求的值.分析：多項(xiàng)式的值與x無關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)樗?m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2x=-2時，代

43、數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時，代數(shù)式的值。分析： 因?yàn)楫?dāng)x=-2時， 得到，所以當(dāng)x=2時，=例3當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由 得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點(diǎn)問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項(xiàng)） 例5（實(shí)際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A

44、公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實(shí)際收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯。例6三個數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。解：因?yàn)?/p>

45、abc<0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)，或三個都是負(fù)數(shù)又因?yàn)閍+b+c>0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b<0，c<0時，x=0。另：觀察代數(shù)式 ，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問題：172839410511612例7如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，

46、OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線 _上，“2008”在射線_上（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為_分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19， 觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6， 歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因?yàn)?7=3×6-1，所以17在射線OE上。因?yàn)?008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射線OD上例8 將正奇數(shù)按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 1

47、3 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找 第三列數(shù)： 3，11，19，27， 規(guī)律為8n-5 因?yàn)?007=250×8+7=251×8-1 所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列 又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9（2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n5；當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行例如，取n26，則：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是_分析：問題的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運(yùn)算，即當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使 為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個運(yùn)算才能結(jié)束。 449奇數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?，1是奇數(shù)，