高中數(shù)學(xué)組合計數(shù)問題教學(xué)設(shè)計Word版

1、簡單的組合計數(shù)問題 浙江省鎮(zhèn)海中學(xué) 沈虎躍 【教學(xué)目標(biāo)】【知識與技能】1、靈活應(yīng)用分類相加原理與分步相乘原理進行計數(shù)2、掌握基本的組合數(shù)恒等變形.【過程與方法】通過解決幾個簡單的組合計數(shù)問題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步熟練掌握解決簡單的組合計數(shù)問題的常用思考方法【情感、態(tài)度價值觀】1、滲透解決問題從自然的想法出發(fā)，從簡單問題入手的基本原則2、使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理3、通過引導(dǎo)學(xué)生主動參與分析解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，及鍥而不舍的精神【重點難點】重點：靈活應(yīng)用分類相加原理與分步相乘原理進行計數(shù)難點：如何將問題進行適當(dāng)?shù)姆诸惢蚍植健就黄品绞健客ㄟ^典型例題的師生互動分析、共同解決，加深學(xué)生對兩個基本

2、計數(shù)原理的理解；通過引申變式訓(xùn)練，進一步深化其應(yīng)用【教學(xué)策略】【教學(xué)順序】課題引入，方法展示，互動探究，方法構(gòu)建，練習(xí)鞏固，歸納小結(jié)【教學(xué)方法與手段】1采用師生互動的方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過思考、交流、討論、辨析，加深學(xué)生對兩個基本計數(shù)原理的理解，體驗自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性與主動性2利用計算機輔助教學(xué)【教學(xué)過程】一、課題引入本課我們主要通過共同解決幾個簡單的組合計數(shù)問題來進一步理解基本計數(shù)原理、掌握組合計數(shù)中一些常用方法與技巧。同學(xué)們最喜歡聽技巧，最好來“四兩撥千斤”，要知道如果用杠桿原理來做的話，你的運動位移是抬起高度的2500倍，你以更長的位移換取更小的力

3、。數(shù)學(xué)上大概也如此，想到用更簡潔的方法與技巧，大概要付出更長的思考時間，當(dāng)然數(shù)學(xué)上更長的思考時間可以在平時進行，還是那句老話，“一份辛苦，一份收獲”。對于組合數(shù)學(xué)我很欣賞。不妨從一個簡單的例子來展示一下。二、方法展示【引例】n 元集S=1,2,3,n的子集個數(shù)為 。方法1：按照子集中含有元素的個數(shù)分類計數(shù)：含有k個元素的子集有（k=0,1,2,3,n）個,則共有子集。其中揭示了組合計數(shù)中一個基本原理：分類相加原理，即完成一件事情可分成n類，第i類有種方式，則完成這一件事情共有種方式。方法2：按照每一個元素的歸屬分步計數(shù)：設(shè)AÍS，我們考慮，1ÎA或1ÏA有2種方式

4、，2ÎA或2ÏA有2種方式，一般地，kÎA或kÏA有2種方式，當(dāng)1，2，3，n這n個元素的歸屬確定，則子集A中的元素也就確定下來了，這樣共有個不同的子集。其中揭示了組合計數(shù)中一個基本原理：分步相乘原理，即完成一件事情可分成n步，第i步有種方式，則完成這一件事情共有種方式。以上兩種方式及其揭示的原理是組合計數(shù)中的兩個基本原理，在今后的計數(shù)中經(jīng)常用到。當(dāng)然對于一個關(guān)于n的問題我們也可以從簡單做起、從小做起的角度考慮.當(dāng)n=1時，子集個數(shù)為2個即Æ，1當(dāng)n=2時，子集個數(shù)為4個即Æ，1，2，1,2當(dāng)n=3時，子集個數(shù)為8個即Æ，1

5、，2，1,2，3，1,3，2,3，1,2,3也就是說，我們只需將前一種方式排出，則下一種即可作出。方法3：遞推法計數(shù)：設(shè)n 元集S=1,2,3,n的子集個數(shù)為，則，則n1 元集1,2,3,n1的子集個數(shù)為，同時這些子集可以分成兩類：第一類，不含n1，有個；第二類，含n1，只需在每不含n1的子集中添加n1即可，這樣也有有個。故即三、互動探究【例1】已知AB=1,2,3,n，則有序集合對(A,B)的個數(shù)為 。AB方法1：（按A中的元素個數(shù)分類）：設(shè)|A|=k,則此時B的構(gòu)成如下:A中的每個元素可取也可不取,其余元素全取,故有序集合對(A,B)的個數(shù)為方法2：（分步而言）：（如圖）將AB分成AB、A

6、B、BA互不相交的三個部分即分為三類，則i可以放在這三類中的任意一類（i1,2,3,n），故共有個有序集合對。 對于元素i有iÎA，iÏA兩種選擇，又iÎB，iÏB兩種選擇,再除去i不在A，也不在B中的情形，即有種方式（i1,2,3,n），故共有個有序集合對。ABC【引申1】 已知ABC=1,2,3,n，則三元有序集合組(A,B,C)的個數(shù)為 。方法1：（按AB中的元素個數(shù)分類）：設(shè)|AB|=k,則C的選擇方式有種, 滿足|AB|=k的集合對(A,B)有中,這樣故三元有序集合組(A,B,C的個數(shù)為方法2：（分步而言）：（如圖）恰好分成互不相交的7部分，故

7、共有個有序集合對。 對于元素i有iÎA，iÏA兩種選擇， iÎB，iÏB兩種選擇, 又iÎC，iÏC兩種選擇,再除去i不在A，不在B中, 也不在C中的情形，即有種方式（i1,2,3,n），故共有個有序集合對?！疽?】已知ABCD=1,2,3,n，則四元有序集合組(A,B,C,D)的個數(shù)為 。方法1：（分類而言）：方法2：（分步而言）：（如圖）畫四個圓能行嗎？不行?。槭裁纯隙ú恍?？）當(dāng)然畫圖還可以，比如同【引申1】、【引申2】可知，故共有個有序集合對?！疽?】已知A1A2Ak=1,2,3,n，則n元有序集合組(A1,A2,Ak)的

8、個數(shù)為 。對于k較大時畫圖比較麻煩，采用方法2比較恰當(dāng)，這樣可得共有個有序集合對。數(shù)學(xué)歸納法四、方法構(gòu)建1、將問題恰當(dāng)?shù)胤诸惢蚍植?、從簡單入手（包括簡單的想法、問題的特殊化等）五、練習(xí)鞏固【練習(xí)】用1，2，3，4，5，6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字1出現(xiàn)偶數(shù)次有多少個？解:設(shè)1在n位整數(shù)中出現(xiàn)次,.附（遞推法）:設(shè)A=用1，2，3，4，5，6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字1出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)設(shè)則, 即.【引申1】用1，2，3，4，5，6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字1，2均出現(xiàn)偶數(shù)次有多少個？解: 設(shè)1,2在n位整數(shù)中共出現(xiàn)次,其中1出現(xiàn)次,則1，2均出現(xiàn)偶數(shù)次有=附（遞推法）: 設(shè)：表示在n位整數(shù)中1

9、出現(xiàn)偶數(shù)次,2出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)；：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)奇數(shù)次,2出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)；：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次,2出現(xiàn)奇數(shù)次的個數(shù)；：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)奇數(shù)次,2出現(xiàn)奇數(shù)次的個數(shù)；則 由-得由-得又令即1,2均出現(xiàn)次數(shù)同奇偶的個數(shù);即1,2均出現(xiàn)次數(shù)異奇偶的個數(shù);所以(可由+得) (可由+得) 由+得 由-得 所以,所以,【引申2】用1，2，3，4，5，6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字1，2至少一個出現(xiàn)偶數(shù)次有多少個？解:設(shè)A=n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)；B=n位整數(shù)中2出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)則AÇB=n位整數(shù)中1，2均出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)，由上面的討論可知,，| AÇB|=故【例3】設(shè)自然數(shù) k滿足，取最小的，使中個數(shù)，已知滿足的數(shù)列的個數(shù)為. 求k。解答：將重新排列成，由m的最小性，設(shè)，則 當(dāng)t固定時.由且b1不能為1，故b1有t2種取法，而故有種取法，而將b1,b2,bk排列有k!種，于是確定有 (t2)k!種,而前面分析,而在大于t的100t個數(shù)中除去還有個數(shù)。故有種取法,而是固定的,其余數(shù)排列有種。綜上滿足 的排列個數(shù)由已知，故有六、歸納小結(jié) 這