隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 5.3 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則1、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則 表示函數(shù)（對(duì)應(yīng)關(guān)系）有多種不同的方法，其中有這樣一種方法，自變量x與因變量y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由二元方程F（x，y）=0所確定。定義 設(shè)有兩個(gè)非空數(shù)集A與B.若，由二元方程F（x，y)=0對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)，則稱(chēng)此對(duì)應(yīng)關(guān)系（或?qū)憺閥=（x)是二元方程F(x，y)=0確定的隱函數(shù)。由隱函數(shù)的定義看到，二元方程F(x，y)=0確定的隱函數(shù)y=（x)（，）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此，有 Fx，f(x)=0 (或Fx，f(x)0 ）.例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1=0在R確定（從中解得）一個(gè)隱函數(shù)。事實(shí)上，由

2、二元方程對(duì)應(yīng)唯一一個(gè),且 F（x , )=2x-3-10.二元方程F(x，y)=x+y-a=0(a>0)在A=-a ，a確定兩個(gè)連續(xù)的（B=0 ，+)與B=（- ，0)隱函數(shù)。事實(shí)上，由二元方程對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)=,且 與，且 于是，二元方程F(x，y)=x+y-a=0在A=-a ，a確定了兩個(gè)連續(xù)的隱函數(shù)。 與。 這兩個(gè)隱函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為心以a為半徑的在區(qū)間的上半圓周與下半圓周，如圖5.5由此可見(jiàn)，所謂隱函數(shù)就是對(duì)應(yīng)關(guān)系不明顯的隱含在二元方程之中，相對(duì)隱函數(shù)來(lái)說(shuō)，對(duì)應(yīng)關(guān)系“明顯”的函數(shù)，例如， ， ，等等，就是顯函數(shù)。在本節(jié)之前，所遇到的函數(shù)絕大多數(shù)都是顯函數(shù)。值得注意的是，有些二元方程

3、確定的隱函數(shù)并不能用代數(shù)方法從中解出來(lái)，換句話說(shuō)，隱函數(shù)不是初等函數(shù)或不能化為顯函數(shù)。關(guān)于隱函數(shù)的存在性、連續(xù)性和可微性等理論問(wèn)題將在第十一章介紹。本節(jié)所討論的隱函數(shù)都是存在的，可導(dǎo)的。直接對(duì)隱函數(shù)所滿足的方程求導(dǎo)，往往更便利些。由于二元方程確定的隱函數(shù)，有 .應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)恒等式兩端求導(dǎo)數(shù)，即可求得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。下面舉例說(shuō)明隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：例1 求方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意，是的函數(shù)），有 ， ， ，解得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例2 求方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意，是的函數(shù)），有 ，解得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .

4、例3 證明過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程是 . （1）證明 首先求過(guò)點(diǎn) 的切線斜率 ,即求雙曲線確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的值. ，.解得.在點(diǎn)的切線斜率.從而，切線方程是 或 .因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以.于是，所求得切線方程是 .當(dāng)時(shí)，有.過(guò)雙曲線上點(diǎn)的切線方程是，也滿足（1）式.例4 證明拋物線 上任意點(diǎn)的切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距的和等于.證明 在拋物線上任取一點(diǎn)，即.求拋物線在點(diǎn)的切線斜率.由隱函數(shù)求導(dǎo)法則，有 或.從而斜率.在點(diǎn)的切線方程是 .它在軸與軸上的截距分別是與.于是，二截距之和是 （ ）+（） =.求某些顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接求它的導(dǎo)數(shù)比較繁瑣，這時(shí)可將它化為隱函數(shù)，用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求其導(dǎo)

5、數(shù)，比較簡(jiǎn)單些。將顯函數(shù)化為隱函數(shù)常用的方法是在等號(hào)兩端取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)，這就是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。適用于冪指函數(shù)以及其他一些函數(shù).現(xiàn)舉例如下：例5 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 等號(hào)兩端取絕對(duì)值的對(duì)數(shù)，有 .由隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 ，即 .例6 求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 將冪指函數(shù)等號(hào)兩端取對(duì)數(shù)，有 .按隱函數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)上式等號(hào)兩端求導(dǎo)，有 ，由此得到 . 例7 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 等號(hào)兩端取絕對(duì)值的對(duì)數(shù)，有 由求導(dǎo)數(shù)法則，有 ，即 .2、 參數(shù)方程求導(dǎo)法則 參數(shù)方程的一般形式是 若與都可導(dǎo)，且，又 存在反函數(shù)，則是的復(fù)合函數(shù)，即 ， .由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 .這就是參數(shù)方程的求導(dǎo)公式。 例8 求橢圓上一點(diǎn)的切線斜率. 解法一 點(diǎn) 在上半橢圓上，從橢圓方程中解出上半橢圓方程是 ， .則 解法二 由隱函數(shù)求導(dǎo)法，有 或 ，則 . 解法三 將橢圓化為參數(shù)方程 .點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù).由參數(shù)方程求導(dǎo)法，有 則 . 例9 設(shè)炮彈的彈頭初速度是，沿著與地面成角的方向拋射出去，求在時(shí)刻時(shí)彈頭的運(yùn)動(dòng)方向（忽略空氣阻力，