概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念§ 2 .樣本空間、隨機(jī)事件1 .事件間的關(guān)系 A B 則稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生A B xx A或x B稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B xx A且x B稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng) A, B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A- B xx A且x B稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B ,則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件 A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的A B S且A B ,則稱事件A與事件

2、B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件2.運(yùn)算規(guī)則交換律ABBAABBAA(B C)結(jié)合律(A B) C A (B C) (A B)C分配律A (B C) (AB) (A C)A (B C) (A B)(A C)德摩根律ABA§ 3 頻率與概率定義 在相同的條件下，進(jìn)行了 n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A), 稱為事件的概率1 .概率P(A)滿足下列條件：(1)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件 A 0 P(A) 1(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事

3、件 S P(S) 1(3)可列可加性：設(shè)Ai, A2, , An是兩兩互不相容的事件， 有P( Ak)P(Ak)(n可k 1k 1以取 )2 .概率的一些重要性質(zhì)： P( ) 0nn(ii)若Ai,A2, , An是兩兩互不相容的事件，則有P( Ak)P(Ak) (n可以取 )k 1k 1P(B) P(A), P(B) P(A)(iii)設(shè)A, B是兩個(gè)事件若 A B,則P(B A)(iv)對(duì)于任意事件 A, P(A) 1(v) P(A) 1 P(A)(逆事件的概率)(vi)對(duì)于任意事件 A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB)§ 4等可能概型(古典概型)等可能概型

4、：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件 A 包含 k 個(gè)基本事件，即a ei ei ei ,里i1i 2ik 'i1，i2, , ik是12 n中某k個(gè)不同的數(shù),則有_k f ,kA包含的基本事件數(shù)P(A) j 1P皿 7 s中基本事件的總數(shù)§ 5 條件概率(1) 定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A) 0,稱P(B|A) P(AB)為事件A發(fā)生的條P(A)件下事件B發(fā)生的條件概率(2) 條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1非負(fù)性：對(duì)于某一事件 B ,有P(B | A) 02。規(guī)范性：對(duì)于必然事件 S, P(S|A) 13可列可加性：設(shè)B1，B2,

5、是兩兩互不相容的事件，則有P( Bi A ) P(Bi A ) i 1i 1(3) 乘法定理設(shè)P(A) 0,則有P(AB) P(B)P(A| B)稱為乘法公式(4) 全概率公式： P(A)P(BJP(A|Bi)貝葉斯公式:P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A| Bi)i 1§ 6 獨(dú)立性定義設(shè)A, B是兩事件，如果滿足等式 P(AB) P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)A, B是兩事件，且 P(A) 0,若A, B相互獨(dú)立，則 P(B| A) P B一 一 一 一定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與B,A與B,A與B第二章隨

6、機(jī)變量及其分布§ 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S e. X X(e)是定義在樣本空間 S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X X(e)為隨機(jī)變量§ 2離散性隨機(jī)變量及其分布律1 .離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨 機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量P(X Xk)Pk滿足如下兩個(gè)條件(1) Pk 0, (2)Pk =1k 12 .三種重要的離散型隨機(jī)變量(1) (0- 1)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 只能取 0 與 1 兩個(gè)值，它的分布律是P(X k) pk(1-p)1-k, k 0,1 (0 p 1),則稱X服從以P為參數(shù)的(0 - 1)分布或兩點(diǎn)分布。

7、(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布一設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與A ,則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)P(A) p (0 p 1),一此時(shí)P(A) 1-p.將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。n k n-kP(X k) pq , k 0,1,2, n 滿足條件(1) pk 0, (2)Pk =1 注意kk 1到n pkqn-k是二項(xiàng)式(p q)n的展開(kāi)式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)k為n, p的二項(xiàng)分布。(3)泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為k -eP(X k) ,k 0,1,2 ，其中0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為k!

8、X ()§ 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F(x) PX x,- x稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x) P(X x),具有以下性質(zhì) F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (2)0 F(x) 1,且5() 0,F( ) 1(3) F(x 0) F (x)，即 F (x)是右連續(xù)的§ 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x),存在非負(fù)可積函數(shù) f(x),使x對(duì)于任意函數(shù)x有F(x) f (t) dt,則稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X-的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度f(wàn)(x)dx 1 ；X2f(x)dx； (4

9、)若f (x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F (x)f(x)1概率密度f(wàn)(x)具有以下性質(zhì)，滿足(1) f(x) 0, (2)(3) P(XiX x2)2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X具有概率密度f(wàn) (x)均勻分布記為X U (a, b)(2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)1bra'a x b,則成x在區(qū)間3期上服從0 ,其他1 -x一e，x. 0其中0,其他0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。(3)正態(tài)分布(x )2若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為f(x) e 丁,- x ,2其中，(0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯分布，記

10、為,2、X N (,)特別，當(dāng)0,1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§ 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量g,(x)0 ,則fY(y)fX h(y第三章多2X具有概率密度 fx(x),- x ，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為h,(y), y ,其他E隨機(jī)變量§ 1二維隨機(jī)變量定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 S e. X X(e)和Y Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，稱 X X(e)為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量( X, Y)叫做二維隨機(jī)變量設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, y,二元函數(shù) F (x, y) P

11、(X x) (Y y)里區(qū)PX x, Y y稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)的 分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量 (X, Y)全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量。我們稱P(X xi, Y yj) pj, i, j 1,2,為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的 分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x, y),如果存在非負(fù)可積函數(shù) f(x,y),y x使對(duì)于任意x,y有F(x, y) f(u, v) dudv,則稱(X , Y)是連續(xù)性的隨機(jī)變量，-函數(shù)f (x, y)稱為隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。§ 2邊緣

12、分布二維隨機(jī)變量(X, Y)作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)F (x, y).而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)， 將他們分別記為FX(x), FY(y),依次稱為二維隨機(jī)變量 (X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。Pi? Pij PX xi, i 1,2, j 1P?jPjPY y>, j12分別稱Pi? P?j為(X, Y)關(guān)于X和關(guān)于丫的邊緣分布律。fx (x) f (x, y) dyfY(y)f (x, y) dx分別稱fx(x)，fY (y)為x , 丫關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣概率密度。33條件分布定義 設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j,若PYyj0,PX xi

13、,Y yj則稱 PX xi Y yj-jPY yjPij.一 ,iP?j1,2,為在Yyj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣PY yj X XiPX xi,YPX xiyjPjPi?,j 1,2,為在X xi條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為f(x, y), (X, Y)關(guān)于丫的邊緣概率密度為fY(y),若對(duì)于固定的v, fY(y)0,則稱f (x, y)、.' ,力為在Y=y fY(y)的條件下X的條件概率密度，記為 fX|Y(xy) =f(x,y)fY(y)§ 4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X, Y)的分布函y,即定義設(shè)F (x, y)及F

14、X(x), FY(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(數(shù)及邊緣分布函數(shù)若對(duì)于所有x,y有PX x,Y y PX xPYFx,y Fx(x)Fy(y), 則稱隨機(jī)變量 X和Y是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X , Y) , X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)§ 5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1, Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) (x, y).則z=x+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為fX Y (z) f (z y, y) dy或fX Y (z) f (x,z x) dx又若X和丫相互獨(dú)立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X , Y的邊緣密度分別為 fX (x), fY (

15、y)則fx Y(z)fX (zy)fY(y)dy 和fXy(Z)fX(x)fY(zx)dx這兩個(gè)公式稱為fX , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y ，2, Z的分布、Z XY勺分布XI八J 、口 一丫設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) (x, y),則Z , Z XYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fY.X (z)x f (x, xz)dxfXY (z)If (x,Z)dx又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X, Y的邊緣密度分別x x為 fX (x), fY (y)則可化為 fy,X (z) fX (x) fy (xz)dxfXY

16、(z):fX(x)fYgdx3 M maxX , Y及 N min X ,Y的分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX (x),FY(y)由于M maxX , Y不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有PM z PX z,Y z又由于X和丫相互獨(dú)立，得到 M maxX , 丫的分布函數(shù)為Fmax(z) Fx(z)Fy(z)N minX,Y的分布函數(shù)為 Fm. (z) 1 1 Fx (z) 1 Fy(z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§ 1 .數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為PX xkPk, k=1,2 ,若級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)k 1收斂，則稱級(jí)數(shù)xkPk的和為隨機(jī)變

17、量 X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即E(X)xk Pkk 1i設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x),若積分xf(x)dx絕對(duì)收斂，則稱積分xf(x)dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為 E(X),即E(X) xf(x)dx定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y= g(X)(g是連續(xù)函數(shù))如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PX xk pk,k=l,2,若g(xk)pkk 1絕對(duì)收斂則有E(Y) E(g(X) g(xk)pk k 1(ii)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為 f(x),若 g(x) f (x)dx絕對(duì)收斂則有 E(Y) E(g(X) g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1

18、設(shè)C是常數(shù)，則有E(C) C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有 E(CX) CE(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X Y) E(X) E(Y);4設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY) E(X)E(Y)§ 2方差2._2_定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若 E X E(X) 存在，則稱E X E(X) 為*的方差，記為D (x)即D (x) =E X E(X) 2,在應(yīng)用上還引入量 J而，記為(x),稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。_2_2_2D(X) E(X E(X)2 E(X2) (EX )2方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有D(C) 0,2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有 D(CX

19、 ) C2D(X), D(X C) D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X Y) D(X) D(Y) 2E(X - E(X)(Y - E(Y)特別，若X,丫相互獨(dú)立，則有 D(X Y) D(X) D(Y)4 D(X) 0的充要條件是 X以概率1取常數(shù)E(X),即PX E(X)1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望E(X) 2,則對(duì)于任意正數(shù)，不等式P X - F成立§ 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量EX E(X)Y E(Y)稱為隨機(jī)變量 X與丫的協(xié)方差為Cov(X,Y),即Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)工 Cov(X,

20、Y)而 xy jf稱為隨機(jī)變量 X和Y的相關(guān)系數(shù)D(X) D(Y)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y, D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具有下述性質(zhì)1Cov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2Cov(Xi X2,Y) Cov(Xi,Y) Cov(X2,Y)定理 1 XY 12 XY 1的充要條件是，存在常數(shù) a,b使PY a bx 1當(dāng) XY 。時(shí)，稱X和丫不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué) 期望力差兩點(diǎn)分 布0 p 1PX k) pk(1 p)1k,k 0,1,pp(1 p)二項(xiàng)式 分布n 10 p 1P(X k) Ckpk(1 p)nk,k 0,1, n,npnp(1 p)泊松分 布0k eP(X k) ,k 0,1,2,k!幾何分 布0 p 1k 1P(X k) (1 p) p,k 1,2,1 p1 p2 p均勻分 布a b1.一、,a x bf(x) b