量子力學(xué)主要知識點復(fù)習(xí)資料

1、大學(xué)量子力學(xué)主要知識點復(fù)習(xí)資料,填空及問答局部1能量量子化輻射黑體中分子和原子的振動可視為線性諧振子,這些線性諧振子可 以發(fā)射和吸收輻射能.這些諧振子只能處于某些分立的狀態(tài), 在這些 狀態(tài)下,諧振子的能量不能取任意值,只能是某一最小能量e的整數(shù) 倍,2 ,3 ,4 , ,n對頻率為n的諧振子,最小能量e為：h v2 .波粒二象性波粒二象性(wave-particle duality )是指某物質(zhì)同時具備波的特質(zhì)及粒子的特質(zhì).波粒二象性是量子力學(xué)中的一個重要概念.在經(jīng)典力學(xué)中,研究對象總是被明確區(qū)分為兩類：波和粒子.前者的典型例子是光,后者那么組成了我們常說的“物質(zhì).1905年,愛因斯坦提出了光

2、電效應(yīng)的光量子解釋,人們開始意識到光波同時具有波和粒子 的雙重性質(zhì).1924年,德布羅意提出“物質(zhì)波假說,認為和光一 樣,一切物質(zhì)都具有波粒二象性.根據(jù)這一假說,電子也會具有干預(yù) 和衍射等波動現(xiàn)象,這被后來的電子衍射試驗所證實.德布羅意公式E mc2 h v p mv 3 .波函數(shù)及其物理意義在量子力學(xué)中,引入一個物理量：波函數(shù) ,來描述粒子所具有的波 粒二象性.波函數(shù)滿足 薛定格波動方程22i - (r,t) V(r) (r,t) 0t2m粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示, "=尸?丁口=必；二二)|,51)其中,振幅|/(二1,二)|表 示波動在空間一點(x,y,z)上的強弱.所以

3、,1以工丁一二)應(yīng)該表示 粒子出現(xiàn)在點(x,y,z )附件的概率大小的一個量.從這個意義出發(fā), 可將粒子的波函數(shù)稱為概率波.自由粒子的波函數(shù)k Aexpl(p r Et)波函數(shù)的性質(zhì)：可積性,歸一化,單值性,連續(xù)性4 .波函數(shù)的歸一化及其物理意義常數(shù)因子不確定性設(shè)C是一個常此項)和野出點(x,y,z ) 附件出現(xiàn)概率的描述是相同的.相位不定性如巢浮數(shù) (x,y,Z)ei ,(x,蝦)和2 對華桂卦(x,y,z )附件出現(xiàn)概率的描述是相同的.表示粒子出現(xiàn)在點(x,y,z )附近的概率2| (x, y, z)| x y z表示點(x,y,z x處z的體積元2中找到粒子的概率.也藤是液品xdyd統(tǒng)升

4、詮釋.自然要求該粒 子在空間各點概率之總和為i 必然有以下歸一化條件5 .力學(xué)量的平均值既然(；)|2| (x,y,z)|2r袋,弟z)粒子出現(xiàn)在點r 23* r r 3x | (r) | xd r (r )x (r )d r,附件的概率,那么粒子坐標(biāo)的平均值,例如 x的平均值,由概d 3r dxdydz率論,有又如,勢能V是r的函數(shù)：V(r),其平均值由概率論,可表示為 V*(r)V(r) (r)d3r V *(r)V(r) (r)d3r3p(r)p(r) (r)d r再如,動量的平均值為：I、r 、,3P( P)P (P)d p,為什么不能寫成由于x完全確定時p完全不確定,x點處的動量沒有

5、意義 能否用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)計算動量的平均值？可以,但需要表示為 *(r)|? (r)d3r易動量 的算符6 .算符 量子力學(xué)中的算符表示對波函數(shù)(量子態(tài))的一種運算 如動量算符區(qū)i 能量算符E i1自2動能算符T? 2動能平均值T*(r)T?(r)d3r2m角動量算符l? r r?角動量平均值*(r)l?(r)d3r2薛定謂方程 i T ",t 2m 2Vr,t r,tH?算符h22mrVr,被稱為哈密頓算符,7 .定態(tài)A 算符,f 本征函數(shù),a 本征值的方詫稱為在征方阿.其中E E(r)H? E(r) E E(r)數(shù)學(xué)中小形如：f h 2 r2mV(r) E(r)方 稱為能

6、量本征方程,Er被稱為能量本征函數(shù),E被稱為能量本征值.當(dāng)E為確定值,(r,t)= E(r)exp( ' Et)撥函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài),處于定態(tài)下的粒子有以下特征：粒子的空間概率密度不隨時間改變,任何不顯含t的力學(xué)量 的平均值不隨時間改變,他們的測值概率分布也不隨時間改變.8 .量子態(tài)疊加原理但一般情況下,粒子并不只是完全處于其中的某一本征態(tài),而是以某種概率處于其中的某一本征態(tài).換句話說,粒子的狀態(tài)是所有這些分立狀態(tài)的疊加,即(X ) g n( X ), n| Cn |2表示在態(tài)(X)中發(fā)現(xiàn)粒子處于態(tài)n(X),具有能量En的概率9 .宇稱假設(shè)勢函數(shù)V (x) =V (-x),假設(shè)(

7、x)是能量本征方程對于能量本征值E的解,那么(x)也是能量本征方程對于能量本征值E的解定義空間反演算符P為：P (x)( x)如果 P (x)( x) (x)或 P (x)( x)(x),稱(x)具有確定的偶字稱或奇宇稱,如偶宇稱Pcos(x) cos( x) cos(x)奇宇稱Psin(x) sin( x)sin(x)注意：一般的函數(shù)沒有確定的宇稱設(shè)x是能量本征方程對應(yīng)于能量本征值E的解,如果 Vx V x,假設(shè)x無簡并,那么 x具有確定的宇稱.10 .束縛態(tài)通常把在無限遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)11 . 一維諧振子的能量本征值E En n 1/2 ,n 0,1,2,.12 .隧

8、穿效應(yīng)量子隧穿效應(yīng)為一種量子特性,是如電子等微觀粒子能夠穿過比 它們能量大的勢壘的現(xiàn)象.這是由于根據(jù)量子力學(xué),微觀粒子具有波 的性質(zhì),而有不為零的概率穿過位勢障壁.又稱隧穿效應(yīng),勢壘貫穿.根據(jù)經(jīng)典理論,總能量低于勢壘 是不能實現(xiàn)反響的.但依量子力學(xué)觀點,無論粒子能量是否高于 勢壘,都不能肯定粒子是否能越過勢壘,只能說出粒子越過勢壘 概率的大小.它取決于勢壘高度、寬度及粒子本身的能量.能量 高于勢壘的、運動方向適宜的未必一定反響,只能說反響概率較 大.而能量低于勢壘的仍有一定概率實現(xiàn)反響,即可能有一局部 粒子代表點穿越勢壘也稱勢壘穿透 barrier penetration ,好似從大山隧道通過

9、一般.這就是隧道效應(yīng). 例如應(yīng),其隧道效應(yīng)就較突出.13 .算符對易式飛堀費魅展滑窗F礴足交邂,啼量子力學(xué)中的一個根本問題：對易關(guān)系對易式區(qū)間,通常坐標(biāo)對易關(guān)系i , ,# i八,x,y,zH+H2低溫下反x0, l,y i z,l,zi y,角動量的對易式l?,xl?,xi z,R,y i y,l?,y0, l,z i x,i x,l?,z0,l?,Px0, g,Pyi 區(qū),l?,Pzi %,l：,PxiPz,l：,Py0, l?,PziPx,l?,PxiPy,l?z,Py iPx,lv,Pz0,l?,l?0, l?,l?0,l?,l?0,l? l?il?l?l?il? l? l?il?1

10、x , 1 y11 z, 1 y ,1 z11x , 1 z , 1 x 11 y令l?l?2學(xué)味有儼,位 0, l,l30, l?,l?014 .厄密算符平均值的性質(zhì) 用那么和勺共腕轉(zhuǎn)置算符及稱為A的厄密共腕算符,記為A,即A = A*.先轉(zhuǎn)置, 再共鈍.* OO *d A?d A體系的任何狀態(tài)下,其厄密算符的平均值必為實數(shù),在任何狀態(tài)下平均值為實的算符必為厄米算符,實驗上可觀測量相應(yīng)的算符必須是厄 米算符.厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交.15 .量子力學(xué)關(guān)于算符的根本假設(shè)1、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)(描寫.2 一一 、 2、波函數(shù)的模b(r,t)|表木t時刻粒子出現(xiàn)在空間點(x,

11、y,z )的概率.3、力學(xué)量用算符表示.4、波函數(shù)的用滿足薛定格方程ih(r,t)(42 V)(r,t) H? (r,t),t2mH? 2 V(r,t) 哈密頓算符 2m16 .算符的本征方程,本征值與本征函數(shù)數(shù)學(xué)中,形gaf的方程,稱為本征方程.其中A 算符,f 本征函數(shù),a 本征值滿足R A的和A不止一組,可能有n組,因此 A n An n此式稱為M本征方程,An稱為A的一個本征值,n稱為剛一個本征態(tài).n和A是算符曲本征態(tài)與本征值,如 果 入,都是不簡并的,那么 n能構(gòu)成一組正交歸完備態(tài)矢,系統(tǒng)的任何 狀態(tài) 均可展開如下:Xan n,其中,ann drn17 .不確定度關(guān)系的嚴格表達m綃士

12、iil罰618 .兩個算符有共同本征態(tài)的條件兩個算符對易,即A,囪019 .力學(xué)量完全集 假設(shè)算符的本征值是簡并的,僅由其本征值無法惟一地確定其本征態(tài).假設(shè)要惟一地確定其本征態(tài),必須再加上另一些與之對易的算符的本征 值才可.例如,僅由？的本征值不能確定體系狀態(tài),必再加上 二的 本征值才能確定體系狀態(tài).這樣,為了完全確定一個體系的狀態(tài),我 們定義力學(xué)量完全集.S-定義：如果有一組彼此獨立而且相互對易的厄米算符L , J ,它們只有一組共同完備本征函數(shù)集,記為1能,空可以表示一組量子數(shù),f 八 1A I給定一組量子數(shù)后,就完全確定了體系的一個可能狀態(tài),那么稱i從為體系的一組力學(xué)量完全集.20 .力

13、學(xué)量完全集共同本征態(tài)的性質(zhì)性有一組彼此對易的厄密算笛4,4區(qū),它們 擁有共同本征函數(shù)%,假設(shè)應(yīng)構(gòu)成正交歸一完備集, 使得任給體系的一個量子態(tài)上總有3=»聲小那么 k彖構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集.假設(shè)能級簡并,可以尋找另外的算符A,假設(shè)出,出二o,那么有可能用A的本征值對氏2的共同本征函數(shù)人 進行分類,從而使同一個石對應(yīng)的簡并態(tài)之 間的正交性得到保證.21 .守恒量 對于Hamilton量H不含時的量子體系,如果力學(xué)量 A與H對易,那么 無論體系處于什么狀態(tài)定態(tài)或非定態(tài),A的平均值及其測值的概 率分布均不隨時間改變,所以把 A稱為量子體系的一個守恒量.22 .狄拉克符號,內(nèi)積及其表示形

14、式,算符向左作用把希爾伯特空間一分為二,互為對偶的空間,就是狄拉克符號的優(yōu)點.用右矢| % >表不態(tài)矢,左矢<%|表不其共厄矢量,<%| 3>是內(nèi)積,<%| % >大于等于 0,稱為模方.| 3><% |是外積.| 右矢代表量子態(tài)；| 左矢量子態(tài)的共腕態(tài)假設(shè)k是力學(xué)量完全集F的本征態(tài),那么| k | k ,如球諧函數(shù)Ym是(l?2,l?)的共同本征函數(shù),| Ym | lm采用狄拉克符號表示量子態(tài)是,都只是一個抽象的態(tài)矢,未涉及任何 具體的表象.| k k|I或 Pk I,R|k k |為投影算符 kk設(shè)I為代表量子態(tài)獷的態(tài)矢,算符L對應(yīng)的力學(xué)量在

15、W態(tài)下的平均值為工二“五/V711Vz二= 2<小><4團八i<jiZ+zx亨V * J算符向左作用£ I伊 >=4I/><(p L I(P >=<(pX(p> T<(pL-<(p A >A.<(pL = /.<<p23 .角動量平方和角動量z分量的共同本征函數(shù) 這樣,儼和月的共同本征函數(shù)為m i 2l1 ( 1m)! mimYim( , )( 1)Pl (cos)e,4(lm)!0,1,2,注意量綱0,1,2,其中 m l ,l 1, l 1, l,lYm稱為球諧函數(shù),它們滿 足l？Yl

16、ml(l 1) 2Ym喉 m Ymm l , l 1, l 1, l , l注意,推導(dǎo)過程計算題有可能要考24 .氫原子的能量本征值與能級簡并度10 / 15E Ene4 1e2 12a n2n 1,2,3,氫原子的能級是n2簡并的25 .正常 Zeeman應(yīng)原子在外磁場中發(fā)光譜線發(fā)生分裂且偏振的現(xiàn)象稱為塞曼效應(yīng)；歷史上首先觀測到并給予理論解釋的是譜線一分為三的現(xiàn)象,后來又發(fā)現(xiàn) 了較三分裂現(xiàn)象更為復(fù)雜的難以解釋的情況,因此稱前者為正?；蚝?單塞曼效應(yīng),后者為反?；驈?fù)雜塞曼效應(yīng).26 .電子自旋 電子的根本性質(zhì)之一.電子內(nèi)稟運動或電子內(nèi)稟運動量子數(shù)的簡 稱 電子具有自旋,脛成自旋角動量瓦 在 任

17、何方向上的投影只有兩個數(shù)值:；T±s72 - 2啟旋形或自旋磁矩應(yīng).與品勺關(guān)系是 :億=基于假設(shè),區(qū)在空間空有身而王拓亞影只能取兩個數(shù)值,如不方向, I'= 土= 土闖> 3門加磁子中 JIBIHI自旋不是機械的自轉(zhuǎn)27關(guān)于電子自旋的Stern-Gerlach 實驗Stern-Gerlach experiment首次證實原子在磁場中取向量子化的實驗,是由O.斯特恩和W革拉赫在1921年完成的.實驗裝置如圖斯特恩-革拉赫實驗裝置示意圖示.使銀原子在電爐.內(nèi)蒸發(fā),通過狹縫形成細束,經(jīng)過一個抽成真空的不均勻的磁場區(qū)域磁場垂直于束方向,最后到達照相底片P上.在顯像后的底片上現(xiàn)了

18、兩條黑斑,表示銀原子在經(jīng)過不均勻磁場區(qū)域時成了兩束淅稱患"簞拉赫賓強裝量多意圖&比驗儀器矛怠b*坊區(qū)城的鐵百C星像底片實驗上高溫爐中的Ag原子處于高壓,從高溫爐中出來之后迅速冷卻, 處于基態(tài),磁量子數(shù)為零,似乎不該偏轉(zhuǎn),因此原子除了軌道磁矩外, 還有其他磁矩,即自旋磁矩.28堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)對鈉原子,3p3s的躍遷產(chǎn)生一條黃線589. 3nm用高分辨率的光譜儀進行觀測,發(fā)現(xiàn)它實際上是由兩條譜線構(gòu)成：1589.6nm 2589.0nm與Zeema敢應(yīng)不同,此現(xiàn)象并非 外界因素作用的結(jié)果,而是原子的故有特 性.其根源正是電子的 自旋.29 .量子躍遷與選擇定那么在外電場的激

19、發(fā)下,諧 振子從基態(tài)| 0 只能躍遷到第一激發(fā)態(tài) |1.Pio()q2 20,Pno( )0, n以上結(jié)果說明,00 2,0 3, 說明允許諧振子11可以發(fā)生,0n不能發(fā)生,n 1的躍遷發(fā)生,這稱為躍遷的選擇定那么 即諧振子只能躍遷到相鄰能級30 .禁戒躍遷一,一it i ,.t.Ckk(t)kk eikktHkkdt(12)i 0令Pkk(t) | Ckk(t) |2,那么Rk(t )代表系統(tǒng)從初態(tài)k躍遷到末態(tài)k的概率.當(dāng)kk時,有1 tOPkk(t)二| ei kktHkkdt |2(13)0假設(shè)存在這樣的末態(tài)k,使得Hkk0,Pkk0,說明從k到k的躍遷是不可能的,或 者說,從k 到k的

20、躍遷是禁戒的.在外電場的激發(fā)下,諧振子從基態(tài)| 0 不能躍遷到激發(fā)態(tài)| n ,其中n1.或者說,02,03, ,0n的躍遷為禁戒躍遷.31 .微擾論的思想解薛定調(diào)方程的一種常用的近似方法.一個量子體系,如果總 哈密頓量的各局部具有不同的數(shù)量級,又對于它精確求解薛定調(diào)方程 有困難,但對于哈密頓量的主要局部可以精確求解,便可先略去次要 局部,對簡化的薛定謂方程求出精確解；再從簡化問題的精確解出發(fā), 把略去的次要局部對系統(tǒng)的影響逐級考慮進去,從而得出逐步接近于 原來問題精確解的各級近似解.這種方法稱為微擾論.32 .突發(fā)微擾與絕熱微擾當(dāng)外界的微擾十分緩慢 地作用到系統(tǒng)上時,不 會改變系統(tǒng)的狀態(tài),這 樣的微擾叫 做絕熱微擾.當(dāng)外界的微擾十分忽然地作用到系統(tǒng)上時,也不會改變系統(tǒng)的狀態(tài),這樣的微擾叫 做突發(fā)微擾.33 .能量與時間不確定度t Eh被稱為時間一能量的不 確定度關(guān)系,可以證實 此式的一般形式為：E t2此式反映了一個力學(xué)量變化快慢的周期 t,同系統(tǒng)能量的不確定度環(huán)能同時為零34 .能級寬度與譜線寬度 由于能量不確定性 Ek t 2所以,所有的能級都有一個寬度,這叫能級的 展