數(shù)學選修2-2復習題

1、有關數(shù)學選修2-2復習題單選題(共5道)1、k (k>3, kCN*)棱柱有f (k)個對角面，則(k+1)棱柱的對角面?zhèn)€ 數(shù)f (k+1)為Af (k) +k-1Bf (k) +k+1Cf (k) +kDf (k) +k-22、用數(shù)學歸納法證明不等式一+葉；>： (n>2)時的過程中，由n=k到nw k+1時，不等式的左邊()A增加了一項許B增加了兩項-+_D增加了一項衣土，又減少了一項占3、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設 n=k (k>2,且k為 偶數(shù))時等式成立，則還需利用歸納假設再證()An=k+1時等式成立Bn=k+2時等式成立Cn=2k+2時等

2、式成立Dn=2 (k+2)時等式成立4、用數(shù)學歸納法證明“ Sn'r+號（n>2且nCN）時，" S2jj +1 fi +2 -Ji 2.4的值為（） .A虻CJ3 4D15、函數(shù)y=x2cosx的導數(shù)為Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx簡答題（共5道）6、設函數(shù)/V，'+0-如x ,日 #0 ,（D若曲線與工軸相切于異于原點的一點，且函數(shù) FO）的極小值為孑，求atb的值；（2）若3,且曰+-%、/7溫 j - JLq T

3、 1. Ai.7求證：孑J"；求證：/（”在01）上存在極值點.7、設nCN*, n>1,用數(shù)學歸納法證明： '-手石8、在數(shù)列嗎.回中，01T,且工.瓦41成等差數(shù)列，區(qū).4-1二成等比 數(shù)列> .(1)求三京區(qū)，包也；(2)根據(jù)計算結果，猜想g小訕的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.9、求函數(shù)f (x) =J；te-tdt的極值.10、對于數(shù)列xn,從中選取若干項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列.某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為正整數(shù)a,公比為正整數(shù)q (q>0)的無窮等比數(shù)列an的子數(shù)列 問題.為此，他任

4、取了其中三項 ak, am an (k<m< n).(1)若ak, am, an (k<m< n)成等比數(shù)列，求k, m, n之間滿足的等量 關系；(2)他猜想：”在上述數(shù)列an中存在一個子數(shù)列bn是等差數(shù)列”，為 此，他研究了 ak+an與2am的大小關系，請你根據(jù)該同學的研究結果來判斷上述 猜想是否正確；(3)他又想：在首項為正整數(shù) a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列中是否 存在成等比數(shù)列的子數(shù)列？請你就此問題寫出一個正確命題，并加以證明.1-答案：A2-答案：tc解：當n=k時，左邊的代數(shù)式為丁=+,+，當n=k+1時，左邊的代A+1 x+2 2k數(shù)式為占 +17匕

5、，故由n=k至Ijnwk+1時，不等式的左邊增加了兩項 + + 房；，又減少了一項占故選：C3-答案：tc解：若已假設n=k （k>2, k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所 以還需要證明n=k+2成立.故選：B.4-答案：tc解：不等式中分式的分母是從n+1逐步遞增大1到2n結束，所以當n=2時, 分式的分母從3到4結束，所以S2的值為：故選C.3 45-答案：A1-答案：（1）Y，T.（2） 刈在也1）上是存在極值點試題分析：（1）分析題意，可得該三次函數(shù)過原點，根據(jù)函數(shù)尸，區(qū)與x軸相切，所以有個極值為 0且有一個重根，故可得函數(shù)了乂有一個極大值0和一個極小值 ?，有一個重根，

6、 則對，區(qū)因式分解會得到完全平方式，即，3提取x的公因式后，剩下二次式的判 別3 = 0,得到a,b之間的關系式，再根據(jù)極小值為 3，則求導求出極小值點，得 到關于a,b的另外一個等式，即可求出a,b的值.（2）對“邛求導，帶入5言） 與已知條件 卷*m聯(lián)立化簡即可得到需要的不等式.求出尸 討論a的取值范圍，證明門口iJW/三其中必有兩者異號，則根據(jù)零點存在定-V X "X- * J理，即可證明，有極值點.試題解析：（1）/g-f嗎,依據(jù)題意得：/口）嗎於*含且二-人-4人二廠噎：/竟一吁卬事不七,詈n1n（a8 ir（x2）8分八01 一幼，尸(1)=1一面*，.若打。4,則廠&#

7、174; -1 2。0 ,由知八二,)JTj T JL所以/'3在m& )有零點，從而丁在電1)上存在極值Jj.Qi + 1占八、10分若"二由知八號八憶又g警著婦管產-空普青產!”所以門(©在嗝)有零點A j T"工qX + ，惠.'+ I7從而刈在陋】)上存在極值點.12分若口 。，由知“品”。，界| 1 1."Il7d舊二器二警二”,所以丁在L3)有零點,從而與工)在(。)上存 Hj +.JX|7工0+17在極值點.綜上知刈在(0J)上是存在極值點.14分2-答案：證明：記*吁+9 +飛(nCN*, n1),(1)當n=2時

8、，"口 = 一十七也，不等式成立；(2)假設 n=k(kCN*, k2)時，不等式成立，即, 則當n=k+1時，有收十口 =嶼十焉我十焉=%¥舒=病+1，.當n=k+1 時，不等式也成立；綜合(1), (2)知，原不等式對任意的nCN* (n1)都成3-答案：（1） q = 6.生-1 二必-20,4=9,方=16 ="；（2） ”一4+ D -九+D：,證明 過程見試題解析.試題分析：（1）由已知得地=/十%，令也=1得馬一叼十小，可得 %又一='L ,令抨=1得牝=瓦巫，可得與，依次分別求得其余各項；（2）由（1） 中結果，易猜想出/ =疔，用數(shù)學歸納

9、法證明中，當 = *+1時，需證/3-外一曲-1歐+以 牛切-智-術-不方可得結論成立.解：（1）由已知條件得 以= % + 4_ Ji'=馥ba,由此算出出一 6.生；1? 一嗎=獨，幺19也=16.叫1”.（2）由（1）的計算可以猜想鼻=楨"。一,下面用數(shù)學歸納法證明：當月:1時，由已知3-2 7 Y可得結論成立，假設當汽=R值“且好冷時猜想成 立，即/八就.加一世+1）.那么，當斯=#+1時，恁一 l地 導入伏+w Kk+D-1+期 mm，,人一:d：,因此當尾 （常，I）用=4+ 1時，結論也成立.當和知，對一切jjeT ,都有/-鈾+ u 一 /5成 立.12分4-

10、答案：解：二,函數(shù) f (x) =：te-tdt ,. f' (x) =xe-x ,令 f' (x) =0, 解得 x=0；又 x<0 時，f' (x) <0, f (x)是減函數(shù)，x>0 時，f' (x) >0, f (x)是增函數(shù)；x=0時，f (x)取得極小值為f (0) =0.解：二,函數(shù) f (x) =f：te-tdt ,.f' (x) =xe-x ,令 f' (x) =0,解得 x=0； 又 x<0 時，f' (x) <0, f (x)是減函數(shù)，x>0 時，f' (x) >

11、;0, f (x)是 增函數(shù)；.x=。時，f (x)取得極小值為f (0) =0.5-答案：解：(1)由已知可得：ak=aqk-1 , am=aqm-1 an=aqn-1,(1 分) 則卜E2=ak?an,即有(aqm-1) 2= (aqk-1 ) (aqn-1),.(3 分)2 (m-1) = (k-1 )+ (n-1),化簡可得.2m=k+n . (4 分)(2) ak+an=aqk-1+aqn-1 ,又 2am=2aqm-1 故 (ak+an) -2am=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aqk-1(1+qn-k-2qm-k ), . (6 分)由于 k,m, n 是正整數(shù)，且 n&

12、gt;m,則 n>m+1 n- k>m-k+1 ,又q是滿足q>1的正整數(shù)，則q>2,1+qn-k-2qm- k> 1+qn-k+1-2qm- k=1+q?qmk-2qm- k> 1+2qnk-2qm-k=1 >0,所以， ak+an>2am，從而上述猜想不成立.(10分)(3)命題：對于首項為正整數(shù) a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列an, 總可以找到一個無窮子數(shù)列bn,使得bn是一個等比數(shù)列.(13分)此命 題是真命題，下面我們給出證明.證法一：只要證明對任意正整數(shù)n,bn=a(1+d) n,n> 1 者B在數(shù)歹!J an中.因為 bn=

13、a(1+d)n=a( 1仁：d+二 d2+ T：dn)=a(Md+1, 這里M=；隹；d+T：dn-1為正整數(shù)，所以a (Md+1 =a+aMdHan中的第aM+1 項，證畢.(18分)證法二：首項為a,公差為d ( a, dCN*)的等差數(shù) 列為 a,a+d,a+2d,，考慮數(shù)列an中的項:a+ad, a+(2a+ad) d,a+(3a+3ad+d2 d,依次取數(shù)列bn中項 b1=a+ad=a(1+d), b2=a+ (2a+ad) d=a(1+d) 2, b3=a+ (3a+3ad+d2)d=a (1+d) 3,貝由 a<2a+ad<3a+3ad+d2,可知廣h ,并由數(shù) 學歸

14、納法可知，數(shù)列bn=a(1+d) n, n>l為列an的無窮等比子數(shù)列(18分)解：(1)由已知可得：ak=aqk-1 , am=aqm-1an=aqn-1,(1 分)貝氏/=ak?an, 即有(aqm-1) 2= (aqk-1 ) (aqn-1),.(3 分)2 (m-1) = (k-1 ) + (n-1 ), 化簡可得.2m=k+n . (4分)(2) ak+an=aqk-1+aqn-1 ,又 2am=2aqm-1 故 (ak+an) -2am=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aqk-1(1+qn-k-2qm-k ), . (6 分)由于 k,m, n 是正整數(shù)，且 n>

15、m,則 n>m+1 n- k>m-k+1 ,又q是滿足q>1的正整數(shù)，則q>2,1+qn-k-2qm- k> 1+qmk+1-2qm- k=1+q?qmk-2qm- k> 1+2qmk-2qm-k=1 >0,所以， ak+an>2am，從而上述猜想不成立.(10分)(3)命題：對于首項為正整數(shù) a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列an, 總可以找到一個無窮子數(shù)列bn,使得bn是一個等比數(shù)列.(13分)此命 題是真命題，下面我們給出證明.證法一：只要證明對任意正整數(shù)n,bn=a(1+d) n,n> 1 者B在數(shù)歹!J an中.因為 bn=a(1+d)n=a( 1+： d+*jd2+ T：dn)=a(Md+1, 這里M=1+；d+dn-1為正整數(shù)，所以a (Md+1 =a+aMdHan中的第aM+1 項，證畢.(18分)證法二：首項為a,公差為d