高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量Word版

1、高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量本周題目平面向量本周重點(diǎn)向量的運(yùn)算與應(yīng)用本周難點(diǎn)向量的應(yīng)用、向量與函數(shù)、三角、解析幾何綜合問題考點(diǎn)分析1. 向量是數(shù)形結(jié)合的典型。向量的幾何表示法-有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形法則；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義-共線；定比分點(diǎn)基本圖形-起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。2. 向量的三種運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都是向量的基本運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)

2、算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn)算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言加法與減法記則. 實(shí)數(shù)與向量的乘積記則兩個(gè)向量的數(shù)量積記運(yùn)算律加法：實(shí)數(shù)與向量的乘積：兩個(gè)向量的數(shù)量積：說明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如3. 重要定理、公式(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量與有序數(shù)對(duì)(1，2)一一對(duì)應(yīng)，稱(1，2)為在基底下的坐標(biāo)，當(dāng)取為單位正交基底時(shí)定義(1，2)為向量的平面直角坐標(biāo)。向

3、量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(2)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語言：若坐標(biāo)語言：設(shè)若x1y2-x2y1=0在這里，實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)同向時(shí)，0；當(dāng)異向時(shí)，0。，的大小由的模確定。因此，當(dāng)確定時(shí)，的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語言：坐標(biāo)語言：設(shè)(4)線段定比分點(diǎn)公式 如圖，設(shè)則定比分點(diǎn)向量式：定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè)P(x，y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)則特例：當(dāng)=1時(shí)，就得到中點(diǎn)

4、公式：實(shí)際上，對(duì)于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量(O與P1P2不共線)，總有，即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為1。(5)平移公式：點(diǎn)平移公式，如果點(diǎn)P(x，y)按，平移至P(x，y)，則分別稱(x,y),(x,y)為舊、新坐標(biāo)，為平移向量在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移向量三組坐標(biāo)中，已知兩組坐標(biāo)，一定可以求第三組坐標(biāo)圖形平移：設(shè)曲線C：f(x,y)=0按平移，則平移后曲線C對(duì)應(yīng)的解析式為f(x-h,y-k)=0利用平移變換可以化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)4. 向量既是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標(biāo)系的

5、引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點(diǎn)。本周例題一. 向量的有關(guān)概念與運(yùn)算此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復(fù)習(xí)中要充分理解平面向量的相關(guān)概念，熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量和運(yùn)算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件、定比分點(diǎn)公式、平移公式。例1. 已知a=(5,4),b=(3,2)，則與2a-3b平行的單位向量為_點(diǎn)撥與一個(gè)非零向量a共線的單位向量有兩個(gè)：與a同向的單位向量，與a反向的單位向量，求與已知向量平行的向量常用坐標(biāo)運(yùn)算。解析法一：2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)法二：令e=(x，y)2a-3b=(1,2)，且e與2a-3b平行x-2y=0，又x2+y2=1由解得變式

6、練習(xí)已知b是a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求b答案：(12,9)或(-12，-9)例2. 已知|a|=1，|b|=1，a與b的夾角為60，x=2a-b，y=3b-a，則x與y的夾角是多少？點(diǎn)撥要計(jì)算x與y的夾角，需求出|x|,|y|，xy的值，可利用|x|2=x2求解。解析由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60，得又點(diǎn)評(píng)本題利用模的性質(zhì)|a|2=a2在計(jì)算x，y的模長時(shí)，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設(shè)。由向量減法的幾何意義，得。由余弦定理易得變式練習(xí)1(2004年高考浙江卷)已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足的值等于_。(答案：-25)變式練習(xí)2已知，a和b的夾角

7、為45，求使向量a+b與a+b的夾角是銳角時(shí)的取值范圍。(答案：)例3. 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD是ABC的平分線，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及BD的長。剖析：A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為已知，要求點(diǎn)D的坐標(biāo)，只要能求出D分所成的比即可。解：由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D點(diǎn)坐標(biāo)為評(píng)述：本題給出了三點(diǎn)坐標(biāo)，因此三邊長度易知，由角平分線的性質(zhì)通過定比分點(diǎn)可解出D點(diǎn)坐標(biāo)，適當(dāng)利用平面幾何知識(shí)，可以使有些問題得以簡(jiǎn)化。思考討論若BD是AC邊上的高，或BD把ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解？請(qǐng)讀者思考二、平面向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合運(yùn)用當(dāng)平面向量給出的形式

8、中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計(jì)出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：利用向量平行或垂直的充要條件，利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì) 例4 已知平面向量(1)若存在實(shí)數(shù)k和t，使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式k=f(t)；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間。解析(1)法一：由題意知故整理得：t3-3t-4k=0，即法二：xy,xy=0，即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0，t3-3t-4k=0，即(2)由(1)知：令k

9、0得-1t0得t1故k=f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1)，單調(diào)遞增區(qū)是(-，-1)和(1，+).點(diǎn)評(píng)第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的(但運(yùn)算過程大大簡(jiǎn)化，值得注意)。第2問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用。變式練習(xí)1已知平面向量，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角，使向量，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍。(答案：)變式練習(xí)2已知向量(1)試用x表示；(2)求的最大值，并求此時(shí)夾角的大小。(答案：(1)

10、，(2)最大值為10，此時(shí)x=-2，)例5 已知(1)求證：a+b與a-b互相垂直；(2)若ka+b與a-kb的大小相等(kR，且k0，)求-(1)證法一：(a+b)(a-b)證法二：|a|=1,|b|=1(a+b)(a-b)證法三：記又，O、A、B三點(diǎn)不共線。由向量加、減法的幾何意義，可知以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中，由菱形對(duì)角線互相垂直，知(a+b)(a-b)(2)解：由已知得|ka+b|與|a-kb|又又k0, cos(-)=00 0-0)故點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓。()由為()知，又于是變式練習(xí)已知兩個(gè)M(-1,0)，N(1,0)，點(diǎn)P使成公差小于

11、零的等差數(shù)列，且向量垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。(答案：)例7. 平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(-1,3)，若點(diǎn)C滿足，其中，R且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為( )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0分析本題主要考查向量的運(yùn)算(幾何形式或坐標(biāo)形式)及直線的方程，把向量了解起來，使問題立意更新，情景更好，內(nèi)容更豐富。解法1設(shè)C(x，y)則消去參數(shù)，得點(diǎn)C的軌跡方程為x+2y-5=0解法2利用向量的幾何運(yùn)算，考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式，結(jié)合條件知：A，B，C三點(diǎn)共線，故點(diǎn)C的軌跡方程即為直線AB的方程x+2y-

12、5=0，故本題應(yīng)選D。本周練習(xí)(一)選擇題1. 平面內(nèi)三點(diǎn)A(0，-3)，B(3,3)，C(x，1)，若，則x的值為( )A. -5 B. -1 C. 1 D. 52. 平面上A(-2,1)，B(1，4)，D(4，-3)，C點(diǎn)滿足，連DC并延長至E，使，則點(diǎn)E坐標(biāo)為( )A. B. C. (0，1) D. 3. 點(diǎn)(2，-1)沿向量平移到(-2,1)，則點(diǎn)(-2,1)沿平移到：( )A. (2，-1) B. (-2，1) C. (6，-3) D. (-6,3)4. ABC中，2cosBsinC=sinA，則此三角形是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等邊三角形 D.以上均有可能5. 設(shè)是任意的非零平面向量，且相互不共線，則( ) 中，真命題是：A. B. C. D. 6. ABC中，若，則C的度數(shù)是( )A. 60 B. 45或135 C. 120 D. 307. OAB中，則點(diǎn)P在( )A. AOB平分線所在直線上B. 線段AB中垂線上C. AB邊所在直線上 D. AB邊的中線上8. 正方形PQRS對(duì)角線交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且A. B. C. (7,4) D. (二)填空題9. 已知是平面上一個(gè)基底，若共線，則=_10. 已知的夾角是_11. 設(shè)是兩個(gè)單位向量，它們夾角為60，則12. 把函數(shù)y=cosx圖象沿平移，得到函數(shù)_的圖