結(jié)構(gòu)力學(xué)第6章靜定桁架的內(nèi)力計算

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室青島理工大學(xué)工程管理系第六章靜定桁架的內(nèi)力分析 1、桁架的各部分名稱上弦桿 斜腹桿 豎腹桿 桁高 跨度 節(jié)間長度 下弦桿 6.1 6.1 概述概述理想桁架的假定： v 桁架中所有的結(jié)點均為理想鉸，即光滑無摩擦鉸接；v 桁架中所有桿的桿軸絕對平直，且通過其兩端鉸的中心； v 荷載和支座均在鉸結(jié)點上，即桁架上所有外力為結(jié)點力。 理想桁架計算得出的內(nèi)力（軸力）叫主內(nèi)力，相應(yīng)的應(yīng)力叫主應(yīng)力。而由于與理想假定偏差而產(chǎn)生的附加內(nèi)力叫次內(nèi)力，相應(yīng)的應(yīng)力叫次應(yīng)力。 理想桁架中的所有桿均是二力桿v簡單桁架： 見圖3.5.1 v聯(lián)合桁架： (a)聯(lián)合桁架 v復(fù)雜桁架： (b)復(fù)雜桁架 1)根

2、據(jù)桁架的幾何組成分類： 2、桁架的分類 三角形桁架、平行弦桁架、梯形桁架、折線形桁架、拋物線形桁架等。 梁式桁架、拱式桁架（有推力橫加）。 2)根據(jù)桁架外形的幾何形狀分為：3)根據(jù)桁架支座反力的特點分為：3、內(nèi)力計算方法： v 靜定桁架的內(nèi)力計算基本方法分為： v 在同一坐標(biāo)中，桁架桿的軸力及投影與桿長及投影有比例關(guān)系如下：見下圖。實際應(yīng)用一般是這兩種基本方法的靈活選擇、聯(lián)合應(yīng)用。 結(jié)點法截面法YYXXNLFLFLF(簡稱：力與桿長比例式)規(guī)定: 桁架桿軸力以受拉為正。 每次取一個結(jié)點為隔離體，利用結(jié)點平衡條件，求解桿軸力的方法。1、結(jié)點法：6.2 6.2 桁架內(nèi)力計算的結(jié)點法桁架內(nèi)力計算的結(jié)

3、點法用結(jié)點法計算圖(a)所示靜定桁架。 b4bDEACKF =2FAyPF=0AxF=2FByP(a) (b) 例6-2-1對于簡單桁架，可以用結(jié)點法求出全部桿件的軸力。 按拆二元體的順序，依次取結(jié)點（每次截斷兩根未計算的桿件）為隔離體，可不解聯(lián)立方程。 解： 要點對本例，用結(jié)點法計算如下： 見圖(c) FNAGF =2FAyPFNAEF=0Ax(c) 結(jié)點A：51sin52cos022sinPPNAGFFF 0YFPNAGFF253(a) 0XF0cosNAGNAEFFPNAEFF3 (b) FYAGF =2FAyPFNAEF=0AxFXAG (d) 利用比例式(6-1-1)時，結(jié)點A的受力

4、圖見圖(d)， 將斜桿中的待求軸力FNAG用X、Y方向的兩個分力FXAG、FYAG代替，計算如下： 0YF022PPYAGFFF23PYAGFF由比例關(guān)系，得： PYAGYAGAGNAGFFLLF253 (a) 0XF0XAGNAEFFPXAGNAEFFF3 (b) 結(jié)點E：見圖(e) FNEGFNED3FP(e) 0YF0NEGF (c) 0XFPNEDFF3(d) 結(jié)點G：見圖(f) FNGDFNGCPF253(f) 當(dāng)兩個待求軸力桿都為斜桿時，若要不使結(jié)點的兩個平衡方程耦聯(lián)只要將直角坐標(biāo)的一個坐標(biāo)軸與其中的一個桿軸重合，先建立另一個坐標(biāo)軸的投影方程即可。 0YF0cos2sinPNGDF

5、FPNGDFF25 (e) 0XF0sin2cos253PNGDPNGCFFFFPNGCFF5(f) 見圖(g) 結(jié)點的兩個平衡方程有時可以寫成力矩的形式。 FXGCFXGDFYGCFYGD23PFPF3 (g) 將力系中的某力沿其作用線上滑移到任一點分解，不影響原力系的平衡狀態(tài)。 據(jù)此，將三根斜桿的軸力，均在各桿相對G點的另一端點處分解。由于此時兩個豎向未知力分量在一條豎直線上，可由C、D兩點分別為矩心的力矩方程求出兩個水平未知力分量。計算如下： 0DMPPPXGCFbFbFbF2)223(1PXGCXGCYGCYGCFFLLFPXGCXGCGCNGCFFLLF5(f) 0CMPPPPXGD

6、FbFbFbFbF)2233(1PXGDXGDYGDYGDFFLLF21PXGDXGDGDNGDFFLLF25 (e) 結(jié)點C：見圖(h) 0YFNCDPFFFNCDPFPF2PFPF2(h) 結(jié)點D：見圖(i) 2PFPFPF3PFPF32PF(i) v該結(jié)點上的各桿軸力已有前各步計算得出，在此用于校核。DEACKPF5PF250PF3PF253PF3PF(j) 用圖(j)表示桁架內(nèi)力計算的最終結(jié)果。 2、結(jié)點法的特殊情況 在桁架計算所取的隔離體（結(jié)點法中的結(jié)點，或截面法中的桁架的一部分）所截斷的桿件中，若有一根桿件的位置或方向獨立于其它桿件，使該桿的軸力可由該隔離體獨立確定，則這個桿件就叫

7、做該隔離體的單桿。 單桿概念結(jié)點單桿的情況： (a) (b) 圖6-2-1 在桁架的內(nèi)力計算中，利用單桿的概念，先確定出單桿的內(nèi)力，不僅簡捷計算過程，有時是解題的關(guān)鍵路徑。例6-2-2 先判斷圖(a)、(b)兩圖所示桁架中的零桿，然后再說明用結(jié)點法計算余下各桿軸力的次序。 當(dāng)結(jié)點上無荷載作用時，結(jié)點上單桿軸力等于零，稱為零桿。解： 圖(a)，桁架中的零桿如圖(a)右虛線所示。然后可分別由結(jié)點D、C計算余 DCCD(a) 圖(b)，桁架中的零桿如圖(b)右虛線所示。然后求支座反力，再依次取結(jié)點計算余下各桿軸力。次序可為：A、D、C或 B、C、D，或分別A、B再D或再C。FPC2FPFPC2FP(

8、b) 例6-2-3 分析圖(a)所示靜定桁架，試找出用結(jié)點法計算時的簡單途徑。解：見圖(a)所示桁架 FP(a) v由結(jié)構(gòu)整體在水平方向上的平衡條件，可確定出水平支座反力，見圖(b)。 上部結(jié)構(gòu)是對稱的，只有一個水平支座約束不對稱，是該桁架的兩個特點。一般可利用對稱性簡化計算過程。 思路和做法如下:FPFP(b) v根據(jù)疊加原理，可將圖(b)示出的已知外力分解成正對稱和反對稱兩組外力后，分別作用在結(jié)構(gòu)上，見圖(c)、(d)所示。 F /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2P(c) (d) v內(nèi)力分析和解題路徑： 在正對稱荷載下，桁架應(yīng)具有正對稱的內(nèi)力分布，即

9、在桁架的對稱軸兩側(cè)的對稱位置上的桿件，應(yīng)有大小相等、性質(zhì)相同（拉或壓相同）的軸力。 考查結(jié)點K，見圖(e) 圖(c)：(e) 結(jié)點上兩斜桿的軸力應(yīng)滿足大小相等、性質(zhì)相反（一拉一壓）。這是K形結(jié)點(根據(jù)結(jié)點的形狀，又叫K形結(jié)點)上兩斜桿在其結(jié)點上無結(jié)點荷載情況下的典型內(nèi)力特點。與前面特點矛盾，故KD、KF為零桿。 考查結(jié)點考查結(jié)點E E：見圖：見圖(f)(f)EJ為零桿，繼而JA、JB為零桿。(f) 圖(d)：在反對稱荷載下，桁架應(yīng)具有反對稱的內(nèi)力分布，即在桁架的對稱軸兩側(cè)的對稱位置上的桿件，應(yīng)有大小相等、性質(zhì)相反的軸力。 6.36.3 桁架內(nèi)力計算的截面法桁架內(nèi)力計算的截面法截面法：用一個假想

10、的截面，將桁架截成兩部分，取其任一部分為隔離體，建立該隔離體的平衡方程，求解桿軸力的方法。截面法所截開的桿件中，軸力未知的桿件一般不應(yīng)超過三根，這樣可不解聯(lián)立方程仍以上一節(jié)例6-2-1為例，見圖6-3-1。 IIF =2FAyPF=0AxF=2FByP(a) hFNGD2bF =2FAyPF=0AxFNGCFNEDb(b) 用截面II截開桁架第二節(jié)間的三根桿，取左側(cè)部分為隔離體。然后，分別截斷見圖(b),未知桿力在隔離體上的一般表示。 0DM)2222(1bFbFbFhFPPPNGC由幾何關(guān)系得： 52bh 代入上式， PNGCFF5參照圖(b)計算如下： 0GMPPPNEDFbFFbF3)2

11、2(2 0YF022sin)(PPPNGCNGDFFFFFPNGDFF25見圖(c)有時利用未知桿力在隔離體上的分力表示，可避免求斜桿力臂的麻煩。FXGC2bbF =2FAyPF=0AxFYGCFXGDFNEDFYGD(c) 對于聯(lián)合桁架，若要求計算出全部桿的軸力，用截面法求簡單桁架之間的約束力，是必經(jīng)之路，也是關(guān)鍵步驟。D3dFPFP3dCAHGEKB(a) 例6-3-1 試對圖(a)所示桁架，1)分析并確定求解整個桁架內(nèi)力的路徑；2)尋找只計算桿a軸力時的簡捷方法，并求出桿a軸力 v求整個桁架內(nèi)力的一般步驟是，先求出支座反力，見圖(b) DFPFPCBAHGEKaIFPFPIIIII (b

12、) 解：FNGEDFPAGKFPFNKHFNDC (c) 由圖(c)所示截面左側(cè)隔離體求出截面截斷的三根桿的軸力后，即可依次按結(jié)點法求出所有桿的軸力。 利用截面II截開兩簡單桁架的連接處，取截面任一側(cè)為隔離體，見圖(c) 見圖(d) ，由結(jié)點H的結(jié)點單桿EH上的軸力，再由結(jié)點E（當(dāng)桿EH軸力已知時，桿a既是結(jié)點E上的結(jié)點單桿）可求出桿a的軸力。 v 方法1：FXaAHEFNEGFNECFPBFYa (d) 取截面IIII下為隔離體，見圖(e) BFXaAEFNEGFNECFPFNHBHFNHKFYa(e) v 方法2：將桿a軸力在B點分解，由 0AMPPYaFdFdF32)2(31PPYaYa

13、aNaFFFlLF35)32(25該隔離體上有5根被截斷的桿件，但有4根是交于一點A的，因此利用以鉸A為矩心的力矩方程，可直接求出桿a的軸力。 截面法的特殊情況 1) 除了一根單桿外，其它桿全部交于一點； 2) 除了一根單桿外，其它桿桿軸均相互平行。見圖6-3-2所示 截面法單桿分兩種情況，即在截面上截斷的全部桿件中， (a) (b) 圖6-3-2 dFPddd(a) 例例6-3-26-3-2v由上部結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，求的支座反力如圖(b)所示。 IIF=F /2ByPF =F /2AyPF=FAxP (b) 解： 0YF022222PNKAFF2PFNKAFv取截面II右，可求該截面上的單

14、桿AK的軸力（當(dāng)不利用結(jié)構(gòu)的對稱性時，這一步是解題的關(guān)鍵）。計算如下：v依次取結(jié)點，計算指定桿軸力： FNAJFNADF =F /2AyPF=FAxPF /2P(d) 圖(d) 結(jié)點A： 0YF0222PNAJFFPNAJFF22PF22FNa(e) 利用該結(jié)點的對稱性，且由水平方向的投影方程得： PNaFF22 (a)圖(e) 結(jié)點J:v既有梁式桿又有桁架桿的結(jié)構(gòu)稱作組合結(jié)構(gòu)。見圖6-4-1所示。6.4 6.4 組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析 圖6-4-1 組合結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算的一般途徑是： 先計算桁架桿，再計算梁式桿。 例6-4-1 計算圖(a)所示組合結(jié)構(gòu)，求出二力桿中的軸力，并作梁式桿的彎矩圖。 3mDE2m3m1.5m2mq=10kNmHGCBA(a) v計算支座反力 見圖(b) IF =12.5kNByIHBECF=0AxF =37.5kNAyq=10kNmGDA(b) 解：解： v 取截面II右側(cè)，計算桿DE的軸力和鉸C處的約束力，見圖(e)。 12.5kNBHEF=41.67kNNEDCF=-41.67kNCxF=-12.5kNCy (e) 0CMkNF