結(jié)構(gòu)力學(xué)第6章靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室青島理工大學(xué)工程管理系第六章靜定桁架的內(nèi)力分析 1、桁架的各部分名稱(chēng)上弦桿 斜腹桿 豎腹桿 桁高 跨度 節(jié)間長(zhǎng)度 下弦桿 6.1 6.1 概述概述理想桁架的假定： v 桁架中所有的結(jié)點(diǎn)均為理想鉸，即光滑無(wú)摩擦鉸接；v 桁架中所有桿的桿軸絕對(duì)平直，且通過(guò)其兩端鉸的中心； v 荷載和支座均在鉸結(jié)點(diǎn)上，即桁架上所有外力為結(jié)點(diǎn)力。 理想桁架計(jì)算得出的內(nèi)力（軸力）叫主內(nèi)力，相應(yīng)的應(yīng)力叫主應(yīng)力。而由于與理想假定偏差而產(chǎn)生的附加內(nèi)力叫次內(nèi)力，相應(yīng)的應(yīng)力叫次應(yīng)力。 理想桁架中的所有桿均是二力桿v簡(jiǎn)單桁架： 見(jiàn)圖3.5.1 v聯(lián)合桁架： (a)聯(lián)合桁架 v復(fù)雜桁架： (b)復(fù)雜桁架 1)根

2、據(jù)桁架的幾何組成分類(lèi)： 2、桁架的分類(lèi) 三角形桁架、平行弦桁架、梯形桁架、折線形桁架、拋物線形桁架等。 梁式桁架、拱式桁架（有推力橫加）。 2)根據(jù)桁架外形的幾何形狀分為：3)根據(jù)桁架支座反力的特點(diǎn)分為：3、內(nèi)力計(jì)算方法： v 靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算基本方法分為： v 在同一坐標(biāo)中，桁架桿的軸力及投影與桿長(zhǎng)及投影有比例關(guān)系如下：見(jiàn)下圖。實(shí)際應(yīng)用一般是這兩種基本方法的靈活選擇、聯(lián)合應(yīng)用。 結(jié)點(diǎn)法截面法YYXXNLFLFLF(簡(jiǎn)稱(chēng)：力與桿長(zhǎng)比例式)規(guī)定: 桁架桿軸力以受拉為正。 每次取一個(gè)結(jié)點(diǎn)為隔離體，利用結(jié)點(diǎn)平衡條件，求解桿軸力的方法。1、結(jié)點(diǎn)法：6.2 6.2 桁架內(nèi)力計(jì)算的結(jié)點(diǎn)法桁架內(nèi)力計(jì)算的結(jié)

3、點(diǎn)法用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算圖(a)所示靜定桁架。 b4bDEACKF =2FAyPF=0AxF=2FByP(a) (b) 例6-2-1對(duì)于簡(jiǎn)單桁架，可以用結(jié)點(diǎn)法求出全部桿件的軸力。 按拆二元體的順序，依次取結(jié)點(diǎn)（每次截?cái)鄡筛从?jì)算的桿件）為隔離體，可不解聯(lián)立方程。 解： 要點(diǎn)對(duì)本例，用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算如下： 見(jiàn)圖(c) FNAGF =2FAyPFNAEF=0Ax(c) 結(jié)點(diǎn)A：51sin52cos022sinPPNAGFFF 0YFPNAGFF253(a) 0XF0cosNAGNAEFFPNAEFF3 (b) FYAGF =2FAyPFNAEF=0AxFXAG (d) 利用比例式(6-1-1)時(shí)，結(jié)點(diǎn)A的受力

4、圖見(jiàn)圖(d)， 將斜桿中的待求軸力FNAG用X、Y方向的兩個(gè)分力FXAG、FYAG代替，計(jì)算如下： 0YF022PPYAGFFF23PYAGFF由比例關(guān)系，得： PYAGYAGAGNAGFFLLF253 (a) 0XF0XAGNAEFFPXAGNAEFFF3 (b) 結(jié)點(diǎn)E：見(jiàn)圖(e) FNEGFNED3FP(e) 0YF0NEGF (c) 0XFPNEDFF3(d) 結(jié)點(diǎn)G：見(jiàn)圖(f) FNGDFNGCPF253(f) 當(dāng)兩個(gè)待求軸力桿都為斜桿時(shí)，若要不使結(jié)點(diǎn)的兩個(gè)平衡方程耦聯(lián)只要將直角坐標(biāo)的一個(gè)坐標(biāo)軸與其中的一個(gè)桿軸重合，先建立另一個(gè)坐標(biāo)軸的投影方程即可。 0YF0cos2sinPNGDF

5、FPNGDFF25 (e) 0XF0sin2cos253PNGDPNGCFFFFPNGCFF5(f) 見(jiàn)圖(g) 結(jié)點(diǎn)的兩個(gè)平衡方程有時(shí)可以寫(xiě)成力矩的形式。 FXGCFXGDFYGCFYGD23PFPF3 (g) 將力系中的某力沿其作用線上滑移到任一點(diǎn)分解，不影響原力系的平衡狀態(tài)。 據(jù)此，將三根斜桿的軸力，均在各桿相對(duì)G點(diǎn)的另一端點(diǎn)處分解。由于此時(shí)兩個(gè)豎向未知力分量在一條豎直線上，可由C、D兩點(diǎn)分別為矩心的力矩方程求出兩個(gè)水平未知力分量。計(jì)算如下： 0DMPPPXGCFbFbFbF2)223(1PXGCXGCYGCYGCFFLLFPXGCXGCGCNGCFFLLF5(f) 0CMPPPPXGD

6、FbFbFbFbF)2233(1PXGDXGDYGDYGDFFLLF21PXGDXGDGDNGDFFLLF25 (e) 結(jié)點(diǎn)C：見(jiàn)圖(h) 0YFNCDPFFFNCDPFPF2PFPF2(h) 結(jié)點(diǎn)D：見(jiàn)圖(i) 2PFPFPF3PFPF32PF(i) v該結(jié)點(diǎn)上的各桿軸力已有前各步計(jì)算得出，在此用于校核。DEACKPF5PF250PF3PF253PF3PF(j) 用圖(j)表示桁架內(nèi)力計(jì)算的最終結(jié)果。 2、結(jié)點(diǎn)法的特殊情況 在桁架計(jì)算所取的隔離體（結(jié)點(diǎn)法中的結(jié)點(diǎn)，或截面法中的桁架的一部分）所截?cái)嗟臈U件中，若有一根桿件的位置或方向獨(dú)立于其它桿件，使該桿的軸力可由該隔離體獨(dú)立確定，則這個(gè)桿件就叫

7、做該隔離體的單桿。 單桿概念結(jié)點(diǎn)單桿的情況： (a) (b) 圖6-2-1 在桁架的內(nèi)力計(jì)算中，利用單桿的概念，先確定出單桿的內(nèi)力，不僅簡(jiǎn)捷計(jì)算過(guò)程，有時(shí)是解題的關(guān)鍵路徑。例6-2-2 先判斷圖(a)、(b)兩圖所示桁架中的零桿，然后再說(shuō)明用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算余下各桿軸力的次序。 當(dāng)結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載作用時(shí)，結(jié)點(diǎn)上單桿軸力等于零，稱(chēng)為零桿。解： 圖(a)，桁架中的零桿如圖(a)右虛線所示。然后可分別由結(jié)點(diǎn)D、C計(jì)算余 DCCD(a) 圖(b)，桁架中的零桿如圖(b)右虛線所示。然后求支座反力，再依次取結(jié)點(diǎn)計(jì)算余下各桿軸力。次序可為：A、D、C或 B、C、D，或分別A、B再D或再C。FPC2FPFPC2FP(

8、b) 例6-2-3 分析圖(a)所示靜定桁架，試找出用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算時(shí)的簡(jiǎn)單途徑。解：見(jiàn)圖(a)所示桁架 FP(a) v由結(jié)構(gòu)整體在水平方向上的平衡條件，可確定出水平支座反力，見(jiàn)圖(b)。 上部結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的，只有一個(gè)水平支座約束不對(duì)稱(chēng)，是該桁架的兩個(gè)特點(diǎn)。一般可利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。 思路和做法如下:FPFP(b) v根據(jù)疊加原理，可將圖(b)示出的已知外力分解成正對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)兩組外力后，分別作用在結(jié)構(gòu)上，見(jiàn)圖(c)、(d)所示。 F /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2PF /2P(c) (d) v內(nèi)力分析和解題路徑： 在正對(duì)稱(chēng)荷載下，桁架應(yīng)具有正對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分布，即

9、在桁架的對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)位置上的桿件，應(yīng)有大小相等、性質(zhì)相同（拉或壓相同）的軸力。 考查結(jié)點(diǎn)K，見(jiàn)圖(e) 圖(c)：(e) 結(jié)點(diǎn)上兩斜桿的軸力應(yīng)滿(mǎn)足大小相等、性質(zhì)相反（一拉一壓）。這是K形結(jié)點(diǎn)(根據(jù)結(jié)點(diǎn)的形狀，又叫K形結(jié)點(diǎn))上兩斜桿在其結(jié)點(diǎn)上無(wú)結(jié)點(diǎn)荷載情況下的典型內(nèi)力特點(diǎn)。與前面特點(diǎn)矛盾，故KD、KF為零桿。 考查結(jié)點(diǎn)考查結(jié)點(diǎn)E E：見(jiàn)圖：見(jiàn)圖(f)(f)EJ為零桿，繼而JA、JB為零桿。(f) 圖(d)：在反對(duì)稱(chēng)荷載下，桁架應(yīng)具有反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力分布，即在桁架的對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)位置上的桿件，應(yīng)有大小相等、性質(zhì)相反的軸力。 6.36.3 桁架內(nèi)力計(jì)算的截面法桁架內(nèi)力計(jì)算的截面法截面法：用一個(gè)假想

10、的截面，將桁架截成兩部分，取其任一部分為隔離體，建立該隔離體的平衡方程，求解桿軸力的方法。截面法所截開(kāi)的桿件中，軸力未知的桿件一般不應(yīng)超過(guò)三根，這樣可不解聯(lián)立方程仍以上一節(jié)例6-2-1為例，見(jiàn)圖6-3-1。 IIF =2FAyPF=0AxF=2FByP(a) hFNGD2bF =2FAyPF=0AxFNGCFNEDb(b) 用截面II截開(kāi)桁架第二節(jié)間的三根桿，取左側(cè)部分為隔離體。然后，分別截?cái)嘁?jiàn)圖(b),未知桿力在隔離體上的一般表示。 0DM)2222(1bFbFbFhFPPPNGC由幾何關(guān)系得： 52bh 代入上式， PNGCFF5參照?qǐng)D(b)計(jì)算如下： 0GMPPPNEDFbFFbF3)2

11、2(2 0YF022sin)(PPPNGCNGDFFFFFPNGDFF25見(jiàn)圖(c)有時(shí)利用未知桿力在隔離體上的分力表示，可避免求斜桿力臂的麻煩。FXGC2bbF =2FAyPF=0AxFYGCFXGDFNEDFYGD(c) 對(duì)于聯(lián)合桁架，若要求計(jì)算出全部桿的軸力，用截面法求簡(jiǎn)單桁架之間的約束力，是必經(jīng)之路，也是關(guān)鍵步驟。D3dFPFP3dCAHGEKB(a) 例6-3-1 試對(duì)圖(a)所示桁架，1)分析并確定求解整個(gè)桁架內(nèi)力的路徑；2)尋找只計(jì)算桿a軸力時(shí)的簡(jiǎn)捷方法，并求出桿a軸力 v求整個(gè)桁架內(nèi)力的一般步驟是，先求出支座反力，見(jiàn)圖(b) DFPFPCBAHGEKaIFPFPIIIII (b

12、) 解：FNGEDFPAGKFPFNKHFNDC (c) 由圖(c)所示截面左側(cè)隔離體求出截面截?cái)嗟娜鶙U的軸力后，即可依次按結(jié)點(diǎn)法求出所有桿的軸力。 利用截面II截開(kāi)兩簡(jiǎn)單桁架的連接處，取截面任一側(cè)為隔離體，見(jiàn)圖(c) 見(jiàn)圖(d) ，由結(jié)點(diǎn)H的結(jié)點(diǎn)單桿EH上的軸力，再由結(jié)點(diǎn)E（當(dāng)桿EH軸力已知時(shí)，桿a既是結(jié)點(diǎn)E上的結(jié)點(diǎn)單桿）可求出桿a的軸力。 v 方法1：FXaAHEFNEGFNECFPBFYa (d) 取截面IIII下為隔離體，見(jiàn)圖(e) BFXaAEFNEGFNECFPFNHBHFNHKFYa(e) v 方法2：將桿a軸力在B點(diǎn)分解，由 0AMPPYaFdFdF32)2(31PPYaYa

13、aNaFFFlLF35)32(25該隔離體上有5根被截?cái)嗟臈U件，但有4根是交于一點(diǎn)A的，因此利用以鉸A為矩心的力矩方程，可直接求出桿a的軸力。 截面法的特殊情況 1) 除了一根單桿外，其它桿全部交于一點(diǎn)； 2) 除了一根單桿外，其它桿桿軸均相互平行。見(jiàn)圖6-3-2所示 截面法單桿分兩種情況，即在截面上截?cái)嗟娜織U件中， (a) (b) 圖6-3-2 dFPddd(a) 例例6-3-26-3-2v由上部結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，求的支座反力如圖(b)所示。 IIF=F /2ByPF =F /2AyPF=FAxP (b) 解： 0YF022222PNKAFF2PFNKAFv取截面II右，可求該截面上的單

14、桿AK的軸力（當(dāng)不利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，這一步是解題的關(guān)鍵）。計(jì)算如下：v依次取結(jié)點(diǎn)，計(jì)算指定桿軸力： FNAJFNADF =F /2AyPF=FAxPF /2P(d) 圖(d) 結(jié)點(diǎn)A： 0YF0222PNAJFFPNAJFF22PF22FNa(e) 利用該結(jié)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，且由水平方向的投影方程得： PNaFF22 (a)圖(e) 結(jié)點(diǎn)J:v既有梁式桿又有桁架桿的結(jié)構(gòu)稱(chēng)作組合結(jié)構(gòu)。見(jiàn)圖6-4-1所示。6.4 6.4 組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析 圖6-4-1 組合結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的一般途徑是： 先計(jì)算桁架桿，再計(jì)算梁式桿。 例6-4-1 計(jì)算圖(a)所示組合結(jié)構(gòu)，求出二力桿中的軸力，并作梁式桿的彎矩圖。 3mDE2m3m1.5m2mq=10kNmHGCBA(a) v計(jì)算支座反力 見(jiàn)圖(b) IF =12.5kNByIHBECF=0AxF =37.5kNAyq=10kNmGDA(b) 解：解： v 取截面II右側(cè)，計(jì)算桿DE的軸力和鉸C處的約束力，見(jiàn)圖(e)。 12.5kNBHEF=41.67kNNEDCF=-41.67kNCxF=-12.5kNCy (e) 0CMkNF