數(shù)學(xué)必修2選修2-1知識點(diǎn)含試卷和例題

1、第一章空間幾何體1.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)1 、棱柱定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。2、 棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱'''''表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P ABCDE幾何特征

2、：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，面距離與高的比的平方。3、棱臺定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱表示：用各頂點(diǎn)字母，如四棱臺ABCD A'B'C'D'幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形4 、圓柱定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂一個(gè)矩形。5 、圓錐定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一

3、6 、圓臺定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)球體定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：面（側(cè)面、上底面、下底面）、棱、頂點(diǎn)、1.3 空間幾何體的表面積與體積（1 ）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。'（ 2）特殊幾何體表面積公式（c 為底面周長，h 為高， h 為斜高， l 為母線）S正棱錐側(cè)面積1SchS圓柱側(cè)2 rhch 'S2直棱柱側(cè)面積圓錐側(cè)S1 (cc )h 'S圓臺側(cè)面積

4、(rR)l正棱臺側(cè)面積1222S2r rlS圓錐表rrlSr圓臺表rl Rl圓柱表（ 3）柱體、錐體、臺體的體積公式柱V圓柱Shr 2 hV錐1Sh12ShV圓錐r hV33V臺1 (S'S ' S S)hV圓臺1''122( SS S S) h( rrR R ) h334332R； S球面 =4（ 4）球體的表面積和體積公式：V球=3R第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面：公理 1 ：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平

5、面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過改點(diǎn)的公線線關(guān)系： 1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平.強(qiáng)調(diào) ：公理4 實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。作用：判斷空間線面位置關(guān)系（ 1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（ 2）（ 2 ）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（ 3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來表示2、面面垂直（ 1） 定理 ：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂

6、線，則這兩個(gè)平面垂直（ 2）作用：證面面垂直（ 2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的叫做二面角的面。（ 3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射成的角叫二面角的平面角。（ 4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角（ 5）求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面兩個(gè)面的交線所成的角為二面3、垂直關(guān)系的性質(zhì)定

7、理線面垂直性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。面面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直第三章 直線與方程3.1 直線的傾斜角與斜率（ 1）直線的傾斜角定義： x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與的傾斜角為 0 度。因此，傾斜角的取值范圍是 0° 180 ° （ 2）直線的斜率定義：傾斜角不是90 °的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)0,90時(shí)， k0 ；當(dāng)90,180時(shí)， k0；當(dāng)90ky2y1 ( x1x

8、2 )過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：x2x1注意： (1)當(dāng) x1x2 時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90(2)k與 P1、 P2 的順序無關(guān)； (3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接(4) 求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 3.2 直線的方程點(diǎn)斜式：y y1k ( x x1 ) 直線斜率 k，且過點(diǎn)x1, y1注意 ：當(dāng)直線的斜率為0 °時(shí)， k=0 ，直線的方程是y=y1 。當(dāng)直線的斜率為90（二）過定點(diǎn)的直線系（）斜率為k 的直線系：yy0k xx 0 ，直線過定點(diǎn)x0 , y0 ；（）過兩條直線l1 : A1xB1yC10 ， l 2

9、 : A2 xB2 yC20 的交點(diǎn)A1 x B1 y C1A2 x B2 y C20（為參數(shù)），其中直線l2不在直線系（ 6）兩直線平行與垂直當(dāng) l1 : yk1 xb1 ， l 2 : yk2 xb2 時(shí)， l1 / l 2k1k 2 , b1b2 ； l1注意 ：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。3.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1、兩條直線的交點(diǎn)l1 : A1 x B1 y C10 l 2 : A2 x B2 y C20 相交A1 xB1 yC10交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組A2 xB 2 yC 20 的一組解。方程組無解l1/ l 2 ； 方2、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A( x1 ,

10、 y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則到直線 l 1 : Axd3、點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)Px0 , y 0ByC0 的距離4、兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。第四章 圓與方程4.1 圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑222a, b ，半徑為2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程x ay br ，圓心r ；2 2（ 2）一般方程 xyDx Ey F 022DE1E0,r當(dāng) D4 F時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為22，半徑為22E20當(dāng) D224 F0 時(shí)，方程不當(dāng) D4 F時(shí)，表示一個(gè)

11、點(diǎn)；E（ 3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若程，需求出a， b ， r；若利用一般方程，需要求出D ， E， F ；另外要注意多利用圓經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。4.2 直線、圓的位置關(guān)系2、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d ）之間的大小比22222設(shè)圓 C1 : x a1y b1r ， C 2: x a 2y b 2R 2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d ）之間的大小比較來確當(dāng) dR r 時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng) d R r 時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng) Rrd

12、 Rr 時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng) dRr 時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng) dRr 時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng) d0 時(shí)，為同心圓。4.3 空間直角坐標(biāo)系OBCDD, A,B,C ,（ 1）定義：如圖，是單位正方體.以 A 為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,條數(shù)軸 x 軸 .y 軸 .z 軸 。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.1） O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn)；2） x 軸， y 軸， z 軸叫做坐標(biāo)軸；3 ）過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平（ 2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向指向?yàn)?y 軸正向，中指指向則為z 軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置

13、。（ 3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M 的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組( x, y, z) 來表示，空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M ( x, y, z) （ x 叫做點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)，y 叫做點(diǎn)標(biāo)）d222（ 4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：( x 2 x 1 ) ( y2 y1 )( z2 z1 )高二數(shù)學(xué)選修2 1 知識點(diǎn)1、命題：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p ，則 q ”形式的命題中的p 稱為命題的條件，q 稱為命題的結(jié)論.3、對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題中一個(gè)命題稱為原命題，

14、另一個(gè)稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p ，則 q ”，它的逆命題為“若q ，則 p ” .4、對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，互否命題. 中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為“若p ，則 q ”，則它的否命題為“若p ，則q ” .5、對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q 聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq 當(dāng) p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng) p、 q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題對一個(gè)命題p 全盤否定，得到一個(gè)新命題，

15、記作p若 p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題9、短語“對所有的”、“對任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“含有全稱量詞的命題稱為全稱命題全稱命題“對中任意一個(gè)x，有px成立”，記作“x， px”短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“含有存在量詞的命題稱為特稱命題”表特稱命題“存在中的一個(gè)x，使px成立”，記作“x， px”10 、全稱命題p：x， px，它的否定p：x，p x全稱命題的否定是特稱命題11 、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F 1F 2）的點(diǎn)的軌圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距12 、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位

16、置焦點(diǎn)在x 軸上焦點(diǎn)在y 軸圖形222x2標(biāo)準(zhǔn)方程xy1 ab0y1 a222b2aba范圍ax a 且b y bb x b 且 a頂點(diǎn)1a,0、2a,010,a、0, b0,bb,01、21、軸長短軸的長2b長軸的長2a焦點(diǎn)Fc,0、 Fc,0F0,c、 F15 、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x 軸上焦點(diǎn)在y 軸圖形22y22xya0, b0x1a標(biāo)準(zhǔn)方程221a22abb范圍xa 或 xa， y Rya 或 y a頂點(diǎn)1a,0、2 a,010,a、軸長虛軸的長2b實(shí)軸的長2a焦點(diǎn)F1c,0、 F2c,0F10,c、 F焦距F1F22c c2a 2b2對稱性關(guān)于 x 軸、 y 軸對稱，

17、關(guān)于原點(diǎn)中心對稱cb2離心率e12 e1aa22準(zhǔn)線方程xayacc漸近線方程ybyaxba16 、實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線17 、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到 F1 對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1 ，點(diǎn)到 F2 對F1F2e d1d 218、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線定點(diǎn)線 l 稱為拋物線的準(zhǔn)線19、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱21 、拋物線的幾何性質(zhì)：22 px22 px22 py2yyxx標(biāo)準(zhǔn)方程0p0p0p圖形頂點(diǎn)對稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程離心率范圍0,0x 軸y軸Fp , 0Fp , 0F0, pF222xpxpyp222e1x

18、0x0y0解析幾何的題型及其解法：中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題、面積問題、求特定對象的值、求變量的取值范圍or 最值、不等關(guān)系的判定2.1.1 曲線與方程對應(yīng)關(guān)系： （ 1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。求方程的曲線：直接法( 建系，設(shè)點(diǎn)，表示，化簡，下結(jié)論)(例題課本p361，弦長公式：對圓錐曲線221 與 ykx b 相交弦長為1 k2aybxx12，焦點(diǎn)三角形：（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題 ：常利22xy1、 F2<（）橢圓2·131 的焦點(diǎn)為 F，

19、點(diǎn) P 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PFPF943535（答： (,) ）；55（ 4） 雙曲線的虛軸長為4 ，離心率e6F， F1 、 F2 是它的左右焦點(diǎn)，若過2點(diǎn)，且AB 是 AF2與 BF2等差中項(xiàng)，則AB _ （答： 82 ）；（ 5） 已知雙曲線的離心率為2， F1、 F2是左右焦點(diǎn)，P 為雙曲線上一點(diǎn)，且22S PF1 F212 3 求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：xy1 ）；3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系412：（ 1）相交 ：0直線與橢圓相交；0 直線與雙曲線相交，但直線與直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0是直必要條件；0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有

20、0 ，線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是如（ 1）若直線 y=kx+2與雙曲線22k 的取值范圍x-y =6 的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則22（ 2） 直線 y kx 1=0與橢圓xy1 恒有公共點(diǎn)，則m 的取值范圍是 _5m2 2x y（ 3） 過雙曲線21 的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A 、 B 兩點(diǎn)，若 AB 41（ 2）相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；（3）相離：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；特別提醒 ：（ 1 ）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋

21、物線的軸平行時(shí)22xy點(diǎn)；（2）過雙曲線22ab 1 外一點(diǎn)P( x0 , y0 ) 的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線22xyl ，設(shè)某直線m 交其左（ 6）設(shè)雙曲線1的右焦點(diǎn)為 F ，右準(zhǔn)線為169則PFR 和QFR 的大小關(guān)系為_( 填大于、小于或等于)（答：等于）（7）求橢圓 7x 24 y 228上的點(diǎn)到直線3x 2 y16 0的最短距離（答：8 12213（ 8） 直線 yax 1 與雙曲線 3xy1交于 A、

22、 B 兩點(diǎn)。 當(dāng) a 為何值時(shí)，a 為何值時(shí)，以AB 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：3,3； a1 ）17解： S表面S下底面S臺側(cè)面S 錐側(cè)面 ×52 ×( 2 5) ×5 ×2×22(604 2) VV臺V 錐 1( r1318(1) 證明： PD平面 ABCD ，BC平面 ABCD ， PD BC由 BCD 90°，得 CD BC又 PDDCD， PD，DC平面 PCD ， BC平面 PCD PC平面 PCD ，故 PC BC(2) 解： (方法一 )分別取 AB，PC 的中點(diǎn) E，F(xiàn)，連 DE ，DF ，則易證 DE CB ，

23、DE 平面 PBC ，點(diǎn) D ， E 到平面 PBC 的距離相等又點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離等于點(diǎn)E 到平面 PBC 的距離的2 倍，由 ( 1) 知， BC 平面 PCD ， 平面 PBC 平面 PCD PD DC，PFFC ， DF PC又 平面PBC 平面PCD PC ， DF 平面PBC 于 F2易知DF 2，故點(diǎn)A 到平面PBC 的距離等于2 ( 方法二 ) ：連接AC ，設(shè)點(diǎn)A 到平面PBC 的距離為h AB DC ， BCD 90°， ABC 90°由 AB 2， BC 1，得 ABC 的面積S ABC 1由 PD 平面 ABCD ，及 PD 1，得三棱錐P- ABC 的體積V 1S ABC·PD 1 PD 平面 ABCD ，DC平面 ABCD ， PD D33222 由 PCBC，BC1，得又 PDDC 1， PC PDDC11故所求的切線方程為7x y 15 0 ，或 x y 1 0( 2