曲線上一點(diǎn)處的切線

1、高二數(shù)學(xué)備課組 曲線上一點(diǎn)處的切線問題1: 曲線在P點(diǎn)處的走向如何刻畫?直線直線選定選定直線放大再放大放大再放大放大再放大問題2: 我們知道在曲線某點(diǎn)處的曲線可以看做直線,那么我們?cè)趺春唵?方便的找到這條直線呢?PPPP探究探究: : 如圖, 1,2為經(jīng)過曲線上一點(diǎn)P的兩條直線.試判斷哪一條直線在點(diǎn)P附近更加逼近曲線?在點(diǎn)P附近你能作出一條比1,2更加逼近曲線的直線3嗎?在點(diǎn)P附近你能作出一條比1,2,3更加逼近曲線的直線4嗎?L2L1P動(dòng)畫動(dòng)畫4L4Q1Q2Q3問題3:我們找到了這條切線,我們還得能求這條切線.怎么求呢?PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T(1)概念概念:曲線的曲線的割線

2、割線和和切線切線結(jié)論結(jié)論: :當(dāng)當(dāng)Q Q點(diǎn)無限逼近點(diǎn)無限逼近P P點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí), ,此時(shí)此時(shí)直線直線PQPQ就是就是P P點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線. .直線PQ稱為曲線的割線如何求曲線上一點(diǎn)的切線如何求曲線上一點(diǎn)的切線?(2)如何求如何求割線的斜率割線的斜率?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(oxyy=f(x)PxQx+xPQoxyy=f(x)割割線線切線切線T(3)如何求切線的斜率如何求切線的斜率?xxfxxfkPQ)()(割線逼近切線的思想割線逼近切線的思想(當(dāng)無限趨近于當(dāng)無限趨近于0時(shí)時(shí), 無限趨近于點(diǎn)無限趨近于點(diǎn)P處的切線的斜率處的切線的斜率)xPQk例、已知 ,求曲線 在

3、 處的切線的斜率.2)(xxf)(xfy 2x解: 設(shè)P(2,4),Q(2+x,(2+x)2), 當(dāng)x無限趨近于0時(shí), KPQ無限趨近于常數(shù)4,從而曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,4)處的切線斜率為4.xxxkPQ44)2(2則割線PQ的斜率當(dāng)當(dāng)割割 線線 逼逼 近近 切切 線，線，割線斜率逼近切線斜率割線斜率逼近切線斜率例、已知 ,求曲線 在 處的切線的斜率.2)(xxf)(xfy 2x求曲線求曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn) 處切線斜處切線斜率的一般步驟率的一般步驟:)(xfy )(,(xfxP1.設(shè)曲線上另一點(diǎn)設(shè)曲線上另一點(diǎn) )(,(xxfxxQ2.求出割線求出割線 的斜率的斜率 ，并化簡。，并化簡。 x

4、xfxxfkPQ)()(PQ3. 令令 無限趨近于無限趨近于0,若上式中的割線斜率若上式中的割線斜率“逼近逼近”一個(gè)常數(shù)，則其即為所求切線斜率。一個(gè)常數(shù)，則其即為所求切線斜率。x例、已知 ,求曲線 在 處的切線的斜率.2)(xxf)(xfy 2x練：已知 ,求曲線 在 處的切線的斜率.2)(xxf)(xfy 3x練：已知 ,求曲線 在 處的切線的斜率.2)(xxf)(xfy 0 x例2、已知 ，求曲線 在 處的切線的斜率.2)(xxf)(xfy xx 變1：在曲線上哪一點(diǎn)的切線斜率為4.2xy 變2：在曲線 上哪一點(diǎn)的切線平行于直線 。2xy 54 xy變3：在曲線 上哪一點(diǎn)的切線垂直于直線 。2xy 54 xy例3.已知 ,求曲線 在 處的切線的斜率.xxf)()(xfy ) 0( xxx解: 設(shè) , ,),(xxP),(xxxxQxxxxxxxxxxxxxxkPQ1)(當(dāng)x無限趨近于0時(shí),KPQ無限趨近于常數(shù) ,x21則割線PQ的斜率從而曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率為 .Px21)(xfy 割線P