固體物理習題3

1、第三章第三章 晶格振動晶格振動 3.1 原子質(zhì)量為原子質(zhì)量為m，間距為，間距為a的一維單原子鏈，如果原子的振動的一維單原子鏈，如果原子的振動位移為位移為 naqtAtxn cos試求：試求：（1）格波的色散關系；）格波的色散關系；（2）每個原子對時間平均的總能量。）每個原子對時間平均的總能量。解：解： 11 nnnnnxxxxxm nnnxxx211 (1) 式中，式中， , 3 , 2 , 1nxn為原子位移；為原子位移； 為恢復力常數(shù)。為恢復力常數(shù)。 個原子的運動方程可寫成個原子的運動方程可寫成（1）在單原子晶格中，若只計相鄰原子的互作用，第）在單原子晶格中，若只計相鄰原子的互作用，第n依

2、題設，原子的振動位移可表示為依題設，原子的振動位移可表示為 aqntAxaqntAxnaqtAxnnn1cos1coscos11 (2) 將將(2)式代入式代入(1)式，得式，得 aqntAxmn1cos2 naqtaqnt cos21cos因為因為 aqnaqtaqnt cos1cos aqnaqtaqnaqtsinsincoscos 因此因此 1coscos22 aqnaqtAxmn 2aqsinx41cosaqx22nn故得格波的色散關系為故得格波的色散關系為 2aqsinm422（2） 原子鏈上總能量可寫為原子鏈上總能量可寫為 21nnn2nnxx21xm21E 其中求和遍及鏈上的所有

3、原子。其中求和遍及鏈上的所有原子。 dtxx21xm21T1ET021nnn2nn T0T021nn2ndtxx21T1dtxm21T1 naqtAtxn cos aq1ntAcostx1n 22T02nAm41dtxm21T1 cosaq1A21dtxx21T12T021nn cosaq1A21Am41E222n cosaq1A21Am41NE222 又因為一維單原子鏈的色散關系為又因為一維單原子鏈的色散關系為 2aqsinm422或者或者 cosaq1m22 所以所以 cosaq1m212 22Am21 得平均總能量得平均總能量3.2 證明：在由兩種不同質(zhì)量證明：在由兩種不同質(zhì)量M、m(M

4、m)的原子所組成的一維的原子所組成的一維復式格子中，如果波矢復式格子中，如果波矢q取邊界值取邊界值 (a為相鄰原子間為相鄰原子間距距)，則在聲學支上，質(zhì)量為，則在聲學支上，質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動；在光學的輕原子全部保持不動；在光學支上，質(zhì)量為支上，質(zhì)量為M的重原子保持不動。的重原子保持不動。aq2 證明：如圖所示，設質(zhì)量為證明：如圖所示，設質(zhì)量為m的輕原子位于的輕原子位于2n-1，2n+2，2n+3，.各點；設質(zhì)量為各點；設質(zhì)量為M的輕原子位于的輕原子位于2n-2，2n，2n+2，各點。各點。a am mM M2n-32n-32n-22n-22n-12n-12n2n2n+12n+12n+

5、22n+22n+32n+3 1222122 nnnnnxxxxxm nnnxxx212122 設試探解為設試探解為 aqntinAex1212 aqntinAex22 和和 式中，式中，A為輕原子的振幅；為輕原子的振幅；B為重原子的振幅；為重原子的振幅； 為角頻率；為角頻率； 2 q為波矢。為波矢。 nnnnnxxxxxm212122212 122222 nnnxxx 令令 表示原子間的恢復力系數(shù)，運動方程寫為表示原子間的恢復力系數(shù)，運動方程寫為 將試探解代入運動方程有將試探解代入運動方程有 ABeeAmiaqiaq22 BAeeBMiaqiaq22 經(jīng)整理變成經(jīng)整理變成 02cos20cos

6、2222BMAaqBaqAm (1)(1) 要要A、B有不全為零的解，方程有不全為零的解，方程(1)的系數(shù)行列式必須等于零，的系數(shù)行列式必須等于零，從中解得從中解得 212224cos2aqmMMmMmmM (2)(2) 式中的式中的“+”“”分別給出兩種頻率，對應光學支格波和聲學支分別給出兩種頻率，對應光學支格波和聲學支格波。上式表明，格波。上式表明， 是是q的周期函數(shù)的周期函數(shù)， 邊界值，即邊界值，即 aqa4141 。當。當q取取 aq41 時，從時，從(2)式得式得 ,2,22121 Mm 將將 和和 依次代入依次代入(1)式，得到兩種原子的振幅比分別為式，得到兩種原子的振幅比分別為光

7、學支：光學支： aqmMaqMBAcos1cos222 聲學支：聲學支： MmaqmaqBA 1cos2cos22 因為因為 , 01 , 01 MmmM而且而且 當當 aq41 時，時，cosaqcosaq= =0 0 由上式得到由上式得到0, BBA即即0,0 AAB即即由此可見，當波矢由此可見，當波矢q取邊界值時，聲學支中輕原子保持不動取邊界值時，聲學支中輕原子保持不動(A=0)，光學支中重原子也保持不動，光學支中重原子也保持不動(B=0)。3.3 一維復式格子，原子質(zhì)量都為一維復式格子，原子質(zhì)量都為m,晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，任一個原，任一個原子與最近鄰原子的間距為子與最近鄰原子的間距

8、為b,若原子與最近鄰原子和次近鄰原子若原子與最近鄰原子和次近鄰原子的恢復力常數(shù)為的恢復力常數(shù)為 和和 ，試列出原子的運動方程并求出色散，試列出原子的運動方程并求出色散關系。關系。 123n-1nn+1 n+2N-1Na解：解： 此題為一維雙原子鏈。此題為一維雙原子鏈。設第設第2n1nn1nu,u,u,u 2n1,nn,1,n 個原子的個原子的位移分別為位移分別為。第第1n 與第與第1n 個原子屬個原子屬于同一原子，第于同一原子，第n與第與第2n 個原子屬于同一原子，個原子屬于同一原子，于是于是第第n和第和第1n 原子受的力分別為原子受的力分別為 1nn1n1n2nuuuuf n1n21n2n1

9、1nuuuuf 其運動方程分別為其運動方程分別為 1nn1n1n22n2uuuudtudm n1n21n2n121n2uuuudtudm 設格波的解分別為設格波的解分別為 tqna21ita2nqinAeAeu tqna21itqba2nqi1nBeeBu代入運動方程，得代入運動方程，得 iqa122BeAABAm ABBAeBm2iqa12 整理得整理得 0BeAmiqa12221 0BmAe221iqa12 由于由于A和和B不可能同時為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即不可能同時為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即 iqa12221em 0me221iqa12 解上式可得解上式可得 21222

10、1212222122qasin16m4m2m2m 21222121212qasin411m由上式可知，存在兩種獨立的格波。由上式可知，存在兩種獨立的格波。聲學格波的色散關系為聲學格波的色散關系為 21222121212A2qasin411m 21222121212O2qasin411m光學格波的色散關系為光學格波的色散關系為3.4 由原子質(zhì)量分別為由原子質(zhì)量分別為 兩種原子相間排列組成的一維復兩種原子相間排列組成的一維復式格子，晶格常數(shù)為式格子，晶格常數(shù)為 ，任一個原子與最近鄰原子的間距，任一個原子與最近鄰原子的間距為為 ，恢復力常數(shù)為，恢復力常數(shù)為 ，與次近鄰原子間的恢復力常數(shù)，與次近鄰原子

11、間的恢復力常數(shù) ，試求試求Mm,ab12（1）格波的色散關系；）格波的色散關系；（2）求出光學波和聲學波的頻率最大值和最小值。）求出光學波和聲學波的頻率最大值和最小值。解：解：（1）只考慮最近鄰原子的相互作用）只考慮最近鄰原子的相互作用 12n2n212n2n12nxxxxxM 2n12n122n12n212nxxxxxm 得得 naqtiqba22nti12nBeeBx naqtiaq22nti2nAeAex 將將 的值代回方程得到色散關系的值代回方程得到色散關系12n2nx,x 2aqsin16mM MmMm2mM2221212212（2）（a）當上式?。┊斏鲜饺?號時為光學波號時為光學波

12、 cosaq18mM MmMm2mM221212212o 221212212min o16mM MmMm2mM當當 時：時：1cosaq 當當 時：時：1cosaq 21212max oMmMmMm2mM （b）當?。┊斎?號時為聲學波號時為聲學波 cosaq18mM MmMm2mM221212212A當當 時：時：1cosaq 221212212max A16mM MmMm2mM當當 時：時：1cosaq 0min A 3.5 證明由證明由N個質(zhì)量為個質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子晶格，每的相同原子組成的一維單原子晶格，每單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為 2122

13、m2N 證明：證明：一維單原子鏈只有一支格波一維單原子鏈只有一支格波2aqsin2aqsinm2m 據(jù)模式密度的一般表示式據(jù)模式密度的一般表示式 sq3N13cqds2V（1）因為對一維單原子鏈波矢空間的波矢密度因為對一維單原子鏈波矢空間的波矢密度2L，且只有一支，且只有一支格波。格波。 所以由（所以由（1）式得）式得 2122mmq2a2aqcos2aq 得得 2122mq2Nq22L 3.6 設有一維連續(xù)介質(zhì)，介質(zhì)的彈性模量為設有一維連續(xù)介質(zhì)，介質(zhì)的彈性模量為E，線密度為，線密度為 試建立一維波動方程并求彈性波傳播的相速度。試建立一維波動方程并求彈性波傳播的相速度。，解：設有一坐標為解：設

14、有一坐標為x與與x+dx間的介質(zhì)元間的介質(zhì)元, t 時刻時刻x點處的位移為點處的位移為u=u(x,t), x+dx點處的位移為點處的位移為u+du。于是，應變?yōu)椤Ｓ谑?，應變?yōu)閤ue 以以E表示彈性模量，按定義，表示彈性模量，按定義，efE 式中式中f是引起形變的力。作用在介質(zhì)元是引起形變的力。作用在介質(zhì)元dx上的凈力為上的凈力為dxxuExudxxuuxE22 設介質(zhì)的線密度為設介質(zhì)的線密度為 ，介質(zhì)元的質(zhì)量為，介質(zhì)元的質(zhì)量為 dx ，則有，則有 2222tudxdxxuE 即即2222tuExu (1)(1) 這就是連續(xù)介質(zhì)的波動方程，其解為這就是連續(xù)介質(zhì)的波動方程，其解為 tqxieutx

15、u 0,式中，式中， 為介質(zhì)彈性波的角頻率；為介質(zhì)彈性波的角頻率； 1 q為波矢；為波矢； 是波長。是波長。 將將u(x,t)代入代入(1)式，得到式，得到 txuEtxuq,22 即即 Eq 2因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相速度為因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相速度為 Eq 3.7 證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程彈性波方程22222xuvtu 解：解： 如果只計及近鄰原子間的相互作用，第如果只計及近鄰原子間的相互作用，第n個原子的運動方程個原子的運動方程為為 n1n1n2n22uuudtudm 因為因為niqa-1nn

16、iqa1nueuueu 所以第所以第n個原子的運動方程化為個原子的運動方程化為 niqa-iqa2n2u2eedtudm 在長波近似下，在長波近似下， 2iqaiqa21iqa1e0,qa 運動方程又化為運動方程又化為 n22niqa-iqa2n2uqau2eedtudm （1）在長波近似下，當在長波近似下，當l為有限整數(shù)時，為有限整數(shù)時，1limeuulimiqlanln 上式說明，上式說明，在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集體運動。以相同的振幅、相同的位相做集體運動。因此（因此（1）式可統(tǒng)一寫成）式可統(tǒng)一

17、寫成 ln222ln2uqadtudm 第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點運動，正是由這些第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點運動，正是由這些原子的整體的運動所構(gòu)成。原子的整體的運動所構(gòu)成。 這些原子偏離平衡位置的位移這些原子偏離平衡位置的位移lnu ，即是宏觀上的質(zhì)點位移，即是宏觀上的質(zhì)點位移u。 從宏觀上看，原子的位置從宏觀上看，原子的位置可視為準連續(xù)的，原子的分離可視為準連續(xù)的，原子的分離 aln 可視為連續(xù)坐標可視為連續(xù)坐標x，即，即 uAeAeutqxitalnqiln 于是于是 22ln2xuuq （2）式化為）式化為22222xuvtu 其中其中mav 是用微觀參數(shù)表示的彈性波

18、的波速。是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。3.8 設有一個由相同原子組成的二維正方點陣，原子質(zhì)量為設有一個由相同原子組成的二維正方點陣，原子質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，取近鄰原子間的恢復力系數(shù)為，取近鄰原子間的恢復力系數(shù)為 ，設原子只作垂，設原子只作垂直表面的橫向振動。試求直表面的橫向振動。試求 2)長波極限下格波的傳播速度。長波極限下格波的傳播速度。 1)橫向晶格振動的色散關系；橫向晶格振動的色散關系； mlmluuf,11 解：解：1)設設 mlu，垂直于晶格平面的位移，如圖所示。當只考慮最近鄰原子間的垂直于晶格平面的位移，如圖所示。當只考慮最近鄰原子間的互相作用時，由于（互相作用時，

19、由于（l+1，m）原子對它的作用力）原子對它的作用力代表第（代表第（l，m）個原子（第）個原子（第l行、行、m列的原子）列的原子）第（第（l1，m）原子對它的作用力）原子對它的作用力 mlmluuf, 1,2 而而1f和和2f方向是相反的。方向是相反的。（l，m1）原子對（）原子對（l，m）原子的）原子的3f和和 4f得第（得第（l，m）個原子所受的力）個原子所受的力，于是，于是 同樣處理（同樣處理（l，m+1）原子和）原子和作用力作用力a aa aml,m1,l m1,l 1ml, 1ml, 把把(1)式代入運動方程式代入運動方程FuMml , (2)(2) 并把試探解并把試探解 yxmaq

20、laqtimleuu 0, mlmlmlmliiuuuufF,1,141 1,1, mlmlmlmluuuu mlmlmlmlmlmluuuuuu,1,1, 1, 122 據(jù)此得色散關系據(jù)此得色散關系 yxaqaqMcoscos222 (3)(3) 2)長波極限下，長波極限下， yxaqaq 、都是小量都是小量 2xxaq211cosaq 2yyaq211cosaq 同時代入，消去公因子后得同時代入，消去公因子后得 42 yyxxiaqiaqiaqiaqeeeeM yxaqaqcoscos22 22222qMaqqMayx 所以所以 aqM 格波的傳播速度格波的傳播速度 Maq 可見，在長波極

21、限下，格波的傳播速度與波矢可見，在長波極限下，格波的傳播速度與波矢q無關。無關。(3)式變?yōu)槭阶優(yōu)?22221121122yxaqaqM 3.9 一維單原子鏈，原子質(zhì)量為一維單原子鏈，原子質(zhì)量為m，原子間距為，原子間距為a。計及所有原。計及所有原子間的長程作用，且最近鄰、子間的長程作用，且最近鄰、次近鄰、次次近鄰次近鄰、次次近鄰原子間原子間恢復力恢復力常數(shù)依次為常數(shù)依次為,3211）求格波的色散關系；）求格波的色散關系；2）若恢復力常數(shù)?。┤艋謴土Τ?shù)取 papaqp0sin 式中，式中， oq常?！爆F(xiàn)象：當現(xiàn)象：當 qqq20 ，pnx 解：解：1)設第設第n個原子對平衡位置的位移為個原子對

22、平衡位置的位移為 nx，第，第n+p和和n-p個個原子的位移分別記為原子的位移分別記為 pnx 和和 , 3 , 2 , 1 p，則第，則第n+p 為常數(shù)，為常數(shù)，p遍取所有的整數(shù)值，試證明遍取所有的整數(shù)值，試證明“科恩科恩(Kohn)反反。和第和第np個原子對第個原子對第n個原子的作用力可寫成個原子的作用力可寫成 pnnpnpnppxxxxf npnpnpxxx2 鏈上每個原子與第鏈上每個原子與第n個原子都有相互作用，故第個原子都有相互作用，故第n個原子的運動個原子的運動方程應為方程應為 002ppnpnpnppnxxxfxm 設試探解為設試探解為 naqtinAex 代入運動方程可得代入運

23、動方程可得 022pipaqipaqpeem 02cos2pppaq 故格波的色散關系為故格波的色散關系為 02cos12pppaqm 0221sin4pppaqm (1) 2)2)若若 papaqp0sin 代入代入(1)(1)式得式得 020221sinsin4ppaqpapaqm 00221cos21sinsin4ppaqpaqpaqmq 當當 0qq 時，由上式得到時，由上式得到 0022sin20pqpaqmq (2) (2) 因為因為 0sin02 paq，(2)式的求和對無窮原子系列進行，故式的求和對無窮原子系列進行，故必有必有 02qq 2 或或 對對q的關系曲線在的關系曲線在

24、 0qq 處有一條垂直的切線，即處有一條垂直的切線，即曲線在曲線在0q點處扭折，這就是點處扭折，這就是“科恩反?？贫鞣闯！爆F(xiàn)象?，F(xiàn)象。 3.10 設晶格中每個振子的零點振動能為設晶格中每個振子的零點振動能為h21，試用德拜模型，試用德拜模型求晶體的零點振動能。求晶體的零點振動能。解：解： d9Nd23D d h21E000 429Nhd29Nh4D3D033D0 DBDNk89Nh89 BDBDDkhk由由所以所以3.11 已知一個頻率為已知一個頻率為i 的簡諧振動在溫度的簡諧振動在溫度T下的平均能量為下的平均能量為121 TkiiiBie 試用愛因斯坦模型求出由試用愛因斯坦模型求出由N個原子

25、組成的單原子晶體晶格振個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達式。動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達式。解：由解：由N個原子組成的單原子晶體共有個原子組成的單原子晶體共有3N個自由度，獨立晶格個自由度，獨立晶格振動方式數(shù)也等于振動方式數(shù)也等于3N，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總能量便等于這能量便等于這3N個諧振動的能量之和，即個諧振動的能量之和，即 NiTkiiNiiBieE3131121 依照愛因斯坦模型，依照愛因斯坦模型， N321，于是上式變?yōu)椋谑巧鲜阶優(yōu)?1213TkBeNE 1213TkBBBBe

26、TkTkTNk 123xBexxTNk (1)(1) ； 式中式中 TTkxEB BEk 是愛因斯坦是愛因斯坦特征溫度。特征溫度。在高溫極限下，在高溫極限下，x1， xxee 1，從，從(1)式得式得 xBxexTNkE23TEBEBEeNkkN 3233.12 試用德拜模型求試用德拜模型求 解上題。解上題。解：按照德拜模型，頻率在解：按照德拜模型，頻率在 d 之間的獨立振動方式之間的獨立振動方式數(shù)等于數(shù)等于 dNdgD239 (1)(1) 式中式中 D 是德拜截止頻率。因為單原子晶體晶格振動的總能量是德拜截止頻率。因為單原子晶體晶格振動的總能量 NiTkiiBieE31121 當當N很大時，

27、格波的頻率分布是準連續(xù)的，故上式可用下列很大時，格波的頻率分布是準連續(xù)的，故上式可用下列積分計算：積分計算： dgeEDBTk 0121 deNDBTkD 03331219， 令令 TkxB TDD （D 是德拜特征溫度）將是德拜特征溫度）將上式化簡為上式化簡為 TxDBDdxexxTTNkE 0333129 TxDBDBDdxexTTNkkN0331989(2) (2) 對于高溫極限，對于高溫極限，x1，(2)式中的積分上限式中的積分上限 TD，而且，而且 1111nnxxxxeeee此時此時(2)式中的積分變?yōu)槭街械姆e分變?yōu)?103031nTnxxDdxexdxex159061614414

28、1034 nnTyndyeynD因此，從因此，從(2)式求得式求得1598943 DBDBTTNkkNE345389 DBDBTTNkkN 上式表示，在德拜模型中，低溫時晶格振動能與溫度的上式表示，在德拜模型中，低溫時晶格振動能與溫度的4次方次方成正比。成正比。3.13 求頻率在求頻率在 到到 d 間隔內(nèi)的聲子數(shù)，并寫出固體振動間隔內(nèi)的聲子數(shù)，并寫出固體振動能的表達式。能的表達式。解：按照德拜理論，在頻率解：按照德拜理論，在頻率 dvvv 間隔內(nèi)的獨立振動方式間隔內(nèi)的獨立振動方式數(shù)為數(shù)為 dvvvNdvvgD239 式中，式中， Dv為截止頻率；為截止頻率；N為晶體包含的原子數(shù)。達到熱平衡時，

29、為晶體包含的原子數(shù)。達到熱平衡時， 頻率為頻率為v的振動在溫度的振動在溫度T時平均激發(fā)的聲子數(shù)時平均激發(fā)的聲子數(shù) 11 TkhvBen。 因此，在頻率因此，在頻率 dvvv 間隔內(nèi)的聲子數(shù)為間隔內(nèi)的聲子數(shù)為 dvevvNdvvgednTkhvDTkhvvBB191123 每個聲子的能量等于每個聲子的能量等于hv， vdn個聲子所具有的總能量個聲子所具有的總能量dvevvNhhvdndETkhvDvB1933 由此求得晶體總振動能（略去零點能）由此求得晶體總振動能（略去零點能） DBvTkhvDdvevvNhdEE03319 TxDBDdvexTTNk03319式中式中 TkhvxB ，（，（

30、BDkhv 是德拜溫度）。是德拜溫度）。 上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下，上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下，它有如下簡單的結(jié)果：它有如下簡單的結(jié)果：在高溫極限下：在高溫極限下： TDxDTdxex033311在低溫極限下：在低溫極限下： TxDdxex043151 代入上式，得到晶體在高溫極限下的總振動能代入上式，得到晶體在高溫極限下的總振動能 TNkEB3 低溫極限下的總振動能低溫極限下的總振動能3453 DBTTNkE 3.17 3.17 對于對于NaClNaCl晶體，已知恢復力常數(shù)晶體，已知恢復力常數(shù) ，試分別求出試分別求出NaClNaCl晶

31、體中光學支格波和聲學支格波的最高頻率和晶體中光學支格波和聲學支格波的最高頻率和最低頻率。（已知最低頻率。（已知ClCl和和NaNa的原子量分別為的原子量分別為35.535.5和和23.023.0）cmdyn4105 . 1 解：因為一維雙原子晶體的色散關系為解：因為一維雙原子晶體的色散關系為 212222cos2aqMmmMmMMm 在本題設下，式中在本題設下，式中m、M分別代表分別代表Na、CL原子的質(zhì)量。當括號原子的質(zhì)量。當括號內(nèi)取內(nèi)取“+”號時代表光學支號時代表光學支 ，取，取“”號時代表聲學支號時代表聲學支 。從。從上式得知，光學支的最大頻率是上式得知，光學支的最大頻率是 21max1

32、12 Mm 由于由于 gm241066. 10 .23 ， gM241066. 15 .35 ，因而得，因而得 21244max1066. 15 .35166. 10 .231105 . 12 srad131060. 3 而光學支的最小頻率是而光學支的最小頻率是 212821min1066. 10 .235 . 122 m srad131080. 2 聲學支的最大頻率是聲學支的最大頻率是 212821max1066. 15 .355 . 122 M srad131026. 2 （1）NaCl的恢復力常數(shù)；的恢復力常數(shù)； （2）長聲學波的波速；）長聲學波的波速； （3）NaCl的彈性模量。的彈性

33、模量。已知已知Cl和和Na的原子量分別為的原子量分別為35.5和和23.0。3.18 對對 于于 NaCl 晶晶 體，測體，測 知知 其其 密密 度度 ，正，正 負負 離離子子 的的 平平 衡衡 距距 離離 ，光，光 學學 支支 格格 波波 的的 最最 高高 頻頻 率為率為 。試以一維雙原子晶鏈模型計算：。試以一維雙原子晶鏈模型計算： 318. 2cmg 101081. 2 a srad18max1060. 3 解：解：(1)對于一維雙原子鏈，格波光學支的最高頻率為對于一維雙原子鏈，格波光學支的最高頻率為 21max112 Mm (1) 式中，式中， 為原子間的恢復力常數(shù)；為原子間的恢復力常數(shù)

34、；m、M分別代表兩種原子的質(zhì)分別代表兩種原子的質(zhì)量。對于量。對于NaCL，已知，已知Na原子質(zhì)量原子質(zhì)量 ，CL原原子質(zhì)量子質(zhì)量 ，平衡時，平衡時， 和和 的距離為的距離為 ， 。因此，從。因此，從(1)式可得其式可得其恢復力常數(shù)恢復力常數(shù) gm241066. 10 .23 g1066. 15 .35M24 Na Clm101081. 2 srad18max1008. 3 MmmM max221 2621060. 321 5 .350 .235 .350 .23241066. 1 cmdyn4105 .1 (2)(2)對于聲學波，在長波極限下，其傳播速度為對于聲學波，在長波極限下，其傳播速度為

35、 212 Mma 所以所以 2124481066. 15 .350 .23105 . 121081. 2 smscm49401094. 45 (3)(3)有彈性波理論知道，波速有彈性波理論知道，波速 E 式中，式中，E E是介質(zhì)的彈性模量；是介質(zhì)的彈性模量； 為介質(zhì)密度。為介質(zhì)密度。 211252102 . 51094. 418. 2cmdynE ， 318. 2cmg 故有故有 已知已知3.19 設一維晶鏈由二價正離子組成，晶鍵靠離子之間的相互設一維晶鏈由二價正離子組成，晶鍵靠離子之間的相互斥力而達到平衡。離子的質(zhì)量為斥力而達到平衡。離子的質(zhì)量為kg27107 . 1 ，平衡時的離子，平衡時

36、的離子 間距為間距為 m10100 . 5 。試求縱向格波的最高頻率和最大波速。試求縱向格波的最高頻率和最大波速。 解：解： , 3 , 2 , 1 n表示；表示；n1-n1n 2-n2n anx1-nx1nx 2-nx2nx 如圖所示，離子的坐標由如圖所示，離子的坐標由na由于熱由于熱運動，運動，nx , 3 , 2 , 1 n。庫侖定律，兩粒子間的互相斥力為庫侖定律，兩粒子間的互相斥力為222422rekreekf 式中，式中，k k為靜電衡量；為靜電衡量；r r為離子間距。為離子間距。 21221244 nnnnnxxaekxxaekxm 2122122444nnnnxxaexxaeke

37、(1)(1) 因為離子偏離平衡位置的熱動動只是一種微振動，可將因為離子偏離平衡位置的熱動動只是一種微振動，可將(1)(1)式式括號中的項在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計及一次項括號中的項在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計及一次項它們離開平衡位置的位移記為它們離開平衡位置的位移記為根據(jù)根據(jù)相互作用，運動方程可表述為相互作用，運動方程可表述為如果只考慮相鄰離子間的如果只考慮相鄰離子間的則有則有 212212211114axxaaxxakexmnnnnn 2121221214aaxxaaxxkennnn nnnxxxake 11328令試探解為令試探解為 naqtinAex （2 2）式中，式

38、中，A、 、q分別為振幅、角頻率和波矢。分別為振幅、角頻率和波矢。式得出式得出 aqakeeeakemiaqiaq21sin3228232322 即即 aqaqmake21sin21sin3222max2322 式中式中 max 為格波的最高角頻率：為格波的最高角頻率： 2122132max2432 makeamake （3）把上式代入把上式代入(2)把下列數(shù)據(jù)代入：把下列數(shù)據(jù)代入：mJke 2821030. 2ma10105 kggm2724107 .1107 .1 得到得到 srad142110272810max108 . 1105107 . 11030. 221054 最大波速對應于長波

39、極限下的波速。最大波速對應于長波極限下的波速。 此時此時q q很小，很小，(3)(3)式給出式給出 qamax21 于是，得到最大波速為于是，得到最大波速為maxmaxmax221 aqqaq sm41410105 . 4108 . 12105 3.21 試用一維單原子鏈模型證明：格林愛森系數(shù)試用一維單原子鏈模型證明：格林愛森系數(shù) 是一是一 個常數(shù)。個常數(shù)。 證明：對于一維單原子鏈，格波的色散關系為證明：對于一維單原子鏈，格波的色散關系為 aqm21sin422 (1) 式中，式中， 為晶鏈近鄰原子間的恢復力常數(shù)；為晶鏈近鄰原子間的恢復力常數(shù)；m為晶格原子的質(zhì)為晶格原子的質(zhì) 量；量；a是原子間

40、距；是原子間距；q為格波的波矢。為格波的波矢。因而因而aq=S/N是一個與原子間距是一個與原子間距a無關的參量，可以把無關的參量，可以把(1)式寫成式寫成矢矢q只能取分立值只能取分立值 Nasq ，且，且 22NSN （S為整數(shù)），為整數(shù)），設晶鏈包含設晶鏈包含N個原子，波個原子，波 aqm21sin422(2) 此處此處 aqm21sin42 是一個與是一個與a無關的量，頻率無關的量，頻率 對原子間距對原子間距a的關系是通過恢復力的關系是通過恢復力 常數(shù)常數(shù) 相關聯(lián)的。相關聯(lián)的。對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù)對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù) Naddlnln lnln21ln (3) 由由(2

41、)式得式得Na為晶鏈的長度。把為晶鏈的長度。把(3)式代入即得式代入即得 dadaaddaNdd 2lnlnlnlnlnln21 (4) 注意到恢復力常數(shù)注意到恢復力常數(shù) 是晶格原子互作用能是晶格原子互作用能U的二次微商，的二次微商， 即即 UdaUd 22 因而因而 UdaUddad 故故(4)(4)式可寫作式可寫作UUa 2 因為對于已知晶格，因為對于已知晶格， U 和和 U 是確定的數(shù)，因此是確定的數(shù)，因此 也是確定也是確定的常數(shù)。此外，的常數(shù)。此外， 的出現(xiàn)是由于互作用能中的非諧項引起的，的出現(xiàn)是由于互作用能中的非諧項引起的，如果晶體做嚴格的諧振動，則如果晶體做嚴格的諧振動，則 0 U

42、，必有，必有 0 。 3.22 3.22 證明：固體的體脹系數(shù)證明：固體的體脹系數(shù) ，體積，體積V V和體積彈性模量和體積彈性模量K K間間滿足格林愛森關系：滿足格林愛森關系：KVCV 。式中，。式中， VC為固體的定容為固體的定容熱容量；熱容量； 是格林愛森常數(shù)。是格林愛森常數(shù)。 證明：按定義，晶體的體脹系數(shù)證明：按定義，晶體的體脹系數(shù)pTVV 1 使用熟知的循環(huán)關系式使用熟知的循環(huán)關系式 1 TVpVPPTTV上式化為上式化為TVpPVTPVTVV 11 VTVTPKVPTPV 11(1)(1) 式中式中 TVPVK 是體積彈性模量。是體積彈性模量。對于晶體，有格林愛森常數(shù)狀態(tài)方程：對于晶體，有格林愛森常數(shù)狀態(tài)方程： VEdVVdUP (2) 式中，式中，U(V)是是0K時晶體的互作用能，時