材料力學(xué)Ⅲ：第6章 彎曲變形

1、1yyyy年年M月月d日日23變形后的齒輪軸456789向位移面形心的處橫截描述坐標(biāo)撓曲線方程yxxvv)( 軸的夾角的切線與處撓曲線描述坐標(biāo)轉(zhuǎn)角方程xxdxdvx )( 叫撓曲線所形成的一條平面曲線梁變形后的軸線對稱彎曲情況下,1011 zxEIxM 12322211dxdvdxvdx12 )(dxdvEIxMdxvd)( 2212)(xvv 撓度方程 dxdvx轉(zhuǎn)角EIxMdxvd)( 22撓曲線近似微分方程13 6-3 6-3 用用 CdxEIxMdxdv)( DCxdxdxEIxMv)(EIxMdxvd)( 2214 6-3 6-3 用用15 6-3 6-3 用用0ABvv16 6-3

2、 6-3 用用0Bv0B174lFMPc4lFMPc181920212221( )02M xq lxxl x 從坐標(biāo)為從坐標(biāo)為x的任意截面處的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€約截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：得到彎矩方程： 2321( )02M xq lxxl 212EIwMq lx 24212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD25316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d0

3、0dwxx，=33,624qlCqlD 26316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD34,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI27336qlxlEI 434424qwlxl xlEI3max6BqlEI4max8BqlwwEI28加力點(diǎn)加力點(diǎn)B的撓度的撓度和支承和支承A、C處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角。簡支梁受簡支梁受力如圖所示。力如圖所示。FP、EI、l 均為已知。均為已知。2930 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl31 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF

4、xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx32 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw3312P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw 在支座在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即兩處撓度應(yīng)為零，即x0， w10; xl， w20 因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界

5、處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 23412P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC35 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI36例例

6、1 1：求圖示梁的撓曲線方程：求圖示梁的撓曲線方程EIxMdxvd)( 22baFFABCxy1( )MxFa2( )()MxF abx1111( )()dvxFaxCdxEI22221()()()2d vFabxxCd xE I21111( )()2FvxaxC xDEI32221()()()6FabxvxC xDEI001 )(v001 )( )()(bb21 )()(bvbv21 3738xM0MzxEIMdxvd122)()(xfxvdxdvx)(22)(dxvdEIxM33)(dxvdEIdxdMxFS4422)(dxvdEIdxMdxq3901221 MdxdvEI02222MMd

7、xdvEI 03223 MdxdvEI11CdxdvEI 202CxMdxdvEI 33CdxdvEI 111DxCEIv 2220221DxCxMEIv 333DxCEIv 0011 DEIv)(0011 CdxdvEI)(021222012 DlClMlEIvlEIv)()(02012 ClMdxldvEIdxldvEI)()(332220322242122DlCDlClMlEIvlEIv )()(32032222CClMdxldvEIdxldvEI )()(01 01 vlMC02 20221lMD lMC03 )(lMxMEI0021 )(20020221211lMlxMxMEIv l

8、MEI031 20323lMD )(2003231lMlxMEIv 4001 01 v)(lMxMEI0021 )(20020221211lMlxMxMEIv lMEI031 )(2003231lMlxMEIv 41xM0M01221 MdxdvEI02222MMdxdvEI 03223 MdxdvEI11CdxdvEI 202CxMdxdvEI 33CdxdvEI 111DxCEIv 2220221DxCxMEIv 333DxCEIv 0011 DEIv)(EIC11xCEIv1142xMLFpxQpF221dxdvEIxFdxdvEIP222lFdxdvEIp22311CdxdvEI 22

9、22CxFdxdvEIP33ClxFdxdvEIP111DxCEIv 22326DxCxFEIvP33232DxCxlFEIvP0011 DEIv)(EIC11xCEIv11436-5 6-5 3(2 )48CFlWEI2(2 )16CFllWEIccF lF440)(1EIxMx220232GGGFaaaaLL32La 451 1 2 2 3 3 1 1 46 ：47c321cwB321B 484921c21c2B22L22c2 5051wE 2 wE 152 53EIql38454maxEIqllEIqllEIqA3845)2(32)2(8434123bhI q2RAqlFq54 tgII

10、IIFFlFEIEIlFWWtgyzyzPPPzyPyzyzyz3333向撓度向和分別表示自由端的和zywwzy.,才為平面彎曲時只有當(dāng)zyII55 6-5 6-5 2max8qLMBAq（kN/m）4max5384zqLwEI 56BAq（kN/m）57)(bq)(cq)(d0ARAqAAfff03834qLRA83)(bqqL83)(aq083qLqLRB0832122qLqLMBqLRB85281qLMB29128ql281qL 6-5 6-5 586. 5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁 本節(jié)討論簡單超靜定梁的求解。本節(jié)討論簡單超靜定梁的求解。l 例子例子車床上被加工的車床上被加工的工件。工

11、件。u計算簡圖如圖計算簡圖如圖是一次超靜定是一次超靜定問題。問題。l 基本概念基本概念u 靜定基靜定基FRByFRAyFRAxMA59l 基本概念基本概念u 靜定基靜定基將超靜定系統(tǒng)中的將超靜定系統(tǒng)中的多余約束多余約束解除解除后，得到的后，得到的“靜定基本系統(tǒng)靜定基本系統(tǒng)”。u 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到束力，便得到受力受力和和變形變形與超靜定與超靜定系統(tǒng)完全相同的系統(tǒng)完全相同的“相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)”。l 本例中本例中u 解除解除B處可處可動支座約束，動支座約束，得到得到靜定基靜定基。60u 解除解除B處可動處可動支座約束，得支座約束

12、，得到到靜定基靜定基。u 在靜定基上在靜定基上加上加上 F 和和FRBy, 得到得到相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)。u 求求B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度用疊加法用疊加法FFRByu 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件0Bw61u 在靜定基上加上在靜定基上加上F和和FRBy, 得到得到相當(dāng)相當(dāng)系統(tǒng)系統(tǒng)。u 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件u 求求B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度ByFBFBBwwwR)()(用疊加法用疊加法u 具體計算具體計算B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度FFRBy0Bw62u 具體計算具體計算B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度由表由表6.1中的中的3)3(6)(2alEIFawFB由表由表6.1中的中的2EIlFwByFBBy3)(3RR代入變形協(xié)調(diào)條件，可解出代入變形協(xié)調(diào)條

13、件，可解出)3(23322RlalaFFBy求出求出FRBy后，就可象求解靜定梁一樣求解了。后，就可象求解靜定梁一樣求解了。ByFBFBBwwwR)()(用疊加法用疊加法63u 說明說明靜定基不是唯一的，可有不同的選法。靜定基不是唯一的，可有不同的選法。由表由表6.1中的中的2EIlFwByFBBy3)(3RR代入變形協(xié)調(diào)條件，可解出代入變形協(xié)調(diào)條件，可解出)3(23322RlalaFFBy求出求出FRBy后，就可象求解靜定梁一樣求解了。后，就可象求解靜定梁一樣求解了。64u 說明說明靜定基不是唯一的，可有不同的選法。靜定基不是唯一的，可有不同的選法。FaCBAlxyu 解除解除A處對轉(zhuǎn)處對轉(zhuǎn)

14、動的約束，動的約束，得到得到靜定基靜定基。MAu 在靜定基上在靜定基上加上加上 F 和和MA, 得到得到相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)。u 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件0A65 6-5 6-5 qqBq2lAC3845)(4483CRCR0)()(85qlRc165 ql165 ql163ql163qlQ51292ql322ql51292qlM66qLRRRCBACCCKREILREIqL48384534L/2L/2L/2L/2A AB BC Cq q9 9、簡支梁、簡支梁ABAB如圖，在無載荷作用時恰與彈簧接觸，當(dāng)梁上作用如圖，在無載荷作用時恰與彈簧接觸，當(dāng)梁上作用均布載荷均布載荷q q時，欲使三個支座反力相

15、等，問彈簧的時，欲使三個支座反力相等，問彈簧的K K是多少？是多少？EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。qLRRRCBA313144384544KEILEIL14812853337384LEIK 67 超靜定問題分析方法超靜定問題分析方法 1.根據(jù)題意確定超靜定次數(shù)根據(jù)題意確定超靜定次數(shù)2.解除多余約束，代以相應(yīng)的約束反力，解除多余約束，代以相應(yīng)的約束反力，建立基本系統(tǒng)建立基本系統(tǒng)3.利用疊加法，計算基本系統(tǒng)中與多余約束利用疊加法，計算基本系統(tǒng)中與多余約束反力對應(yīng)的廣義位移反力對應(yīng)的廣義位移4.根據(jù)約束條件，建立變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程根據(jù)約束條件，建立變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程5.解方程，求出全部多余約束反力解方程，求出

16、全部多余約束反力6.對基本系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步分析計算對基本系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步分析計算68)( bq)(alFq lx2l)( Daaq)(aFql2l)(bqq)(cq)( c 6-6 6-6 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施EIxMx)(169 例如在車床上加工較長的工件時，為了減例如在車床上加工較長的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個中間支架在卡盤與尾架之間再增加一個中間支架 706. 6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的措施：提高彎曲剛度的措施： 梁的撓曲線微分方程為梁的撓曲線微分方程

17、為EIxMxw)(dd221 改善結(jié)構(gòu)形式，改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩值減小彎矩值l 力不傳到軸上，力不傳到軸上，而由箱體承受。而由箱體承受。711 改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩值改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩值l 縮小跨度或增加約束縮小跨度或增加約束梁受集中力作用時，梁受集中力作用時，撓度與跨度撓度與跨度(l)的三次的三次方成正比。方成正比。2 選擇合理的截面選擇合理的截面形狀形狀與提高強(qiáng)度相同。與提高強(qiáng)度相同。3 彈性模量與彈性模量與抗彎剛度抗彎剛度723 彈性模量與抗彎剛度彈性模量與抗彎剛度n抗彎剛度抗彎剛度 EI 除與截面形狀有關(guān)外，還與彈除與截面形狀有關(guān)外，還與彈性模量有關(guān)。性模量有關(guān)。n鋼材的彈性模

18、量較大，故用鋼材制造的構(gòu)鋼材的彈性模量較大，故用鋼材制造的構(gòu)件有較大的抗彎剛度。件有較大的抗彎剛度。材料名稱材料名稱E / (GPa)碳鋼碳鋼196 2160.24 0.28合金鋼合金鋼186 2060.25 0.30灰鑄鐵灰鑄鐵78.5 1570.23 0.27銅及其合金銅及其合金72.6 1280.31 0.42鋁合金鋁合金 700.3373n鋼材的彈性模量較大，故用鋼材制造的構(gòu)鋼材的彈性模量較大，故用鋼材制造的構(gòu)件有較大的抗彎剛度。件有較大的抗彎剛度。n高強(qiáng)度合金鋼與低碳鋼的彈性模量接近，高強(qiáng)度合金鋼與低碳鋼的彈性模量接近，故選用高強(qiáng)度合金鋼可提高構(gòu)件的故選用高強(qiáng)度合金鋼可提高構(gòu)件的強(qiáng)度強(qiáng)度，但不能提高其但不能提高其剛度剛度。材料名稱材料名稱E / (GPa)碳鋼碳鋼196 2160.24 0.28合金鋼合金鋼186 2060.25 0.30灰鑄鐵灰鑄鐵78.5 1570.23 0.27銅及其合金銅及其合金72.6 1280.31 0.42鋁合金鋁合金 700.33741E2EDd1111zIEM2221zIEMMMM21MdDdDM444412)(221211zzIEIEM21212222zzIEIEyMEyEE2121