第四章(機器人學(xué)動力學(xué))概要

1、機器人動力學(xué)靜力學(xué)和動力學(xué)分析，是機器人操作機設(shè)計和動態(tài)性能分 析的基礎(chǔ)。特別是動力學(xué)分析，它還是機器人控制器設(shè)計、 動態(tài)仿真的基礎(chǔ)。機器人靜力學(xué)研究機器人靜止或緩慢運動式，作用在機器 人上的力和力矩問題。特別是當(dāng)手端與環(huán)境接觸時，各關(guān)節(jié) 力（矩）與接觸力的關(guān)系。機器人動力學(xué)研究機器人運動與關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）間的動 態(tài)關(guān)系。描述這種動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為動力學(xué)模型。由 于機器人結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其動力學(xué)模型也常常很復(fù)雜，因此 很難實現(xiàn)基于機器人動力學(xué)模型的實時控制。然而高質(zhì)量的 控制應(yīng)當(dāng)基于被控對象的動態(tài)特性，因此，如何合理簡化機 器人動力學(xué)模型，使其適合于實時控制的要求，一直是機器 人動力學(xué)研究者

2、追求的目標(biāo)。4. 1機器人靜力學(xué)一、桿件之間的靜力傳遞在操作機中，任取兩連桿4,乙川。設(shè)在桿4+上的0+1點 作用有力矩 和力再H在桿4上作用有自重力壓（過質(zhì) 心G）； E和W分別為由Q到0小和G的向徑。按靜力學(xué)方法，把這些力、力矩簡化到乙,的固聯(lián)坐標(biāo)系 弓一天號，可得：工石4f 1 =6m+G'M i = M ,+i + ri x Fi+i + ra x G,中 式耳=略尸2吟而i=尺+而+ *X % F：1 +添X總57_=_2g （ mi 為桿 4 求出瓦和而,在z,軸上的分二的質(zhì)量）。,就得到了關(guān)節(jié)力和扭矩,它們就是在忽略摩擦之后，驅(qū)動器為使建作機保持靜力平 衡所應(yīng)提供的關(guān)節(jié)力

3、或關(guān)節(jié)力矩，記作r ,其大小為4=邛'號當(dāng)忽略桿件自重時G,，上式可簡記為：若以三。表示不計重力的關(guān)節(jié)力或力矩值，對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié) 則有：一 一 , 一一»Ti = Tio +xG/）J=i式中rg 是自Q到桿Lj的質(zhì)心Cj的向徑。4-2機器人動力學(xué)概述一、研究目的:1、合理地確定各驅(qū)動單元（以下稱關(guān)節(jié)）的電機功率。2、解決對伺服驅(qū)動系統(tǒng)的控制問題（力控制）在機器人處于不同位置圖形（位形）時，各關(guān)節(jié)的有效慣量及耦合量都會發(fā)生變化（時變的），因此，加于各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力也應(yīng)是時變的，可由動力學(xué)方程給以確定。二、機器人動力學(xué)研究的問題可分為兩類：1、給定機器人的驅(qū)動力（矩），用動力學(xué)方程

4、求解機器 人（關(guān)節(jié)）的運動參數(shù)或動力學(xué)效應(yīng)（即已知7,求，招和功 稱為動力學(xué)正問題。）。2、給定機器人的運動要求，求應(yīng)加于機器人上的驅(qū)動力 （矩）（即已知夕上和含，求稱為動力學(xué)逆問題）。9三、動力學(xué)研究方法:1 .拉格朗日方程法：通過動、勢能變化與廣義力的關(guān)系，建立機器人的動力學(xué)方程。代表人物R.P.Paul. JJ.Uicker.J.M.Hollerbach等。計算:經(jīng)優(yōu)化O（3）,遞推0（"）。2 .牛頓一歐拉方程法：用構(gòu)件質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動 表示機器人構(gòu)件的運動，利用動靜法建立基于牛頓歐拉方程 的動力學(xué)方程。代表人物Orin, Luh（陸?zhàn)B生）等。計算量0（）。3 .高

5、斯原理法：利用力學(xué)中的高斯最小約束原理，把機罌人動 力學(xué)問題化成極值問題求解.代表人物波波夫（蘇）用以解決第 二類問題。計算量。（加）。4 .凱恩方程法：引入偏速度概念，應(yīng)用矢量分析建立動力學(xué) 方程。該方法在求構(gòu)件的速度、加速度及關(guān)節(jié)驅(qū)動力時，只進(jìn) 行一次由基礎(chǔ)到末桿的推導(dǎo)，即可求出關(guān)節(jié)驅(qū)動力，其間不必 求關(guān)節(jié)的約束力，具有完整的結(jié)構(gòu)，也適用于閉鏈機器人。計4.3.1剛體系統(tǒng)拉格朗日方程應(yīng)用質(zhì)點系的拉格朗日方程來處理桿系的問題。定義：L（%，勿）=7一。LLagrange函數(shù)；T系統(tǒng)動能之和；U系統(tǒng)勢能之和。系統(tǒng)的動能和勢能可在任何坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系、圓柱坐 標(biāo)系等）中表示，不是一定在直角坐標(biāo)系

6、中。動力學(xué)方程為：八 d dL dLQ：=dt dqi dqi/ / 廣義力廣義速度廣義坐標(biāo)（力或力矩）（8或U）（?；騞 ）設(shè)機器人的手臂，質(zhì)心在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的平移速度向量為為 角速度為例，則桿/的動能為：1 T 1 TT： = m：vri vri+ co； Leo： C- V tI n手臂總能量為：T=z=i桿/在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的速度與第/桿及其之前各桿關(guān)節(jié)速度 的關(guān)系為：，Li AJ J_ 一.，”.第J J其中，*=?1q,T,雅克比矩陣子塊j£）,j華為咐二任7J劃o -當(dāng)桿j為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時了叫 Jb-XL”：- 8t其中JPci為在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中第，-1號坐標(biāo)原點至桿i質(zhì)心的向

7、量。T =母反（人尸比）丁比1+ qTj£m%） = iqTMq/，二 Iz式中,M為 x n階慣性矩陣，為M =+，）”我）r = 110如果用表示慣性矩陣M的元素，:機器人手臂的勢能為U = N DPc,廣義力為江.為在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中由坐標(biāo)原點到桿f質(zhì)心的向量。Q = tr +Lf其中，和F分別表示關(guān)節(jié)力向量和手端與環(huán)境的接觸力向量。由于是*3 = 1,2,"）的函數(shù)，所以對時間的導(dǎo)數(shù)為 dyo _ S、aM?j dq_ yi OM".展一白3伏七 一士為，第二項含對動能了求對q的偏導(dǎo)數(shù)，所以J1 _ 丹 IJL x？1 hA * r 1 xS 弋、am軟,.勢

8、能對4的偏導(dǎo)數(shù)為重力項G =盟=E "'居T舞=上次比？動力學(xué)方程為：Fn »Z 乂方q$ + Z?人/4期十GjQ,J = 1,- 1 由=1_ 3M*1 dMjkhi* _ 一）妥 2 %解油于1一0o roo ,J1= o0J LIO-0 ,Jl=0-o 0172m慮 +，i + 初，2（"，舄 + 2，iGcz）+ h 加2（/+，|/）氏）+ 1W2（ 12 +，Jc2c2）+ 12m2%+ I?代人M= E （k+ J戶YjP）中得到 I - iM-2M. 1 0Mb應(yīng)用公式人=福-5-笳令i = 12 j = 1,2/= 1,2可求出A UI

9、卜112,，*222。其中:力12= 一2m 2/1/c2s2,力 121 =°，陽 22二 一 "4人，c2s2 ,力211 二嘰6!冽應(yīng)用G = 士:外屋昭”L2可得J 73 = 8?。?町兒+a2兄）=叫城遙1 +帆2g（八門+，£2c12）G? 二 g1（ m Ju + lJu）=加2gQ，2由 Q=* +J%,得 Q產(chǎn)門，Qz = qT - Mu 0 + M2«2 +（力 112 + 九 121）% 方 十 萬22 卷+ GT2 M21 9 i +* M22 6 2 + 方 2U+ G?4.4機器人的牛頓歐拉方程機器人的拉格朗日動力學(xué)模型為非線

10、性二階常微分方程, 利用這些方程，由已知的每一軌跡設(shè)定點的關(guān)節(jié)位置、速度 和加速度，可以計算各關(guān)節(jié)的標(biāo)稱力矩，但拉格朗日方程利 用4X4齊次變換矩陣，使得計算效率太低。為了實現(xiàn)實時控制，曾用過略去哥氏力和向心力的簡化模 型，但當(dāng)操作機快速運動時，哥氏力和向心力在計算關(guān)節(jié)力 矩中是相當(dāng)重要的。因而這種簡化只能用于機器人的低速運 動，在典型的制造業(yè)環(huán)境中，這是不合乎要求的。此外，這 種簡化所引起的關(guān)節(jié)力矩誤差，不能用反饋控制校正。牛頓一歐位法采用迭代形式方程，計算速度快，可用于實 時控制，因而成為一種常用的建模方法。4.4.4牛頓歐拉法基本運動方程(E =剛體的運動可分解為隨質(zhì)心的移動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)

11、動。借助于 桿件運動學(xué)知識，我們把達(dá)朗貝爾原理用于每個桿件，描述機 器人各桿件的運動。達(dá)朗貝爾原理可應(yīng)用于任意瞬時，它實質(zhì) 上是牛頓第二運動定律的一種變型，可表示為：牛頓定理：歐拉方程：M = I"+*（4）（凡= ' （4八J）dt式中：m桿i質(zhì)量；F,桿i上所有外力合力；N,桿i上所有外力對質(zhì)心的合力矩；/ 桿i繞其質(zhì)心慣性矩陣。根據(jù)力（矩）平衡原理，在質(zhì)心處有:E =£-一£卬+機啟(24)20瓦=瓦-L Ng + （一 G”）X（一工"1）- n-i.ci x fi-u則有- -九二"+肛月-g匕二。闋W*/ （ W x（一&#

12、163;卬）-3心 x Z-1./ -1 啟一電 x （ /=o方程（24）即為牛頓歐拉法的基本方程。4.4.5遞推形式的牛頓歐拉方程上面推導(dǎo)的牛頓歐拉法（也簡稱NE法）方程式含關(guān)節(jié) 聯(lián)接的約束力（矩），沒有顯示地表示輸入一輸出關(guān)系，不適 合進(jìn)行動力學(xué)分析和控制器設(shè)計。如果變換成由一組完備且獨 立的位置變量（質(zhì)心位置變量通常不是相互獨立的）和輸入力 來描述，這些變量都顯式地出現(xiàn)在動力學(xué)方程中，即得到顯式 的輸入輸出形式表示的動力學(xué)方程，稱為封閉形式的動力 學(xué)方程（拉格朗日方程即是封閉的）。關(guān)節(jié)變量“是一組完備且獨立的變量，關(guān)節(jié)力（矩）r是一組從約束力（矩）中分解出來的獨立的輸入，所以用4和匯

13、來描述方程，可以得到封閉形式的動力學(xué)方程。尋求轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系和固定慣性坐標(biāo)系之間必要的數(shù)學(xué)關(guān)系，再推廣到運動坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)動和平移）和慣性坐標(biāo)系之間的美系。坐標(biāo)系Oo.r（>vnz0為基礎(chǔ)坐標(biāo)系，設(shè) 坐標(biāo)系Oqz的原點不既在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中以角速度 9旋轉(zhuǎn)。任意向廿S固定在坐標(biāo)系。八2中,隨旋轉(zhuǎn) 坐標(biāo)系運動。為了確定£在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的速度，可 考慮經(jīng)微小時間間隔入動坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角度為 6 = 向量$從點八運動至點8,由圖中的幾何關(guān)系可知向量$的變化最為= AC I - AOsinp | cu Af = s j <i）由于向量都在垂直于旋轉(zhuǎn)軸和向量S,所以福平行/向量積g X $ 在旋

14、轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中向量S的速度為與坐標(biāo)系°0工2。之0，。聲區(qū)和0, + 1q3乂7當(dāng)一分別為基礎(chǔ)坐標(biāo)系，固定在桿3和桿£ + 1的坐標(biāo)系。由圖可知在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中對上式求導(dǎo)，可得0°n + JPi + 1 - Pi + Pf + 125d'p, 11匕 + 1 = Vf + , + /XR + 1，若分別用風(fēng)十1和4表示，并進(jìn)一步利用微分算子可得十足X"+1+25 X止%1 U。十叱 x(®, X'p?”)運動學(xué)的遞推關(guān)系求角速度電»及角加速度質(zhì)-1(1)當(dāng)關(guān)節(jié)i +1是平移關(guān)節(jié)時.桿i +1的角速度和角加速度和前面的桿相同,

15、即9 + 1 =幼(3-45)七+】二例(346)(2)當(dāng)關(guān)節(jié)i +1是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時，坐標(biāo)系M 1格繞固定于桿i的動坐標(biāo)系軸以角速 度和角加速度' +也旋轉(zhuǎn)。在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中，桿i + 1的角速度為叫+1二電+幻+1仇(3-47)對上式求導(dǎo)得在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中桿it 1的角加速度為叫+ i = o, + Gi + i& + 8,x+i“(3-48)求平移速度七.1和平移加速度6i<1)當(dāng)關(guān)節(jié)£ + 1是平移關(guān)節(jié)時，桿1在坐標(biāo)原點Q.處的平移速度為匕】=,+ q,.瓦+叫x為”(3-49)式右邊第2項是由于關(guān)節(jié)i +1的平移面產(chǎn)生的，第3項是由于關(guān)節(jié)i的角速度產(chǎn)生 的，其

16、中力”是由坐標(biāo)系原點。至Q”的向量。而桿i + I在坐標(biāo)原點。,+1處的平移加 速度可通過對式(3-41)求導(dǎo)得.7 =。，+ 'a + 人x >- +, + 2叫 X q-也 + 0 X(助 X/*)(3-50)(2)當(dāng)關(guān)節(jié)3 + 1是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時，桿i + 1在坐標(biāo)原點0,”處的平移速度為匕產(chǎn)匕+ %“X%.|(3-51)式右邊第2項是由于關(guān)節(jié)Z + 1的角速度產(chǎn)生的。而桿£十1在坐標(biāo)原點Q*處的平 移加速度可通過對式(3-51)求導(dǎo)得4，L 4 + 孫 +1 x 'P, 1 + 修 +1 x外 +1 x 如.J26求質(zhì)心處的加速度1yCi =匕+肛x 3fl

17、cr = a,十 X十 x(8j x lpct)節(jié)運動變量之間的關(guān)系以及約束力與關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，消 去中間變量，可以得到封閉形式的動力學(xué)方程。但顯然不如用 拉格朗日法簡單，特別是當(dāng)機器人自由度較多時，更是如此。因此，對于ne法，常用的不是它的封閉形式方程，而是它 的遞推形式方程。方程（24）可直接寫成如下遞推形式：(25)九/ =%"1+加歷一見京K凡Ti =X Z.1+l + %E 療+ /向 + 囪 X（ /何）=。而關(guān)節(jié)力（矩）可寫成如下形式：(26)Jf l 丁T C1 凡T, + 2。對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)|= I Cl-子i'+bm對于移動關(guān)節(jié)式中，Zt為沿關(guān)節(jié)軸線ZZ

18、的單位矢量，為關(guān)節(jié)的粘滯阻尼系數(shù)。遞推形式的NE法方程與封閉形式方程比較，計算量從OU/）減少到0（）O從而大大加快了計算速度。自由度越多，遞推形式的優(yōu)勢越明 顯。對于典型n=6的情形，遞推形式的計算效率幾乎提高10倍。 因此，常用于實時計算。遞推形式方程的特點是其計算從機器人操作機的一個桿到另 一桿逐個順序進(jìn)行的，它充分利用了操作機的串聯(lián)鏈特性，常 用于求解動力學(xué)逆問題（即已知夕A。，求工）。求解的大致過程為：根據(jù)運動和力的不同傳遞方向，進(jìn)行運 動量的向前迭代和力學(xué)量的向后迭代。具體步驟如下：1.確定計算NE方程所需的所有運動量，包括每個桿件的（匕,，卬,，立,，山,）由桿1一桿:夕也向“，

19、由夕1，2，2=匕2通2，卬2,以%，。3,43= ,=%，%，也，也2.將上述運動量代入NE方程，確定關(guān)節(jié)力（矩）。計算順 序與運動量計算相反，由桿一桿1：fn-,nTV . = N _+1 -rn.x fn + r . . x fn . + La>n + 念 x Ina)n) => jV . TV ?.=>=>41n 4.4.5在桿件自身坐標(biāo)系中的遞推方程前述遞推運動方程的明顯缺點是所有慣性矩陣和物理幾何參數(shù)（如等，都是以基礎(chǔ)坐系為參照的，因此, 當(dāng)機器人運動時，它們也隨著變化。Luh等人改進(jìn)了上述NE 方程，將所有桿件的速度、加速度、慣性矩陣、質(zhì)心位置、 力和力矩等，都表示在各桿的自身坐標(biāo)系中，從而使計算更加簡單。這種改進(jìn)的最重要的成果是，計算關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的時間不僅與機器人關(guān)節(jié)數(shù)成線性比例，而且與機器人構(gòu)型無關(guān)。這就有可能在關(guān)節(jié)變量空間實現(xiàn)機器人的實時控制算法。設(shè)，狀是3X3旋轉(zhuǎn)矩陣，它把矢量由坐標(biāo)系（七,%U）變換 到坐標(biāo)系（七_(dá),y_1，4_1）中。32這樣，可不計算相對基礎(chǔ)坐標(biāo)系的包,同,名用,口,£和用. 等，而是