第55講變量的相關(guān)性、回歸、獨立

1、1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點圖，會作兩個有關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解獨立性檢驗的含義，知道什么是了解獨立性檢驗的含義，知道什么是22列聯(lián)表列聯(lián)表.4.會運用獨立性檢驗的方法判斷事件會運用獨立性檢驗的方法判斷事件A與與B的關(guān)系的關(guān)系.5.會求回歸方程模型，并能進行相關(guān)性會求回歸方程模型，并能進行相關(guān)性檢驗檢驗.6.掌握相關(guān)性檢驗的步驟掌握相關(guān)性檢驗的步驟.1.下列兩個變量之間的關(guān)

2、系是相關(guān)關(guān)下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是系的是( )AA.人的年齡和身高人的年齡和身高B.正方形的邊長和面積正方形的邊長和面積C.正正n邊形的邊數(shù)與其內(nèi)角和邊形的邊數(shù)與其內(nèi)角和D.某角度與它的余弦值某角度與它的余弦值 人的年齡和身高是一種不確定的關(guān)系，人的年齡和身高是一種不確定的關(guān)系，其他三組兩個變量之間都是確定的函數(shù)關(guān)系其他三組兩個變量之間都是確定的函數(shù)關(guān)系,故選故選A.2.回歸直線方程表示直線必定過點回歸直線方程表示直線必定過點( )DA.(0,0) B.( ,0)C.(0,) D.( , )xxy 回歸直線必定經(jīng)過樣本回歸直線必定經(jīng)過樣本中心點中心點( , ).xy3.某裝飾品的廣

3、告費投入某裝飾品的廣告費投入x(單位單位:萬元萬元)與銷售與銷售y(單位單位:萬元萬元)之間有如下表所示的對應(yīng)數(shù)據(jù)：之間有如下表所示的對應(yīng)數(shù)據(jù)： 則回歸直線方程為則回歸直線方程為( )x34567y4060657570AA. =7.5x+24.5 B. =7.5x-24.5C. =-7.5x+24.5 D. =-7.5x-24.5 通過公式通過公式b= , ,a= - b,求之求之.xy1221niiiniix ynxyxnx y y y y4.下列說法中正確的是下列說法中正確的是( )CA.K2在任何相互獨立問題中都可以用于檢在任何相互獨立問題中都可以用于檢驗有關(guān)還是無關(guān)驗有關(guān)還是無關(guān)B.K

4、2的值越大的值越大,兩個事件的相關(guān)性就越大兩個事件的相關(guān)性就越大C.K2是用來判斷兩個分類變量是否有關(guān)系是用來判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的隨機變量的隨機變量D.K2的觀測值的觀測值k=()()()()()n adbcab cdac bd5.用用A和和B兩種藥物各治療兩種藥物各治療9個病人個病人,結(jié)果如下：結(jié)果如下：則這兩種藥物的療效則這兩種藥物的療效 顯著差別顯著差別.(答答“有有”或或“無無”)痊愈痊愈未愈未愈合計合計A藥藥729B藥藥279合計合計9918 由表中看出由表中看出,使用使用A藥痊愈的概率高于藥痊愈的概率高于B藥藥,故可以粗略估計兩種藥的療效是有顯故可以粗略估計兩種藥的療效是有

5、顯著差別的著差別的.有有1.兩個變量間的相關(guān)關(guān)系兩個變量間的相關(guān)關(guān)系如果兩個變量之間確實存在關(guān)系如果兩個變量之間確實存在關(guān)系,但又沒但又沒有函數(shù)關(guān)系所具有的確定性有函數(shù)關(guān)系所具有的確定性,它們的關(guān)系帶有它們的關(guān)系帶有隨機性隨機性,則稱這兩個變量具有則稱這兩個變量具有 .有相關(guān)關(guān)系的兩個變量有相關(guān)關(guān)系的兩個變量,若一個變量的值若一個變量的值由小到大時由小到大時,另一個變量的值也是由小到大，另一個變量的值也是由小到大，這種相關(guān)稱為這種相關(guān)稱為 ；反之，一個變量的；反之，一個變量的值由小到大，另一個變量的值由大到小，這值由小到大，另一個變量的值由大到小，這種相關(guān)稱為種相關(guān)稱為 .相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系正相

6、關(guān)正相關(guān)負相關(guān)負相關(guān)2.散點圖散點圖在平面直角坐標(biāo)系中描點在平面直角坐標(biāo)系中描點,得到關(guān)于兩個變得到關(guān)于兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做這樣的圖形叫做 .如果散點圖中，相應(yīng)于具有相關(guān)關(guān)系的兩如果散點圖中，相應(yīng)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量所有觀察值的數(shù)據(jù)點，分布在一條直線個變量所有觀察值的數(shù)據(jù)點，分布在一條直線附近，則稱這兩個變量具有附近，則稱這兩個變量具有 ,這條直線叫做這條直線叫做 ,方程為方程為 =bx+a,其中其中b= = ,a= - b.散點圖散點圖線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系回歸直線回歸直線xy121()()()niiiniixxyyxx1221niiiniix y

7、nxyxnx y3.最小二乘法最小二乘法使殘差平方和使殘差平方和Q= (yi-bxi-a)2為最小的方為最小的方法，叫做法，叫做 .4.線性回歸模型線性回歸模型(1)樣本的相關(guān)系數(shù)樣本的相關(guān)系數(shù)r= .1ni最小二乘法最小二乘法12211()()niiinniiiix ynxyxxyy當(dāng)當(dāng)r0時時,表示兩個變量正相關(guān)表示兩個變量正相關(guān),當(dāng)當(dāng)r2.706，就，就認為認為x與與y有關(guān)系有關(guān)系.利用利用K2來確定在多大程度可以認為來確定在多大程度可以認為“兩兩個分類變量有關(guān)系個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗的方法稱為獨立性檢驗.2()()()()()n adbcab cd ac bd例例1 汽

8、車的重量和汽車消耗一升汽油汽車的重量和汽車消耗一升汽油所行駛的路程成負相關(guān)，這說明所行駛的路程成負相關(guān)，這說明( )A.汽車越重汽車越重,每消耗每消耗1升汽油所行駛的路程越短升汽油所行駛的路程越短B.汽車越輕汽車越輕,每消耗每消耗1升汽油所行駛的路程越短升汽油所行駛的路程越短C.汽車越重汽車越重,消耗汽油越多消耗汽油越多D.汽車越輕汽車越輕,消耗汽油越多消耗汽油越多A 要透徹理解一些常見參概念的意義要透徹理解一些常見參概念的意義.例例2 某車間為了規(guī)定工時定額某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工需要確定加工零件所花費的時間零件所花費的時間,為此做了四次試驗為此做了四次試驗,根據(jù)試根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得

9、到如下圖所示的散點圖驗數(shù)據(jù)得到如下圖所示的散點圖,其中其中x表示零表示零件的個數(shù)件的個數(shù),y表示加工時間表示加工時間. (1)求出求出y關(guān)于關(guān)于x的線性的線性 回歸方程回歸方程 =bx+a； (2)試預(yù)測加工試預(yù)測加工10個零個零 件需多長時間？件需多長時間？ y (1) = =3.5, = =3.5,所以所以b= =0.7,a=-b=3.5-0.73.5=1.05,所以線性回歸方程為所以線性回歸方程為 =0.7x+1.05.x23454 y23454 4122144iiiniix yxyxx2222222 2.53 34 45 4.54 3.523454 3.5 y(2)當(dāng)當(dāng)x=10時，時，

10、 =0.710+1.05=8.05,故加工故加工10個零件大約需個零件大約需8.05小時小時. 求出回歸直線方程后，往求出回歸直線方程后，往往用來作為現(xiàn)實生產(chǎn)中的變量之往用來作為現(xiàn)實生產(chǎn)中的變量之間相關(guān)關(guān)系的近似關(guān)系，從而可間相關(guān)關(guān)系的近似關(guān)系，從而可用來指導(dǎo)生產(chǎn)實踐用來指導(dǎo)生產(chǎn)實踐. y 為了研究某種細菌隨時間為了研究某種細菌隨時間x變化繁變化繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下： (1)以以x為解釋變量，為解釋變量，y為預(yù)報變量作這些為預(yù)報變量作這些數(shù)據(jù)的散點圖；數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求求y關(guān)于關(guān)于x的回歸方程的回歸方程.天數(shù)天數(shù)(x)123456繁殖細菌繁殖細菌個數(shù)個數(shù)(y)

11、612254995190用所學(xué)函數(shù)看變化趨勢用所學(xué)函數(shù)看變化趨勢. (1)畫散點圖畫散點圖(2)若建立線性模型若建立線性模型 =a+bx,則得到則得到 =-56.467+34.086x,若建立指數(shù)函數(shù)模型若建立指數(shù)函數(shù)模型=menx,則得到則得到 =3.0519e0.6902x. y 回歸方程不一定惟一，該題還回歸方程不一定惟一，該題還可以用二次函數(shù)為模型可以用二次函數(shù)為模型. y y y例例2 在對人群的休閑方式的一次調(diào)查中，在對人群的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了共調(diào)查了124人，其中女性人，其中女性70人，女性中人，女性中有有43人主要的休閑方式是看電視，另外人主要的休閑方式是看電視，另

12、外27人主要的休閑方式是運動；男性中人主要的休閑方式是運動；男性中21人主人主要的休閑方式是看電視，其余男性的主要要的休閑方式是看電視，其余男性的主要休閑方式是運動休閑方式是運動. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表列聯(lián)表; (2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系,并說并說明理由明理由.是否有關(guān)系取決于是否有關(guān)系取決于K2的大小的大小. (1) 22列聯(lián)表為列聯(lián)表為看電視看電視運動運動總計總計女女432770男男213354合計合計6460124( 2) K2= = 6.2設(shè)設(shè)H1:性別與不同運動方式有關(guān)系性別與不同運動方式有關(guān)系.假設(shè)假設(shè)H0:性

13、別與不同的運動方式?jīng)]有關(guān)系，性別與不同的運動方式?jīng)]有關(guān)系，在在H0的前提下，的前提下，K2應(yīng)該很小應(yīng)該很小,而而P(K25.024)0.025.所以有所以有97.5的把握認為性別與不同的運動的把握認為性別與不同的運動方式之間有關(guān)系方式之間有關(guān)系.2()()()()()n adbcab cd ac bd2124 (43 3327 21)70 54 64 60 對判斷過程和計算方式要清楚對判斷過程和計算方式要清楚,計算計算K2時勿將時勿將(ad-bc)2中的平方運算漏掉中的平方運算漏掉. 下面是兩個變量間的一組數(shù)據(jù)：下面是兩個變量間的一組數(shù)據(jù)：x1.04.06.010.014.0y19.044.0

14、40.052.053.0(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出散點圖、直線在同一直角坐標(biāo)系中畫出散點圖、直線 =24+2.5x和曲線和曲線 = ;(2)比較所畫直線與曲線，哪一條更能表現(xiàn)比較所畫直線與曲線，哪一條更能表現(xiàn)這組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系？這組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系？(3)分別計算用直線方程與曲線方程得到在分別計算用直線方程與曲線方程得到在5個個x點處的預(yù)測值與實際預(yù)測之間的誤差，點處的預(yù)測值與實際預(yù)測之間的誤差，比較兩個誤差絕對值之和的大小比較兩個誤差絕對值之和的大小. y602xx y（1）所求作圖型如下：所求作圖型如下：(2)從圖形上看從圖形上看,曲線曲線 = 比直線比直線 =24+2.5x更能表現(xiàn)這組數(shù)

15、據(jù)間的關(guān)系更能表現(xiàn)這組數(shù)據(jù)間的關(guān)系.(3)用直線用直線 =24+2.5x近似數(shù)據(jù)時，誤差絕對值近似數(shù)據(jù)時，誤差絕對值的和為的和為27.5，用曲線，用曲線 = 時，誤差絕對時，誤差絕對值的和為值的和為12.5，比前者小得多，比前者小得多. y602xx602xx 由散點圖可比較直觀地看出更能表現(xiàn)由散點圖可比較直觀地看出更能表現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的關(guān)系的曲線，再通過比較誤差絕所給數(shù)據(jù)的關(guān)系的曲線，再通過比較誤差絕對值之和的大小，則顯得更有說服力對值之和的大小，則顯得更有說服力. y y y1.計算回歸直線方程中的參數(shù)計算回歸直線方程中的參數(shù)a、b時應(yīng)分時應(yīng)分層進行，避免因計算錯誤而產(chǎn)生誤差層進行，避免因計算

16、錯誤而產(chǎn)生誤差.2.求線性回歸方程之前，應(yīng)對數(shù)據(jù)進行線求線性回歸方程之前，應(yīng)對數(shù)據(jù)進行線性相關(guān)分析性相關(guān)分析.3.回歸分析的關(guān)鍵是根據(jù)散點圖選擇函數(shù)回歸分析的關(guān)鍵是根據(jù)散點圖選擇函數(shù)模型，用相關(guān)系數(shù)判定哪種模型更好模型，用相關(guān)系數(shù)判定哪種模型更好.4.獨立性檢驗不能用比例余數(shù)來判定，獨立性檢驗不能用比例余數(shù)來判定，a、b、c、d成比例擴大，成比例擴大，K2的值是不同的，正確的值是不同的，正確列出列出22列聯(lián)表是解題的關(guān)鍵步驟列聯(lián)表是解題的關(guān)鍵步驟.學(xué)例1 (2009遼寧卷遼寧卷)某企業(yè)有兩個分廠某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸（單生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸（單位：位：mm）的值落

17、在）的值落在29.94，30.06）的零件為優(yōu)質(zhì)品的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：得結(jié)果如下表：甲廠：甲廠： 乙廠：乙廠：分組分組頻數(shù)頻數(shù)29.86,29.90)1229.90,29.94)6329.94,29.98)8629.98,30.02)18230.02,30.06)9230.06,30.10)6130.10,30.14)4分組分組頻數(shù)頻數(shù)29.86,29.90)2929.90,29.94)7129.94,29.98)8529.98,30.02)15930.02,30.06)7630.0

18、6,30.10)6230.10,30.14)18(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率品率;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，并列聯(lián)表，并分析是否有分析是否有99%的把握認為的把握認為“兩個分廠兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.甲廠甲廠乙廠乙廠合計合計優(yōu)質(zhì)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品合計合計2()()()()()n adbcab cd ac bdP(K2k)0.050.01k3.8416.635附：附：K2= , （1）甲廠抽查的產(chǎn)品中有甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為計為 =72%