周培源力學(xué)競賽輔導(dǎo)課(扭轉(zhuǎn)和截面的幾何性質(zhì))

1、目錄目錄一 扭轉(zhuǎn)三 例題分析二 截面的幾何性質(zhì)汽車傳動軸汽車傳動軸1 1、扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的概概念念和和實(shí)實(shí)例例汽車方向盤汽車方向盤載荷特點(diǎn)：受繞軸線方載荷特點(diǎn)：受繞軸線方向力偶作用（力偶作用向力偶作用（力偶作用面平行于橫截面）面平行于橫截面）變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：橫截面繞橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動軸線轉(zhuǎn)動內(nèi)力：內(nèi)力：作用面與橫截面作用面與橫截面重合的一個力偶，稱為重合的一個力偶，稱為扭矩扭矩TT=MT = Me2 2、扭矩的計(jì)算：、扭矩的計(jì)算：截截面法面法扭矩正負(fù)規(guī)定扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)檎?+),(+),反之為反之為負(fù)負(fù)(-)(-)扭矩圖（各截

2、面扭矩的圖形表示）：橫坐扭矩圖（各截面扭矩的圖形表示）：橫坐標(biāo)表示截面位置，縱坐標(biāo)表示截面扭矩大標(biāo)表示截面位置，縱坐標(biāo)表示截面扭矩大小，例：小，例：3 3、圓軸、圓軸扭轉(zhuǎn)時扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力分布橫截面上的應(yīng)力分布pTImaxtWT 在相互垂直在相互垂直的兩個平面上，的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對切應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直等；兩者都垂直于兩個平面的交于兩個平面的交線，方向則共同線，方向則共同指向或共同背離指向或共同背離這一交線。這一交線。 各個截面上只有切應(yīng)各個截面上只有切應(yīng)力沒有正應(yīng)力的情況稱為力沒有正應(yīng)力的情況稱為純剪切純剪切切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)力互等定理：4

3、4、扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算、扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算 在切應(yīng)力的作用下，在切應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個改變量的改變，這個改變量 稱稱為切應(yīng)變。為切應(yīng)變。 當(dāng)切應(yīng)力不超過材料當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，切應(yīng)的剪切比例極限時，切應(yīng)變變 與切應(yīng)力與切應(yīng)力成正比，成正比，這個關(guān)系稱為這個關(guān)系稱為剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切彈性模量剪切彈性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性材料，三個彈性常數(shù)之間的三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系：關(guān)系：2(1)EGdxGITdp由扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式可以計(jì)算出，兩個相距dx的橫截面繞軸線的相對角位移，即相對扭轉(zhuǎn)角drad對于相距L的兩個

4、橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角可以通過積分求得：dxdllGITp0rad對于等截面圓軸，若在長度為l的某兩個截面之間的扭矩均為T，那么該兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角為pIGlTrad單位長度相對扭轉(zhuǎn)角pIGTlrad/mGVxyzWd21)d)(dd(21d2221221ddddGGVWVVv5 5、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能acddxb dy dzzxy單元體微功：單元體微功：應(yīng)變比能：應(yīng)變比能：WdVGVvVVVV2d212全桿應(yīng)變能全桿應(yīng)變能靜矩與形心位置靜矩與形心位置慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩和慣性積的平行移軸慣性矩和慣性積的平行移軸 公式公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式、截面的主慣

5、性軸慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式、截面的主慣性軸和主慣性矩和主慣性矩截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)靜矩是面積與它到軸的距離之積靜矩是面積與它到軸的距離之積。 yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyxo截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)形心形心)(:正負(fù)面積法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyxddyAxAx ASxAAy ASyAA形心坐標(biāo)xyo截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)二二 慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩：面積與它到軸的距離的平方之積。慣性矩：面積與它到軸的距離的平方之積。 AyAxAxIAyIdd2

6、2dAxyyx極慣性矩：是面積對極點(diǎn)的極慣性矩：是面積對極點(diǎn)的二次矩。二次矩。yxAIIAId2o截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)dAxyyx慣性積：面積與其到兩軸距離之積。慣性積：面積與其到兩軸距離之積。AxyAxyIdo如果 或 是圖形的對稱軸，則xy0 xyI截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)三、三、 慣性矩和慣性積的平行移軸定理慣性矩和慣性積的平行移軸定理平行移軸公式：平行移軸公式：CCybyxax以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸如圖的坐標(biāo)軸如圖2xxcIIb AdAxyyxabCxCyCo2yycIIa A注意注意: C點(diǎn)必須為形心點(diǎn)必須為形心截面的幾何

7、性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)四四 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 截面的主截面的主慣性軸和主慣性矩慣性軸和主慣性矩cossinsincos11yxyyxx慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxx1y1x1y11cos2sin222xyxyxxyIIIIIIo2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：主慣性軸和主慣性矩：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到= 0 時；恰好有0)2cos2sin2(0000 xy

8、yxyxIIII 與 0 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x0 y0 稱為主慣性軸；平面圖形對主慣性軸之慣性矩稱為主慣性矩。22)2(2 00 xyyxyxyxIIIIIII主慣性矩：02tg2xyxyIII 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 2.形心主軸和形心主慣性矩：形心主軸和形心主慣性矩： 主慣性軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩yCxCyCxCIII22tg022)2(200 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主慣性矩：3.求截面形心主慣性矩的方法求截面形心主慣性矩的方法 建立坐標(biāo)系 計(jì)算面積和面積矩 求形心位置 建立形心坐標(biāo)系；求：IyC ， IxC ，

9、 IxCyC 求形心主軸方向 0 求形心主慣性矩AAyASyAAxASxiixiiy22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)例一：圖示兩端固定的圓截面桿，其AB段為實(shí)心，BC段為空心。兩段桿材料相同，在桿的截面處作用力偶矩M，在線彈性條件下，當(dāng)許用力偶矩M達(dá)到最大值是，兩段長度比為多少。例題分析例題分析CAMMM1、平衡方程2、位移協(xié)調(diào)方程MAMC21120CAppM lM lGIGI解得：1 21 22 12 11 22 1pApppCppI l MMI lIlIl MMI lIl 例題分析例題分析解：MA

10、MC3、應(yīng)力分析2BCmax1ABmaxWMWMCA4、最大M條件ABmaxBCmax=16)1 (32)1 (16324314413141DWDIDWDIPP，21ll 例題分析例題分析例題分析例題分析例二：從受外力偶矩T作用的圓軸中，用橫截面ABE，CDF和通過軸線的水平縱截面ABCD截出桿的一部分，截出部分長為l，如圖a所示，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，水平縱截面ABCD上的切應(yīng)力如圖b所示。1、試證水平縱截面ABCD上切應(yīng)力所構(gòu)成的合力偶矩大小為2、試分析水平縱截面切應(yīng)力所構(gòu)成的合力偶與桿件上的什么力偶平衡RTl/34解：解：pIT23244RDIp微面積lddA微面積上的合力為dAydMdA

11、232433RRyRRPpTlTlRTlMdAdIIR例題分析例題分析由圖d可知，在DCF面上距圓心為的任一點(diǎn)切應(yīng)力沿y和z軸的分量為 和 。分量 關(guān)于y軸反對稱，故其合力為零，其合力矩與ABE面上由 形成的合力矩平衡。分量 將合成一個合力和合力矩，其合力矩與ABE面上 的合力矩平衡，其合力與ABE上的合力形成對y軸的一個力偶與水平縱截面上切應(yīng)力所構(gòu)成的合力偶平衡。 yzyyzz例題分析例題分析43yzyTlMF lMR 同理在ABE面上會形成一反方向的合力，大小同 ，兩者的合力偶為zF例題分析例題分析dddAdFzsinsin00200sin4sin3RzRpFddTddIR 例題分析例題分

12、析例三：某宇航員在太空飛行的空閑時間，仔細(xì)地從一塊均質(zhì)圓板上裁出半個太極圖形，并建立了與圖形固結(jié)的坐標(biāo)系 ，如圖所示。他發(fā)現(xiàn)，該圖形雖然不對稱，但仍具有很漂亮的幾何性質(zhì)： ，并隨意將 繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動 角，得到新坐系 ，仍有 ，試證明他的結(jié)論。xyOxzIIxzIIxzOx zO 證明：半圓半太極AxzAxAzxzdAIdAzIdAxI , 22，因?yàn)閦軸為半圓的對稱軸，可知III+=0 xzxzxzIIIcircleIII+2xxxxIIIIcircleIII+=2zzzzIIII分析半圓例題分析例題分析circlecirclexzII又xzII所以：分析半太極IIIII+xxxIIIIIIII+

13、zzzIII因?yàn)镮IIIIIIIIIII=xxzzxzxzIIIIII，故同樣：xzII半太極0 xzIIIIII+xzxzxzIII例題分析例題分析cos2sin222xzxzxxzxIIIIIIIcos2sin222xzxzzxzxIIIIIIIxzII0 xzI證畢。例題分析例題分析例題分析例題分析例四：為傳遞扭矩 ，將一實(shí)心圓軸與一空心圓軸以緊配合的方式連接在一起，如圖所示。設(shè)兩軸間均勻分布的配合壓強(qiáng)為 ，摩擦系數(shù)為 ，實(shí)心軸直徑為 ，空心軸外徑為 ，連接段長度 均為已知，且兩軸材料相同。試分析：（1）兩軸在連接段全部發(fā)生相對滑動時的臨界扭矩（2）設(shè)內(nèi)外軸受扭初始扭矩為零，當(dāng)傳遞扭矩從

14、零增加到 時，兩軸間的扭矩值。TpfdDlcrT)(crTTT解： （1）相對滑動，兩軸間單位長度上摩擦力對實(shí)心圓軸軸線的力偶矩222pdfddpfm222200lpdfdxpdfmdxTllcr例題分析例題分析例題分析例題分析Tllm)(212mlTBCt1mlTBCsptBCtGIlml32psBCsGIlml31BCsBCtpsptGImlGIml12)()(1ptpspscrptpspsIIITTlIImTIl)()(2ptpsptcrptpsptIIITTlIImTIl（1）（2）由（1）和（2）例題分析例題分析例五：一變厚度薄壁圓管如圖所示，在兩端承受力偶矩 作用。已知管長為 ，平均半徑為 ，最小壁厚為 ，最大壁厚為 ，壁厚 隨 呈線性變化，管材料的切變模量為 。試求方位角為 處的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 與圓管兩端相對轉(zhuǎn)角 。Ml0