D85復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法ppt課件

1、作業(yè)講評作業(yè)講評,ax byzax by機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 8(2)22b axbyb axbyaxbyaxbyzyaxby22a axbya axbyaxbyaxbyzxaxby1322()()aby axbyaxby 求dz.解解:3()()2()b axbyaxbyaxbyaxby1322()()abx axbyaxby1322()()()dzab axbyaxbyxdyydx3()()2()a axbyaxbyaxbyaxby12313.632(m )機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 精確值是V, 近似值是|dV|.5 4 3(50.4) (40.4) (30.2)V

2、 dxyzVVxVyVz 用某種材料做一個開口長方體容器,其外形長5m,寬4m, 高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值與精確值.yz xzx yxy z 4 3 ( 0.4)3 5 ( 0.4)5 4 ( 0.2) 314.8(m )解解: 設體積為V (m3), 長寬高各為x, y, z (m),.Vxyz5,4,3,0.4,0.4,0.2xyzxyz 注意注意: 正確使用各種記號正確使用各種記號.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 取值, .,.,.xyxydz ( )xzfy1( )xxxxzfffyy2( )yyyxxzfffyy ( )xffy1.求給定點和自變量增量的全微分時,先

3、聲明這些否則應用記號2.表示z對 的導數(shù).xy就可以用dz等表示全微分. 第八章 第五節(jié)復合函數(shù)和隱函數(shù)微分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一. 復合函數(shù)微分法二. 隱函數(shù)微分法本節(jié)的教學要求本節(jié)的教學要求 熟練掌握多元復合函數(shù)微分法 了解全微分形式不變性 掌握多元隱函數(shù)微分法重點重點機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 難點難點( (一一) )復合函數(shù)的微分法復合函數(shù)的微分法設 ( , ),( , )zfx yx y是x,y的復合函數(shù). 那么22sin()xyzexy這是函數(shù)和中間變量均是二元函數(shù)的一般情況,sinuzev它的結構圖或變量關系圖是: 可看成是由( , ),( , ),(

4、, )zf u vux yvx y機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 如函數(shù)如函數(shù)復合而成.uxzvy22,uxyvxy和注意注意: 畫出函數(shù)結構圖對畫出函數(shù)結構圖對于于多元復合函數(shù)求導很有幫助.因變量自變量機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,uuvvxyxy如果函數(shù) ( , ),( , )ux yvx y且在對應于(x,y)的則復合函數(shù) ( , )zf u v在點(x,y)對x及y的偏導數(shù)存在, 函數(shù)定理定理8.3 的偏導數(shù)都存在,點(u,v)處,可微可微,( ( , ),( , )zfx yx y且,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y uxzvy多元復合函數(shù)求導法則也稱為鏈

5、式法則.特別地, 假如 ( , ),( ),( ),zf u v uxvxdzz duz dvdxu dxv dx這時, z對x 的導數(shù)稱為全導數(shù), 即 ( , ),( ),zf x yyx ( ),( ).zfxx , ( )zf xx假如 的全導數(shù)為 則z就是x的一元函數(shù) dzzz dydxxy dx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則函數(shù)uzxvxzxy例例1 求22,uxy vxysin ,cosuuzzevevuv,2 ,2uuvvyxxyxyxyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y sinuzev機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解:sin2cosuuxevyev而

6、sin2cosuuyevxev2222 sin()2 cos()xyexxyyxyuxzvy,.zzxy2222 sin()2 cos()xyeyxyxxy例例2 設223,42 ,uxyvxy1,lnvvzzv uuuuv的偏導數(shù)。 6 ,2 ,4,2uuvvxyxyxy224216 (42 )(3)xyxxyxy16ln4vvzv uxuux 12ln2vvzv uyuuy2242(3)xyzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .vzu解解:224212 (42 )(3)xyyxyxy求那么可得2242224(3)ln(3)xyxyxy2242222(3)ln(3)xyxyxyuxzv

7、y例例3 sin ,cos ,ux vx3222,3zzuvu vuv求 cos ,sindudvxxdxdx 3222cos3sinuvxu vxdzz duz dvdxu dxv dx23,zu v機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解:3222sincoscos3sincossinxxxxxx222sincos(2cos3sin)xxxx而.dzdxuzxv課堂練習課堂練習機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 2ln ,32 ,xzuvuvxyy而解解:2 lnzuvu21,3,2uuxvvxyyyxy ,.zzxy212 ln3zzuzvuuvxuxv xyv 222 ln()(

8、 2)zzuzvxuuvyuyv yyv 223222ln(32 )(32 )xxxyyyxy 2zuvv求uxzvy22223ln(32 )(32 )xxxyyyxy2.dzz dxz dydtx dty dt221( 2)ttyeexx 22211( 2)ttttteeeee ().ttee 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2,1,ttyzxeyex 而求.dzdt解解:xzty例例4 4,.xxxxyzzz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,zxyu設( , )ux y其中()()xxxxxxxxzzyuu 具有二階連續(xù)偏導xxzyu()()1xyxyxyxyzzyuu 數(shù)，求解解

9、:xxzyyuxxyyzux注意注意: 認為抽象函數(shù)的偏導數(shù)的結構同原函數(shù)的結構認為抽象函數(shù)的偏導數(shù)的結構同原函數(shù)的結構.例例5 求( , ),vx yzffxxvx xvxffzfyvy ( , ),zf x v機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解:而vyfxxzvy,.zzxy其中 都具有連續(xù)的偏導數(shù),這里,zx表示復合后 ,( , )zf xx y對x的偏導數(shù);fx表示復合前( , )zf x v(v為“常數(shù)”) , f對x的偏導數(shù).22222( , )( , )( , ),uuuvvvf u vf u vf u vfffuu vv 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注意：注意：(

10、 , )( , ),uvf u vf u vffuv各階偏導數(shù)時, 在求多元函數(shù)的偏導數(shù)， 特別是抽象函數(shù)的經(jīng)常利用下面簡便的記法：復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導”uzxvxxvxzffvyvyzfv( , ),( , )zf x v vx yxxzvydzz duz dvdxu dxv dx( , )zf u v( ),( )uu x vv x“理清結構, 找齊鏈路”例例6 6 設機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2(),2yzxyx 為可微的函數(shù),22302zzxxyyxy證證:22( ),2zyyuxx 因所以222223130222zzxxyyy

11、yyxy ( ),zyxuyx求證：設uxy例例7 7機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2.zx y 其中f 具有二階連續(xù)偏( , , ),yzf u x yuxe解解: yuxuxzuffe ffxx,uxff注意到 仍是u, x, y的函數(shù)，yuxe2()yuxze ffx yy 所以 2yyyyuuuuyxuxye fxefe fxe ff設導數(shù), 求且uxzxyy,uxff()yyuuuuyxuxyuue feffffyy例例8 求22223()()vvvvvvxxxxxffffyyyyy ,( , )xvzyf x vy2()vvvzfvxxfyfyffyfffyyyyy22()(

12、)vvzxfxfffyyyyy y2vvvvvxxvfffyyyy( ,),xzyf xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解:設xxfvy222,.zzx yy 其中f 具有二階連續(xù)偏導數(shù),令vxxfvy111()xvvvxvvxfffffyyyy,vzxffyy22()()vzzzxffx yy xxyxy 1()xvvvxvvvxvfffffxyyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2xvxvvxxfffyyxxfvyvxxfvy2223vvzxfyy,xvy.練習練習( , , ),yzf u x yuxe其中f 具有二階連續(xù)偏導數(shù),解解:,yuxzfefx2222,.zzxy2

13、2()()yuuuxxuxxzuuffeffxxx,uxyfff22()yyuuuyuyuyyzuuffxef xeffyyy22yyuuuxxxefe ff222yyyuuuuyyyxe fx efxe ff()yyyyuuuyuyuyyf xefxef xef xef機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè) P364 13(3)(4); 14(2); 15(2)求uzxxyy()xuuxffyuyzfxefy()yuuyff作業(yè)講評作業(yè)講評(1) ,yzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 5(3)ln(1)yxyyzey21(1) (1)yyxzxyyxyx(1) ln(1)1yx

14、yxyxyxy求解解:ln(1)ln(1)1yxyxexyyxy211111(1)1yxxxyyzyxy1111(1) ln(1)12ln21yxyyxyxyzxyxyxy 1111,.xxxyyyzz（二全微分形式的不變性（二全微分形式的不變性當u, v是x, y的可微函數(shù) ( , ),( , )ux yvx y( ( , ), ( , )zf u x yv x y機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的全微分為 zzdzdudvuv( , )zf u v當u, v為自變量時, 其全微分 復合函數(shù) 由全微分定義和復合函數(shù)微分法可求得, 所以設可微,時,zzdzdxdyxy,zzuzvzzuzv

15、xuxvxyuyvy而()()zuzvzuzvdxdzdyuxvxuyvy()()zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv這表明,zzdzdudvuv對于函數(shù) ( , ),zf u v機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 還是自變量, 致性, 稱為全微分形式不變性. 無論u, v是中間變量這一形式上的一其全微分形式一樣.利用全微分形式不變性可以通過求微分過程的細化先求出函數(shù)的全微分, 后求出函數(shù)的偏導數(shù).例例9 設設 22(),xyzxye利用全微分形式不變性, 解解:,.zzxy222222()()()xyxyxydzd xyee d xyxyde機動 目錄 上頁 下頁 返回

16、完畢 2222()()()xyxyedxdyxye d xy22(22)()()xyxyexdxydyxyeydxxdy23(2)xyzexx yyx32( 2)xyzeyxxyy2332(2)( 2)xyxyexx yydxeyxxydy由此可得求例例10 設設 22,ln,arctan,vyzu uxyvx解解:.dz122lnlnarctanvvyvudxyuudx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 12222211ln( )1 ( )vvyvudxyuudyxxyx21222222211ln()vvxdxydyxyvuuudxdyxyxxxyxy1lnvvdzvuduuudv1122(

17、ln )(ln )vuu vxyu dxu vyxu dyxy122()ln ()vuu v xdxydyuydxxdyxy求（三隱函數(shù)的微分法（三隱函數(shù)的微分法1) 在什么條件下才能確定隱函數(shù) y = f (x) .( , )0F x y 2) 在能確定隱函數(shù)時, 函數(shù)y = f (x)的連續(xù)性、可微性及求導方法如何 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 用多元復合函數(shù)微分法研究方程 例如, 方程02Cyx當 C 0 時, 不能確定隱函數(shù);一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程( ,

18、 )0F x y 單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連ddxyFyxF (隱函數(shù)求導公式)(證明略) 具有連續(xù)的偏導數(shù);在點x0的某鄰域內可唯一確定一個在點的某一鄰域內00(,)0yFxy滿足條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 續(xù)導數(shù)滿足0)(,(xfxF兩邊對 x 求導數(shù)0ddxyyFxFddxyFyxF 0yF ,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設yxFxfy在),(00yx的某鄰域內那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 求導公式推導如下：xxFy例例10 求方程求方程 0yyxex確定的函數(shù)( )yf x( , ),yF x yyxex解解:1,1yyFF

19、exexy 1111yyyydyeedxxexe 那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的導數(shù).利用隱函數(shù)求導公式也可利用隱函數(shù)求導法直接用復合函數(shù)求導法方程兩邊對x求導得10,yydydyexedxdx 11yydyedxxe 設兩種方法不同, 前者F對x求偏導數(shù)時y是“常數(shù)”, 后者對x求導時y是x的復合函數(shù).注意注意:ddxyFyxF 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxF,yxzzFFzzxFyF 的某鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù) ,則方程( , , )0F x y z 在點),(00yx并有連續(xù)偏導數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù) z =

20、f (x , y) , (證明略)滿足0),(000zyxF000(,)0zF xy z 在點滿足:某一鄰域內可唯一確機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導數(shù)xFxzFzxF yzFzyF 同樣可得( , )zf x y那么zFxz0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 求導公式推導如下:xxFyyz000(,)0zxyzF在的某鄰域內設( , , )0F x y z 是方程所確定的隱函數(shù),例例11 求方程求方程2222221xyzabc解解:( , )zf x y222222,FxFyFzxaybzc222222( , , )1,xyzF x y zab

21、c2222222222,22xyzc xzc yabzzxa zyb zcc 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的偏導數(shù). 所確定的函數(shù)設則由可得注意注意: 雖然此例中方程確定兩個不同的函數(shù)雖然此例中方程確定兩個不同的函數(shù) 22221,xyzcab 但在其可導區(qū)域內, 導數(shù)相同.利用隱函數(shù)求導公式,yxzzFFzzxFyF 例例12 設設,04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導法利用隱函數(shù)求導法直接用復合函數(shù)求導法直接用復合函數(shù)求導法0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機動 目錄 上頁 下頁

22、 返回 完畢 再對 x 求導解法解法2 利用隱函數(shù)求導公式利用隱函數(shù)求導公式設zzyxzyxF4),(222那么2 ,xFx xzFzxF 兩邊對 x 求偏導數(shù))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx224zFz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zxFFxz xz例例13 設F(x, y)具有連續(xù)偏導數(shù), 0),(zyzxF.dz求解解:是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz那么)()(22

23、21zyzxFF 已知方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故解法解法1 利用隱函數(shù)求導公式利用隱函數(shù)求導公式.12xxFzyy對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 2 利用微分形式不變利用微分形式不變性性. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 課堂練習課堂練習機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2sin0,xyexy求.dydx1.解解:設2( , )sin,xF x yyexy2,cos2xxyFeyFyxy2c

24、os2xxyFdyyedxFyxy (一) 利用隱函數(shù)求導公式(二) 利用復合函數(shù)求導法22cos20,cos2xxyeyyeyxyyyyxy(三) 利用微分形式不變性2cos20,xydye dxy dxxydy2cos2xdyyedxyxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2.,zexyz求,.zzxy解解:設( , , ),zF x y zexyz,zxyzFyzFxzFexy ,xxyzzzFyzxzzzFexyexy (一) 利用隱函數(shù)求導公式(二) 利用復合函數(shù)求導法()() ,zxxexyz,zxxe zyzxyzxzyzzexy ()() ,zyyexyz,zyye zxzx

25、yzyzxzzexy 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2.,zexyz求,.zzxy解解:,ze dzyzdxxzdyxydz()zexy dzyzdxxzdyzzyzxzdzdxdyexyexy(三) 利用微分形式不變性xzyzzexy yzxzzexy 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3.( , , )uf x y z有連續(xù)偏導數(shù), 且xyzxeyeze解解:(1)(1)(1),xyzxe dxye dyze dz(1)(1),(1)xyzxe dxye dydzzefffdudxdydzxyz設函數(shù)( , )zz x y由方程所確定, 求du.(1)(1),(1)xyzfffxe

26、 dxye dydxdyxyzze(1)(1).(1)(1)xyzzffxeffyedxdyxz zeyzze用微分形式不變性內容小結內容小結機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(duvyxyx“理清結構, 找齊鏈路”機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè) P365 16(1)(2)(5)(6); 17(1); 18(1) 3. 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)求導方法方法1. 利用復合函數(shù)求導法直接計算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代隱函數(shù)求導公式隱函數(shù)存在定理方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ)