幾何證明的好方法——截長補短

1、幾何證明的好方法一一截長補短有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差” 及其比例關系。這一類題目一般可以采取“截長”或“補短”的方法 來進行求解。所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二, 使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的 另一段的大小關系。所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延 長至與另一個已知的較短的長度相等。然后求出延長后的線段與最長 的已知線段的關系。有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三 角形進行求解。截長法：(1) 過某一點作長邊的垂線(2) 在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短法(1)

2、延長短邊。(2) 通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。幾種截長補短解題法類型我們大致可把截長補短分為下面幾種類型;類型a±b二c類型a±b=kc類型旦C類型c2 =a b對于類型，可采取直接截長或補短，繞后進行證明?；蛘呋癁?類型證明。對于，可以將a±b與c構建在一個三角形中，然后證明這個 三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個角為 30°的直角三角形等。對于類型，一般將截長或補短后的a±b與c構建在一個三角 形中，與類型相同。實際上是求類型中的k值。對于類型，將c2二ab化為£二纟的形式，然后通過相似三角形的 a c

3、比例關系進行證明。在證明相似三角形的過程中，可能會用到截長或 補短的方法。在正方形ABCD中，DE二DF, DG丄CE,交CA于G, GH丄AF,交AD于P,交CE延長線于H,請問三條粗線DG, GH, CH的數(shù)量關系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）BM A例題不詳解。(第2頁題目答案見第3、4頁)(1)正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，上EAF二45。求證：EF二DE+BF(1)變形a正方形ABCD中，點E在CD延長線上，點F在BC延長線上，ZEAF二45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關系(1)變形bF正方形ABCD中，點E在DC延長線上，點F在CB延長線上，zE

4、AF二45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關系(1)變形c正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F(xiàn) 在 AC 上上EDF=45° °DB二DC, zBDC=120。請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關系(1)變形d正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，ZEAD=15 ZFAB=30 %ADp求aAEF的面積(1)解：(簡單思路)延長CD到點G,使得DG二BF,連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ZADG 二 ZABF 二 90AD=AB又 DG=BF所以 ADG= aABF (SAS)ZGAD二zFABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得Z DAB=90&

5、quot; = z DAF+ z FAB= /DAF+zGAD=zGAF 所以 ZGAE=ZGAF-ZEAF =90 “ 一45 “ =45。ZGAE=ZFAE=45"又 AG=AFAE=AE所以 EAG= aEAF (SAS)EF二GE二GD+DE二BF+DE變形a解：（簡單思路）EF= BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF,連接AG。由四邊形ABCD是正方形得zADE=zABG=90"AD=AB又 DE=BG所以 ADE= aABG (SAS)ZEAD=/GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得z DAB=90。二 z DAG+ z GAB二 ZDAG+ZEAD

6、二 zGAE 所以 zGAF=zGAE-zEAF =90 ° -45 “ =45 °ZGAF=ZEAF=45"又 AG=AEAF=AF所以 EAF= aGAF (SAS)EF=GF=BF-BG=BF-DE變形b解：(簡單思路)EF二DE-BF在DC上截取DG,使得DG=BF,連接AG。由四邊形ABCD是正方形得zADG=zABF=90"AD=AB又 DG=BF所以 ADG= aABF (SAS)ZGAD二zFABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得Z DAB=90" = Z DAG+ Z GAB二 ZBAF+ZGAB 二 ZGAF所以 zGAE

7、=zGAF-zEAF=90" -45" =45"ZGAE=ZFAE=45"又 AG=AFAE=AE所以 EAG= aEAF (SAS)EF二EG二ED-GD二DE-BF變形c解：（簡單思路）EF二BE+FC延長AC到點G,使得CG二BE,連接DG。由 ABC是正三角形得zABC=zACB=60"又 DB二DC, ZBDC=12O<,所以 ZDBC 二 ZDCB 二 30。Z DBE 二 z ABC+ Z DBC 二 60" +30 °=9Q °Z ACD= z ACB+ z DCB=60" +30。

8、二 90 “所以 ZGCD=180" -Z ACD=90 °ZDBE=/DCG=9O°又 DB=DC, BE=CG所以 DBE= ADCG (SAS)ZEDB 二 zGDCDE=DG又 ZDBC=12O° = ZEDB+ZEDC二 ZGDC+ZEDC 二 ZEDG所以 ZGDF=ZEDG-ZEDF二120。-60。二60"zGDF=zEDF=60"又 DG=DEDF=DF所以AGDF= AEDF (SAS)EF二GF二CG+FC二BE+FC變形d解：（簡單思路）E延長CD到點G,使得DG二BF,連接AG。 過E作EH丄AG.前面如（1

9、）所證， aADG= aABF, aEAG= aEAFZ GAD= Z FAB=30", S EAG=S A EAF在 RtAADG 中，/GAD二30”，AD#ZAGD=60 AG=2設 EH=x在RtAEGH中和RtAEHA中ZAGD=60 /HAE二45"HG二AH二x3AG二2二HG+AH二也x+x, EH二x=3-厲3S EAF 二 S a EAG 二 EH x AG 一 2二3-點(第5頁題目答案見第6頁)正方形ABCD中，對角線AC與BD交于0,點E在BD上，AE平分zDACo求證：AC/2二AD-E0(2)加強版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長線上

10、，CM二AN,點E在BD上,NE 平分 zDNMo請問MN、AD、EF有什么數(shù)量關系(2)解：(簡單思路)過E作EG丄AD于G因為四邊形ABCD是正方形ZADC=9O BD 平分 zADC, AC丄BD所以 ZADB 二 ZADC/2 二 45。因為AE平分ZDAC, E0丄AC, EG丄AD所以 zEA0=/EAG,zDGE=zA0E=zAGE=90° 又 AE=AE,所以 AAE0= aAEG (AAS)所以 AG=AO, EO=EG又zADB二45', zDGE二90°所以aDGE為等腰直角三角形DG=EG=E0AD-DG=AD-E0=AG=A0=AC/2(2

11、)加強版解：(簡單思路)MN/2二AD-EF過E作EG丄AD于G,作EQ丄AB于Q,過B做BP1MN于P按照(2)的解法，可求證，AGNE= aFNE (AAS)adge為等腰直角三角形AG二AD-DG二AD-EF,因為四邊形ABCD為正方形，ZABC=zGAQ=zBCM二90 "BD 平分 ZABC, BC=BAZ ABD= z ABC/2=45 "，又 Z EQB 二 90 "A EQB為等腰Rt三角形，ZBEQ二45" 因為 Z GAQ= z EGA= z EQA=90。所以四邊形AGEQ為矩形,UJV 上aLL8 蟲祭中UUQVKW WQN Y0

12、CI7 NW OSHiQN 0 s as wua GUQH o 80 § aov7U0V7 0wvw 0W.VWCQWVW awvw8 00 09HV7 08 w y lbw aw嚀.VWI4IZOIM + QM)Llw I "Gw §7?g/vvw嚀嚀VWBWLWJQWCNua UQ ua is s 4<J ONNW NVON NW8z>J 8 + 5 8 + 5 8 + 5 嗎嚀 乂乂 : od od ud ud Hd Uly OQ創(chuàng) cd02d s s Op JyUIV OQud u<luBBD【例3】如圖所示，AA3C是邊長為1的正三角形，MDC是頂角為120°的 等腰三角形，以D為頂點作一個60°的ZMDN,點M、N分別在 AB、 AC上，求的周長板塊二、全等與角度【例7 如圖，在A43C中，ZE4C = 60° , M）是ABAC的平分線，且AC = AB + BD9 求 ZABC 的度數(shù)由已知條件可以想到將折線血“拉直”成AE,利用角平分線AD可