數(shù)列常見題型總結(jié)經(jīng)典

1、S (n 1)Sn Sn 1 (n 2)2n ,求數(shù)列| an |的前n項和Tn12n ,求數(shù)列| an |的前n項和Tn高中數(shù)學(xué)數(shù)列常見、?？碱}型總結(jié)題型一數(shù)列通項公式的求法1.前n項和法(知Sn求an) an例1、已知數(shù)列an的前n項和Sn 12n 變式：已知數(shù)列an的前n項和Sn n2 練習(xí)：6、已知Sn為等比數(shù)列an前n項和，Sn 54, S2n 60 ,則S3n .一1、若數(shù)列an的前n項和Sn2n ,求該數(shù)列的通項公式。答案:an2、若數(shù)列an的前n項和Sn-an 3,求該數(shù)列的通項公式。答案: 23、設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn ,數(shù)列Sn的前n項和為Tn,滿足Tn2 (n 1)2

2、n 1 (n 2)an 2 3n2Sn n2,求數(shù)列an的通項公式。4.Sn 為 an的前 n 項和，Sn=3 ( an 1),求 an (nCN+)2n-15、設(shè)數(shù)列 an滿足a13a2 3 a3+3 ann(n N ),求數(shù)列 an的通項公式(作差法) 32.形如an 1 an f(n)型(累加法)(1)若f(n)為常數(shù)，即：an 1 and,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則(2)若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.例1.已知數(shù)列 an滿足a11,an3n 1 an 1(n 2),證明an例2.已知數(shù)列 an的首項為1,且an1 an 2n(n N )寫出數(shù)列an =a1 (n 1)d .n312an

3、的通項公式.例3.已知數(shù)列an滿足a13, an an 11(n n(n 1)2),求此數(shù)列的通項公式.3,形如包anf(n)型(累乘法)(1)當(dāng)f(n)為常數(shù)，即:(2)當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時例1、在數(shù)列an中a11 q (其中 an，用累乘法.d n1,an ann 1q是不為0的常數(shù))，此數(shù)列為等比且 an = a1(n 2),求數(shù)列的通項公式。答案：an練習(xí):n 1,21、在數(shù)列an中 a1 1,an an 1 (n 2), 求 a n tf Sn o 案：a nn 1n(n 1)2、求數(shù)列a1 1,anInn-an 1(n 2)的通項公式。4,形如an -pan型(取倒數(shù)法)ran

4、1 sa例1.已知數(shù)列an中，a1 2, an-n-(n 2),求通項公式an2an1 1a1練習(xí)：1、右數(shù)列an中，a11,an1 ，求通項公式an.答案：an 3an 13n 22、若數(shù)列an中，a11,an 1 an 2anani,求通項公式an.答案:12n 15.形如ani can d，(c。，其中4 a)型(構(gòu)造新的等比數(shù)列)(1)若c=1時，數(shù)列 an為等差數(shù)列；(2)若d=0時，數(shù)列 an為等比數(shù)列；(3)若c 1且d 0時，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求 方法如下：設(shè)an1 A c(an A)，利用待定系數(shù)法求出 A1 1例1.已知數(shù)列an中，

5、a1 2, an 1 an ,求通項an.2 2練習(xí)：1、若數(shù)列an中，a12 ,an12an1,求通項公式an。答案：a2n 11222、右數(shù)列an中，a1 1, an 1 an 1,求通項公式an。答案：an 3 2 ()336.形如an 1 pan f(n)型(構(gòu)造新的等比數(shù)列)0),則后面待定系數(shù)法也用一次函數(shù)。若f(n) kn b 一次函數(shù)(k,b是常數(shù)，且k 3例題.在數(shù)列an中，a1 一，20n 斗1 6n 3,求通項an. 2解：原遞推式可化為 2(an kn b) an 1 k(n 1) b比較系數(shù)可得：k=-6,b=9,上式即為2bn bn 191所以bn是一個等比數(shù)列，首

6、項 b1 a1 6n 9 ,公比為一.229.an911n1nbn (一)即：an 6n 9 9 (一)n,故 an 9 (-)n 6n2222練習(xí)：1、已知數(shù)列an中，a1 3, an1 3an 4n 2,求通項公式(2)若f(n) qn(其中q是常數(shù)，且n 0,1)若p=1時，即：an 1 an qn,累加即可若p 1時，即：an 1 pan兩邊同除以qn 1 .即：a4 qqn,后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。E包 1n ,q q qa令bn 七，則可化為bn 1 - bn 1 .然后轉(zhuǎn)化為類型5來解， qq q 2例1.在數(shù)列3n中，a一，且an2an 1 3n 1 (n N) 求通項公

7、式an52n17 3n 13 2n1、已知數(shù)列an中，a12an an 1 (；)n ,求通項公式an。答案：an2、已知數(shù)列an中，a1 1 , an 1 3an 3 2n，求通項公式an。答案：an題型二根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解(整體思想)1、已知Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，a6 100 ,則S11 ；2、設(shè)Sn、Tn分別是等差數(shù)列an、an的前n項和，一-,則自5.Tnn 3b53、設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若至 今則等 ()a3 9S55、在正項等比數(shù)列 an 中，a1a5 2a3a5 a3a7 25 ,則 a3 a5 。7、在等差數(shù)列an中，若S41, Sg4,則a”a18 a1

8、9 a20的值為（）8、在等比數(shù)列中，已知 a9 a10 a（a 0）a19a20 b ，則a99闞00題型三：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列A）證明數(shù)列等差例1、已知數(shù)列an的前n項和為且滿足an+2sl - Sn 1=0(n>2),a1二1.求證：1是等差數(shù)列; 2SnB）證明數(shù)列等比例1、已知數(shù)列an滿足 a11,a23, an 23an 1 2an(n*N ).證明：數(shù)列an 1an是等比數(shù)列;求數(shù)列 an的通項公式;題型四：求數(shù)列的前n項和基本方法：A）公式法,B）分組求和法1、求數(shù)列2 n2n 3的前n項和Sn.2.Sn 1 3(1)n(2n 1)3.若數(shù)列an的通項公式是an =

9、 ( 1)n (3n2),則 a1+a2+ a1o = (A. 154.求數(shù)列1, 2+ ,2B.3+1412 C. 12八114+-，n -82n 1D. 155.已知數(shù)列an是 3+2 1,6+22 1,9 + 23 1,12 + 241,，寫出數(shù)列an的通項公式并求其前 n項和Sn.C）裂項相消法,數(shù)列的常見拆項有:1 n(n1 11()；k) k n n k7n 1 品；例1、求和:1S=1+ 1例2、求和:1.3、2D）倒序相加法,例、設(shè)f （x）2x1 x2，求：f （木）f (2X109)f©)E）錯位相減法,1、若數(shù)列an n的通項an(2n 1) 3n,求此數(shù)列的前

10、n項和2.Sn 1 2x3x2 Lnnx(x 0)（將分為x題型五：數(shù)列單調(diào)性最值問題例1、數(shù)列an中，an 2n49,當(dāng)數(shù)列n.f(i)f(2)Sn.f (2009)f(2010).1和x 1兩種情況考慮）an的前n項和Sn取得最小值時，n例2、已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和,a1 25, & 16.當(dāng)n為何值時，Sn取得最大值;例3、設(shè)數(shù)列 an的前n項和為Sn .已知a1 an一*,an 1Sn3 , n N .（I）設(shè)bnSn3n,求數(shù)列bn的通項公式；（n ）若an1 2 an,nN* ,求a的取值范圍.題型六：總結(jié)規(guī)律題5a 21 .已知數(shù)列 an滿足an n(n 2,n

11、 N ),且an前2014項的和為403,則數(shù)列an an 1的前2014 an 15項的和為?2.數(shù)列an滿足an+（1）n an =2n-1,則an的前60項和為?常見練習(xí)1.方程x2 6x4 0的兩根的等比中項是B.2C.D.2、已知等比數(shù)列an的前三項依次為1,n34 2n2B. 4 3C.D.3. 一個有限項的等差數(shù)列,前4項之和為B. 1440,最后C. 164項之和是80,所有項之和是D. 18210,則此數(shù)列的項數(shù)為（）4. an是等差數(shù)列，S100S0,則使a0的最小的n值是（）B. 6C. 7D. _225. 右數(shù)列 1,2cos ,2 cos33,2 cos,LL，前10

12、0項之和為0,的值為（A. k -(k Z) B.32k -(k3Z) C. 2k 3(kZ)D.以上的答案均不對6.設(shè) 2a=3,2b=6,2c=12，則數(shù)列 a,b,c成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7.如果等差數(shù)列 an中，a3 a4a5 12,那么a7(A) 14(B)21(C)28(D) 358.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn則a的值為（(A) 15(B) 37(C) 27(D)649.設(shè)等比數(shù)列an的公比Sn ,則 S4a2A. 2B. 410.設(shè)Sn為等比數(shù)列 an的前n項和，已知3S3 a43S2a3 2 ,則公比q (A) 3(B) 4(C) 5(D) 611.

13、已知an是等比數(shù)列，a2 2 , a5a2a3 Lanan 1(C. 16(1n32n.2 ) D.(1 4 )332 nnA.小1 2 ) B. 16(1 4 )12.若數(shù)列an的通項公式是an ( 1)n(3n 2),則 aa?a20()(A) 30(B) 29(C) -30(D) -2913.已知等比數(shù)列an滿足an0,n1,2,La522n(n 3)則當(dāng)n 1時，log 2 ai 10g2 a3 Llog2 a2n1(A. n(2n 1)B.(n 1)2C.D.(n 1)214.巳知函數(shù)f(x) cosx, x (0,2 )有兩個不同的零點X1，X2,且方程f (x) m有兩個不同的實

14、根 X3, X4.若把這四個數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實數(shù)m的值為()A.B.C.V3TD.15.已知等比數(shù)列an的前n項和一52-1，則實數(shù)t的值為().rA. 4B. 516.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a4+a7+a0=9, S14-S3=77,則使Sn取得最小值時n的值為()A. 4B. 5C. 6D. 717.若an是等差數(shù)列，首項 a1>0,公差大自然數(shù)n是()d0,且a2 013(a2 012+ 32 013) 0 ,則使數(shù)列an的前n項和Sn0成立的最A(yù). 4 027Br. 4 026C. 4 025D. 4 024an18.已知數(shù)列滿足：吁1心(nC N*)

15、,.1 一 .一一 若bn+1 = (n ) a；+ 1 , b1 = 入且數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)入的取值范圍為A.入2B.入3C入319、由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列an,若aa3a2a42a2a3 49 ,則 a220.已知數(shù)列 an的前n項和為Snn2,某三角形三邊之比為 a2：a3：a4,則該三角形最大角為21、給定 an log(n 1) (n 2) (nC N*)定義乘積a1 a2 Lak為整數(shù)的k (kC N*)叫做 理想數(shù)”，則區(qū)間1 , 2008內(nèi)的所有理想數(shù)的和為22.設(shè)4 , d為實數(shù)，首項為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前項和為Sn ,滿足 S3S415 0 ,則d的取

16、值范圍為23.設(shè)正整數(shù)數(shù)列 an滿足：a2 4 ,且對于任何nan 1anan 111 ,則 a10 an24.已知an為等比數(shù)列，a4a72 ,a5a68 ,則a1a1025.設(shè)等差數(shù)列 an的公差d不為0, a1 9d .若ak是a1與a2k的等比中項，則kan f (n) , (n N ) (1)求26、已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f(8) 15, f(2), f(5), f (14)成等比數(shù)列，設(shè)nai ；設(shè)bn 2n ,求數(shù)列anbn的前n項和Sn o i 127、已知數(shù)列 an中，ai 2a23 ,其前n項和Sn 滿足 Sn1Sn 12Sn1*(n 2 , n N ). (1)求

17、數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn4n ( 1)n12an( * .， 一 *為非零整數(shù)，n N )，試確定 的值，使得對任意n N ,都有bn 1 bn成立.28.已知數(shù)列 an中科 1啟24,滿足an 253an23 an.(n)求數(shù)列 an的通項公式.(I)設(shè)bnan 1 an ,求證數(shù)列 bn 是等比數(shù)列;29.已知等差數(shù)列an滿足：a5 9,a2 a6 14.(I)求an的通項公式；(n)若bnan-anq (q0),求數(shù)列bn的前n項和Sn .30,已知數(shù)列 的前n項和為anSnai1,an 14S (n16N , t為常數(shù))()若數(shù)列an為等比數(shù)列，求t的值;)若14,bn lga

18、n1 ,數(shù)列bn前n項和為Tn,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時Tn取最小值，求實數(shù)t的取值范圍.31.&是一個公差大于0的等差數(shù)列,a1，a2,a5成等比數(shù)列,a2a6 14.( I )求數(shù)列的通項公式;(n)若數(shù)列14和數(shù)列優(yōu)滿足等式：風(fēng)=與T 了丁尹T -T下+a5乏產(chǎn)，求數(shù)列。J的前n項和g1*32.已知數(shù)列 an滿足a1 1, an11 ，其中n n.(I)設(shè)bn4an2，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列2an 1出an的通項公式an ;( n )設(shè)cn4ann 1,數(shù)列CnCn 2的前n項和為Tn ,是否存在正整數(shù)m,使得Tn1一對于n N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由.CmCm 1 一133.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an前n項和為Sn,首項為 可，且1 ,an,Sn成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列 an的通2, 1、b項公式；若an (2) n ,設(shè)Cnbnan,求數(shù)列Cn的前n項和Tn.34一個等比數(shù)列 an中，a1 a4 28, a2 a3 12 ,求這個數(shù)列的通項公式16,中間兩數(shù)和為12.求這四個數(shù)35 .有四個數(shù)：前三個成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列。首末兩數(shù)和為36 .