平面向量中“三點共線定理”妙用

1、平面向量中“三點共線定理”妙用對平面內(nèi)任意的兩個向量a,b（b 0）,ab的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使a b由該定理可以得到平面內(nèi)三點共線定理：點共線定理：在平面中A、B、P三點共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點uuviv uuv的O ,存在唯一的一對實數(shù)x,y使得：OP xOA yOB且x特別地有：當點P在線段AB上時，x 0,y 0當點P在線段AB之外時，xy 0筆者在經(jīng)過多年高三復習教學中發(fā)現(xiàn)，運用平面向量中三點共線定理與它的兩 個推廣形式解決高考題，模擬題往往會使會問題的解決過程變得十分簡單！本文將通過研究一些高考真題、模擬題和變式題去探究平面向量中三點共線定理與它的兩 個推廣

2、形式的妙用，供同行交流。例1 （06年江西高考題理科第7題）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若uuu uuu uuurOB a1OA a2000c，且A、B、C三點共線，（設直線不過點 O）,則S200=（）A. 100B, 101C. 200D. 201解：由平面三點共線的向量式定理可知：a+a200=1,§00 200（a1 a200）100，故選A2點評：本題把平面三點共線問題與等差數(shù)列求和問題巧妙地結合在一起，是一道經(jīng) 典的高考題1 4例2已知P是 ABC的邊BC上的任一點，且滿足AP xAB yAC,x.y R,則 一 x y的最小值是uuu uur uuur Q AP

3、xAB yACx y 1 且 x>0,y>014,14、 ，14、，、/ y4x, y4x()1()(xy)14 5xy xy xyxyxyQx>0,y>0 y 0,竺0由基本不等式可知：y 2 214x 4,取等號時x yx y ： x yV 4x 22-一12A- y 4x y 2xQ x 0, y 0 y 2x Q x y 1 x -, y 一，符合x y33所以1 4的最小值為9 x y結合在一起,較綜合考查了學生基本功.uuu 2mAB 一 11點評：本題把平面三點共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地例3 （湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考理科）如圖U

4、UUT 1 UULTUUTAN NC ,點P是BC上的一點，若 AP 3的值為（）A.旦B.勺1111c. 311D.-11UUU解：Q B,P,N三點共線，又Q APUUU mABUULT-AC11UUU mAB2 UUUT一 4AN11UUIT8 UULTmAB - AN118，3m 1 m ,故選 C1111例4 （07年江西高考題理科）如圖3,在9BC中，點。是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點UUUM、N,若AB =m AM , AC=n AN ,則m + n的值為解：Q因為。是BC的中點，故連接AO,如圖4,由向量加法的平行四邊形法則可知:UULTUUUU U

5、UUTQ AB= mAM , ACUULT 1 UUUI UUUrAO -(AB AC) 2UULT nAN圖3uuur i uuLur uurAO (mAM nAN )uiLT m uuuur n uur AO AM -AN 22又Q M ,O, N三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：m n 12 2例5 （廣東省2010屆高三六校第三次聯(lián)）如圖5所示：點G是4OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共線是定值；設OPxOA, OQy OB ,證明：-i x y證明：Q因為G是VOAB的重心，uur2 i uuu2 i(OA3 2uuir i uuuOB) (OA 3

6、uurOGOB)uuruuuuur i uuuOA OP xuuurniuQOPxOAQOQyOBuur i uuirOB OQ yuur i uuu uurOG -(OA OB)31 i uuu i unr(OP OQ)3 x yuuiri uur i uurOG OP OQ3x 3y又QP,G,Q三點共線， i 1133x 3y x y為定值3x y例6 （汕頭市東山中學20i3屆高三第二次模擬考試）如圖6所示,在平行四邊形ABCDuuu r uuur 點，記 AB a , ADuur i uuu uuur 中，AE AB, AF3 ruurb ,貝U AG i uuur-AD ,CE與B

7、F相交于G 4A.2r a71bB.2r a73b 73 r i rC. a b772b 7分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，所以我們很容易聯(lián) 想到點F、G、B以及E,G,C三點在一條直線上，可用平面內(nèi)三點共線定理求解解：Q E,G,C三點共線,由平面內(nèi)三點共線定理可得:存在唯一的一對實數(shù)x使得uurAGuuruurxAE (1 x)ACuuir ,Q AEuurAG1ro 、.x -a (1 x)(a3r 2xb) (1 百1 uuu -AB 3r)a (11 r uur ra,AC a 3rx)b又Q F,G,B三點共線,由平面內(nèi)三點共線定理可得:存在唯一的一對實數(shù)使得u

8、urAGuurAB (1uur)AFuuir 1 uuirQ AF AD 4uurAGra (11 r )4b由兩式可得:2x336737uuirAG點評：本題的解法中由兩組三點共線(F、G、B以及E,G,C三點在一條直線上）利用平面內(nèi)三點共線定理構造方程組求解,避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題的運算復雜， 達到了簡化解題過 程的效果。例6的變式一：如圖7所示，在三角形ABC中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,BN 與CM相交于點P,且AB a , AC b ,試用a、b表示AP圖7解：QN,P,B三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù) x

9、,y使uuu uur uur得 AP xAB yAN,x y 111.uuu uur v uuurAP xAB - AC 4x；穌 x； 3 b44Q AN : AC=1 ： 4, AN AC b 44又QC,P,M三點共線,由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)使得uuruuuuuuirAPAMAC,1uurrr 1 rAP ab a331 一 1. AM : AB=1 : 3- AM - AB - a ,33x 由兩式可得：彳 3 1 x11211Q x y 1, y8_11UUIT3 TAP a 二 b1111圖8解：因為點。兩條對角線AC與BD的交點,所以點。為AC的中點UULT

10、AOUULTAO1 UUT UUUT-(AB AD)21UULUTUULT-(-AM -AN )UUTQ AB=AMUULTAD = n ANm UUUU-AM 2nUULr -AN 2又Q M ,O,N三點共線,例6的變式二：如圖8所示：直線l過Y ABCD的兩條對角 線AC與BD的交點。，與AD邊交于點N,與AB的延長線UUU UUUT -交于點 M 。又知 AB = AM , AD = n AN ,則+ n=推廣1:如圖9所示：已知平面內(nèi)一條直線推廣2:如圖10所示：已知平面內(nèi)一條直線AB,兩個不同的點OAB,兩個不同的點由平面內(nèi)三點共線的向量式定理可得: 定理的推廣:點O,P位于直線A

11、B異側的充要條件是：存在唯一的一對實數(shù)UUV UV UUV使得：OP xOA yOB 且 x y 1。O,P位于直線 AB同側的充要條件是:存在唯一的一對實數(shù)x,y使彳的：10uuvOPuv xOAUUVyOB 且 x y 1 0已知點P為VABC所在平面內(nèi)一點，且UUU 1 UUULULTAP -AB tAC(t3P.八3A. (O1/1 3B. (2,4)C. (0,1)D.吟解：Q點P落在VABC的內(nèi)部A,P兩點在直線BC的同一側,圖11 1由推論2知：一t 1 3例8 （06年湖南高考題文科）如圖12 : OM /AB,點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊圖1

12、2Ae3)b.( |,|) C. (41)D.(1 75,5)解：由題目的條件知：點O與點P在直線AB的同側，所以x1 ,所以A,D兩選項不符合。對于選項B、C,都有x y 1,但當x如果點P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點共線的向量式定理可知:如果點uur uuuP在直線OM上，OM /AB可知：OP|AB,由平面向理共線定理可知:的實數(shù) t,使uur得 OPuuuuuu uuruuu uuutAB t(OB OA)tOA tOB,Q OP xOA yOB t x,t yt 11y又因為點P在兩平行直線AB、OM之間,1 一.1對選項C同理可知：當x -時，y44-2所以235一,故y45y -

13、,故B選不符合。33I符合,所以選C界）.且OP xOA yOB ,則實數(shù)對（x,y）可以是（）例9 （06年湖南高考題理科）如圖13,OM /AB,點P在由射 線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊unruuu uuu1界）運動，且OP xOA yOB,當x 3時，y的取值范圍解：當x工時2圖13如果點. .3P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點共線的向量式定理可知：y -2如果點P在直線OM上,uur uurOM/AB可知：OPPAB,由平面向理共線定理可知:uuu數(shù) t,使得 OPuuutABuuu t(OBuuuOA)umrtOAuuutOB ,Q OP xOAyOB t x

14、,tt 2，y1-,又因為點P在兩平行直線AB、OM 2之間,所以所以實數(shù) 13y的取值范圍是：（'，人）22練習:3. OABuur則OPA 1 rA. -a3點p在邊2b 3uuuAB 上，AB)D 2rB. - a3uuu uuu3AP ,設 OA1b 3r uuua, OBr b1r2r2 r1r-a-bD. -ab3333C.ujiruur1、平面直角坐標系中,O為坐標原點，已知兩點A(3,1), B(-1,3),若點 C(x, y)滿足 OC = "OA + puuuOB ,其中的火R且心3=1 ,則x, y所滿足的關系式為（A. 3x+2y-11=0B. (x-

15、1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0D. x+2 y-5=02、已知P是 ABC的邊BC上的任一點，且滿足 APxAB yAC,x.y,1 4R,則-x y的最小值是3、在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點,E是BC邊的中點,連接DE交AC于點F。已知AB = a, AD = b，則OF =11-b B. 一（a+ b）641 ,C. 一（a+ b） 64、（2014屆東江中學高三年級理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點,DE交AF于H,記AB、BC分別為a、b,則 AH = （A. 2a 4b55B. 2a +4b55C. -a+-b D

16、.552a 4b 555、（2008年廣東卷）在平行四邊形 ABCD中，AC與BD交于點O, E是線段OD的中點，AEuuur的延長線與CD交于點F .若ACuuuruura, BD b ,則 AF11 ,21,A.-a一b B.ab423311 ,12,C.-abD. -a- b2433()uuir i uuu uuur6、在平行四邊形 ABCD中，AE - AB,AF 31 uuu'uur uurAD ,CE與BF相父于點G,記ab a，AD b，21 一2331 一42A. -abB. -a-bC. -abD. -a- b77777777)uuuAG =(uuuri uuu uur1 uuruurr uuur7、在那BO中，已知OCO