二次函數(shù)經(jīng)典解題技巧

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總匯教學(xué)目標(biāo)介紹一些些能加快速度的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容3求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法(1)公式法：y2.ax bx c2bx 2a4ac b24a，:頂點(diǎn)是(b 4ac b2對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x2a(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為 k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x h.(3)運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與 拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失9.拋物線(xiàn)y ax2 bx c中，a,b,c的作用(1)2a決定開(kāi)

2、口萬(wàn)向及開(kāi)口大小，這與y ax 中的a完全一樣.(2).2b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置 .由于拋物線(xiàn)y ax bx c的對(duì)稱(chēng)軸正直線(xiàn)b. 一x ，故：b 0時(shí),2a異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在 y軸右側(cè).bb對(duì)稱(chēng)軸為y軸；一 0 (即a、b同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在 y軸左側(cè)；一 aa0 (即 a、b(3)2c的大小決定拋物線(xiàn) y axbxcVy軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x 0時(shí)，y c,：拋物線(xiàn)c 0 ,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；(1) 一般式:2y axbx c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì) x、y的值，通常選擇一般式.2ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(。，c)：0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負(fù)半軸. b一以上三

3、點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸右側(cè)，則一 0.a11 .用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(2)頂點(diǎn)式:(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：y a x x1 x x2 .h 2 k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式12 .直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)(D y軸與拋物線(xiàn)y2ax bxc得父點(diǎn)為(0, c).(2)與y軸平行的直線(xiàn)Xh與拋物線(xiàn)yax2 bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2 bh c).(3)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 ax2 bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

4、.拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在 x軸上)0 拋物線(xiàn)與x軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相離.(4)平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)同(3)一樣可能有 0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ,則橫坐標(biāo)是ax2 bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2(5)一次函數(shù)y kx n k 0的圖像l與二次函數(shù)y ax bx c a 0的圖像G的交點(diǎn)，由方程組y kx n:2的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一組解時(shí)l與G+ y ax bx c只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組

5、無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).(6)拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線(xiàn)2y ax bx c與x軸兩父點(diǎn)為A x1,0,B x2,0，由于 x1、x2是方程2axbx c 0的兩個(gè)根,xix2ABxix21 x xix2 2xi2x24x1x24cb2 4accx2a6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn)P(x,y圓坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離:(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于(3)點(diǎn)P(x,y圓原點(diǎn)的距離等于.x2 y25、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如下圖，過(guò)反比例函數(shù)s=PM?PN=|y|?|x| |xy|oky (kxk yx0)圖像上任一點(diǎn)p作x軸、xy k, S |

6、k|oy軸的垂線(xiàn)PM, PN,則所得的矩形 PMON的面積考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)xb .時(shí)，y最值2a24ac b4a如果自變量的取值范圍是 x1 x x2,那么，首先要看b一 是否在自變量取值范圍 xi x x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng) 2ax=b i一時(shí)，y最值2a24ac b；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在4axi xx2范圍內(nèi)的2、函數(shù)平移規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間)3、直線(xiàn)斜率：k tany2yiX2Xib為直線(xiàn)在y軸上的截距4、直線(xiàn)方程：一

7、般兩點(diǎn)斜截距1, 一般 一般直線(xiàn)方程ax+by+c=02,兩點(diǎn)由直線(xiàn)上兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式：-最最常用，記牢y 2y i /、y y i ( x x i)X 2X 13,點(diǎn)斜知道一點(diǎn)與斜率、，、， y yik(x x1)4,斜截斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式：y= kx+ b(k，0)由直線(xiàn)在x軸和y軸上的截距確定的直線(xiàn)的截距式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式： x ya b記牢可大幅提高運(yùn)算速度k2x b25、設(shè)兩條直線(xiàn)分別為，I1 ： y k1x b1 I2：若l 1 / l 2 ,則有11 /l2kik2 且 b1 b2 o若I1k1k26、點(diǎn) P (xo, yo)到直線(xiàn) y=kx+b(即:k

8、x-y+b=0)的距離：dkxoyo b2 ( 1)2|kx° yo b k2 1對(duì)于點(diǎn)P (xo, yo)到直線(xiàn)滴一般式方程ax+by+c=0滴距離有2、daxo byo ca2 b2常用記牢如圖，已知二次函數(shù) y ax2 4xc的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A (-1, 0)和點(diǎn)B (0, -5).(1)求該二次函數(shù)的解析式；P,使得4ABP的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)解：(1)根據(jù)題意，得_20 a ( 1)2 4 ( 1)一 一2 一5a 024 0c.C,2分解得a 1,c 5.;二次函數(shù)的表達(dá)式為y x2 4x 5 .(2)令y=0,得二次函

9、數(shù)yx2 4x 5的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) C (5, 0) 5分由于P是對(duì)稱(chēng)軸x 2上一點(diǎn)，連結(jié) AB,由于 AB <OA2 OB2 J26 ,要使 ABP的周長(zhǎng)最小，只要PA PB最小. 6分由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x 2對(duì)稱(chēng)，連結(jié)BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,則PA PB = BF+PC=BC,根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可彳| PA PB 的最小值為BC因而B(niǎo)C與對(duì)稱(chēng)軸x 2的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn) 8分設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為ykx b,根據(jù)題意，可得 b 5,解彳導(dǎo)k 1,5.0 5k b. b所以直線(xiàn)BC的解析式為y x 5. 9分x 2 x 2因此直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸x 2的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組,

10、 的解，解得 ,y x 5y 3.所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, -3) 10分壓軸題中求最值此種題多分類(lèi)討論，求出函數(shù)關(guān)系式，再求各種情況的最值，最后求出最值。典型例題：1 如圖，在梯形 ABCD中，AD/ BC, /B=90° , BC= 6, AD=3, / DCB= 30點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)BC向右勻速移動(dòng).已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊 EFG設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x (x>0) 4EFG的邊長(zhǎng)是 (用含有x的代數(shù)式表示)，當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)G的位置在 ;若 EFG與梯形ABCD重疊部分面積是V,求當(dāng)0Vx<2時(shí)，y與x之間的函數(shù)

11、關(guān)系式；當(dāng)2Vx<6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù) y在x取含何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值E-F-C解：x, D點(diǎn) 當(dāng)0<x<2時(shí)，4EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以丫=電力;4分兩種情況：I .當(dāng)2Vx<3時(shí)，如圖1,點(diǎn)E、點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上， EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形 EFNM,FNC= / FCN= 30° , ：FN=FC= 62x. ： GN= 3x6. 由于在 RtANMG 中，/ G= 60° ,所以，此時(shí)y=里x2 （3x-6） 2= 述x2488口 .當(dāng)3<x<6時(shí)，如圖2,點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)

12、F在射線(xiàn)CH上, EFG與梯形ABCD重疊部分為 ECPEC= 6-x,：yW(6x)283x23 3x932當(dāng) 0<x<2 時(shí)，: y= J3x2 在 x>0 時(shí),y隨x增大而增大,.x= 2 時(shí),y最大7.質(zhì)c 當(dāng) 2Vx<3 時(shí)， y=713-X28,一，.32當(dāng) 3vx<6 時(shí)，: y= x289.3 x = 3 時(shí),y 最大=.9 3x23.3 x2迪在xJ時(shí),27y最大93 . 在x< 6時(shí)，y隨x增大而或小,綜上所述：當(dāng)x =818 n,時(shí),7y最大9.37如圖，直線(xiàn)y56分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線(xiàn)y x與AB交于點(diǎn)C,與過(guò)點(diǎn)A且平行

13、于y軸的直線(xiàn)交于點(diǎn) D.4點(diǎn)E從點(diǎn)(1)(2)右作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與 ACD重疊部分（陰影部分）的面積為 求點(diǎn)C的坐標(biāo).(3)0<t<5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）中S的最大值.(4)t>0時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)（4, 9）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍.2【參考公式：二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b 4ac b2a'4a2一）.】解：（i）由題意，得3 x45 x.46, x解得3,15S （平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t （秒）.DA出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)，分別交直線(xiàn) AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向.C (3, 15).4(2)根據(jù)題意，得 AE=t, OE=8-t.:點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5 (8-t)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3 t,5PQ=4(8-t)-3 t=10-2t.4一10當(dāng) MN 在 AD 上時(shí)，10-2t=t, t=310一c當(dāng) 0<t< 一時(shí)，S=t(10-2t),即 S=-2t2+10t.310