高等數(shù)學課件：幾何補充

1、平面曲線的弧長平面曲線的弧長 (p.106)定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:)()(bxaxfy弧長元素(弧微分) :xyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)

2、()(2222)(d)(ddyxs注:可將上述公式推廣到空間的情形.(p.107)解解12,yx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab abtayttaxcos1sin例例2 求旋輪線求旋輪線一拱的弧長。一拱的弧長。20toa2解解 由公式得由公式得dttatal2022)sin()cos1 (dtta20cos12dtta202sin2.8a曲率曲率 曲率用來描述曲線的彎曲程度曲率用來描述曲線的彎曲程度.n 曲率的概念與曲率的計算曲率的概念與曲率的計算n 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的

3、量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越大弧段彎曲程度越大, 轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短轉(zhuǎn)角相同弧段越短, 彎曲程度越大彎曲程度越大1. 曲率的定義曲率的定義1 )注注: :曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角大小成正比曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角大小成正比, ,與弧長成反比與弧長成反比. .) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在ds

4、dss .dsdK 例例1. 求半徑為R 的圓上任意點處的曲率 .解解: 如圖所示 ,RssKs0limR1可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .sRMM注意注意: 直線上任意點處的曲率為 0.2.曲率的計算公式曲率的計算公式,)(二階可導二階可導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds .dsdK ,)()(),(),(二階可導二階可導，設曲線方程為設曲線方程為tttytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()(

5、)(322tttttdxyd 例例2.2.?2上哪一點的曲率最大上哪一點的曲率最大拋物線拋物線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當當abx .最最大大k,)44,2(2為拋物線的頂點為拋物線的頂點又又aacbab .最最大大拋拋物物線線在在頂頂點點處處的的曲曲率率例例3: 。處的曲率處的曲率在頂點在頂點求擺線求擺線)0()cos1()sin(attayttax解：解：2sin1)cos1sin(1()1(,cos1sin32/322/32tttytty 2sin41)1(,2sin1412/324tayyKtay 代入公式代入公式.41aK

6、t 3. 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點在凹的一側(cè)取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在點設曲線設曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注注: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).四、小結(jié)四、小結(jié)運用微分學的理論運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面