2020與名師對話(理)三角恒等變換

1、2sin cos21tan22cos sin21tan2       (1)sin ；2       (2)cos2；(2)1cos2sin2第四節(jié)三角恒等變換高考概覽：能運用兩角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式進行簡單的恒等變換 (包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)知識梳理1公式的常用變式(1)tan±tantan(±)(1 tant

2、an)；2sincos2tan(2)sin2；cos2sin21tan2(3)cos2.2降冪公式1cos221cos221(3)sincos2sin2.3升冪公式(1)1cos2cos2 2；2；1(3)1±sinçsin2±cos2÷2.æöèø4半角公式(1)sin2±(2)cos2±(3)tan2±1cos2  ；1cos2  ；1cos sin 1cos    

3、60; 1cos1cos sin .2ç4÷等(1)對任意角  都有 1sinçsin2cos2÷2.(  )2(2018· 河北保定一模)已知 cosç3÷sinç3÷，則 tan 的值以上稱之為半角公式，符號由2所在象限決定辨識巧記常用拆角、拼角技巧2()()；()()；2  2 (2)()；()()；15°45°30°；&

4、#230;ö4èø雙基自測1判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)æöèø(2)y3sinx4cosx 的最大值是 7.()(3)sin4xcos4x1sin22x.()1cos(4)tan2 sin .()答案(1)(2)×(3)×(4)×öææöèøèø2為()A1B1C. 3D 31313解析由已知得2cos 2

5、0;sin2sin 2 cos，整理得，2 ÷ø2 ÷øè2        è 2æ1æ13ö3öç  sinç cos，即 sincos，故 tan1.故選 B.4(2019· 安徽十校聯(lián)考)      &#

6、160;         (   )答案B73(2019· 浙江蒼南縣三校聯(lián)考)若 sinsin5，coscos75，則 cos()()242411A25B.25C50D.5077解析sinsin5，coscos5，49×222，得 22(coscossinsin) 25 ，24cos()25.故選 B.答案Bsin47°sin17°cos30°cos17&

7、#176;3113A 2B2C.2D. 2解析sin47°sin17°cos30°cos17°sin(30°17°)sin17°cos30°cos17°sin30°cos17°sin17°cos30°sin17°cos30°cos17°sin30°cos17°         1cos17°

8、0; sin30°2.故選 C.3答案C5(必修 4P46A 組 T4(2)改編)tan20°tan40° 3tan20°·tan40°_.解析tan60°tan(20°40°) 3，tan20°tan40° 31tan20°·tan40°tan20°tan40° 3 3tan20°·tan40°，tan20

9、°tan40° 3tan20°·tan40° 3.答案3(1)sin2·sin2cos2·cos22cos2·cos2；2tanç4÷sin2ç4÷考點一三角函數(shù)式的化簡【例 1】化簡下列各式：12cos21(2).æöæöèøèø思路引導(1)  用二倍角公式向、轉(zhuǎn)化進行式的變換、化簡(2)  利用二倍角公2cos2·

10、;cos2式進行降次 合理拆角  變換化簡1解 (1)原式 sin2·sin2cos2·cos2 2(cos 2sin2)·(cos2sin2)1sin2·sin2cos2·cos241tanæ       öçsin4coscos4sin÷21tanè1112sin2·sin22cos2·sin22sin2·cos211112

11、sin2·sin22cos2·cos22cos2·sin22sin2·cos2112sin2·(sin2cos2)2cos2·(sin2cos2)1112sin22cos22.(2)解法一：原式cos2sin22×ø(cos2sin2)(1tan)(1tan)(cossin)2æsin öcos÷ø              &

12、#160;      1.æ  ö   æ2tanç4 ÷cos2ç4÷(cos2sin2)ç1èæsin öèøç1cos÷(cossin)2cos2解法二：原式öèøèøæ  ö  æ 

13、 ö    æ   öcos2 cos2è     ø   è4øsinè22ø2sinç4÷cosç     ÷     ç     &#

14、160;÷cos2cos21.化簡三角函數(shù)式的策略5sinç4÷ç÷cos  sin(1sincos)·22.2  2sin  cos  ÷· çcos  sin  ÷ ö.2   2cos(sincos)   ç2cos 22對點訓練sin22cos21化簡：

15、0;èø2sincos2cos2解原式22 (sincos)sincos2 2cos.2已知 (0，)，化簡：æöèø22cos解原式æö æöè2ø è22ø4cos2262   2   öcos2çcos   2sin   2÷cos2cosï&

16、#160; .                  ïcos2ï     ïcos2ïæèøïïïïïïï 因為 0<<，所以 0<2<2，所以 cos2&g

17、t;0，所以原式cos.考點二三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)求值問題主要考查角的變換和公式的靈活運用，是高考命題的熱點，難度適中常見的命題的角度有：(1)給角求值；(2)變角求值；(3)給值求角角度 1：給角求值cos2155°sin2155°【例 21】求值：(1)sin110°sin20°；sin12°(4cos212°2)sin70°sin20°cos20°sin20°2      13tan12°3(2)

18、.思路引導角的變換  式的變換  約分求值1sin40°解(1)原式cos310°cos50° sin40° 2.sin12°3×cos12°3(2)原式sin12°(4cos212°2)3sin12°3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°1)72   3ç  sin12°   

19、32   3sin(12°60°)æ1 öøè2 2 cos12°÷sin24°cos24°           12sin48°【例  2  2 】  (1)(2018· 貴 陽 監(jiān) 測 

20、) 已 知  sin ç6÷  3 ， 則cosê2ç3÷ú的值是(  )(2)已知 0<<2<<，且 cosç2÷9，sinç2÷3，則 cos()的值為_4 3.角度 2：變角求值æö1èøé æöùë 

21、;èøû7117A.9B.3C3D9æö1èøæö2èø思路引導觀察所求角與已知角的聯(lián)系 用已知角表示未知角的三角函數(shù) 結合已知值求值解析(1)sinç6÷3，cosç32÷cosê2ç6÷úè6 ÷  ，12sin2çcosê2ç3÷úcosç 3 2

22、47;cosê  æç32÷úcosç32÷  .故選 D.æö1èøæöé æöùèøë èøûæö7ø9é æöùæ2öë èøûè&#

23、248;éöùæö7ëèøûèø9(2)0<<2<<，8 4<2<2，4<2<，æöè2øcosç÷æöè2øsinç÷æ ö    5è2ø1sin2ç     

24、;÷ 3 ，æ ö 4 5èø1cos2ç2÷ 9 ，öæ  öùcos   2   cosêç   ÷ç  ÷úç9÷× 3   9  &

25、#215;3 27 ，ú，ê ，ú，則  的值為_éæ22ëèøèøûöæöææöæöè2÷cosç2øsinèøèøèøcosç÷ç2÷sinç2÷æ1ö54 527&

26、#160;5èøcos()2cos2 2 149×52392× 729 1729.239答案(1)D(2)729角度 3：給值求角5【例 23】(2019· 成都診斷考試 )若 sin2 5 ，sin()10éùé3ùë10 ，且 ê4ûë2 û思路引導所求角用已知角表示表示出所求角的范圍  求出的

27、一個三角函數(shù)值  求角解析 因為 ê4，ú，故 2ê2，2ú，又 sin2 5 ，故 2ê2，ú，ê4，2ú，cos25  ，êëû                    

28、0;                         ë2  4 û2 ûéùéù5ëûëû3ùéùéù2 5éé5&#

29、249;，ú，故 ê ，ú，ëûë9，2ú，故 .3 10于是 cos() 10 ，cos()cos2()cos2cos(2 5æ3 10ö5102øè)sin2sin() 5 ×ç 10 ÷ 5 × 10  2 ，且 é5ù7&

30、#235;ê 4û4答案74類型給角求值變角求值給值求角三角函數(shù)求值的方法策略要點關鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為給值求值，關鍵是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得，則(   )角，有時要壓縮角的取值范圍對點訓練132tan13°     1(2019· 開封模

31、擬)設 a2cos6° 2 sin6°，b1tan213°，c1cos50°2Ac<b<aBa<b<cCa<c<bDb<c<a解析asin30°cos6°cos30°sin6°sin24°，btan26°，c102已知 2tansin3，2<<0，則 cosç6÷的值是(  )113，12×7所以 tan(2)tan()

32、0;               111.1tan·tan()1  ×sin25°，a<c<b，故選 C.答案Cæöèø21A0B. 2C1D.22sin2解析由 2tansin3，得 cos 3，即 2cos23cos20，13æöøècos2或

33、 cos2(舍去)2<<0，sin 2 ，cosç 6÷coscos6sinsin60.故選 A.答案A113已知 ，(0，)，且 tan()2，tan7，則 2的值為_11tan()tan271解析 tantan()1tan()·tan11tantan()32321由 tan3，得 tan<1, 則 0<<4，得 0<2<2.1æöè2，ø由&

34、#160;tan7，知 ç÷，3得 <2 <0，所以 24.3答案411考點三三角恒等變換【例 3】(2019· 河北唐山二模)已知 ， 均為銳角，且 sin22sin2，則()Atan()3tan()Btan()2tan()C3tan()tan()D3tan()2tan()2解析解法一：因為 2()()， ()()，已知 sin22sin2，所以 sin()()2sin()()，利用和角、差角公式展開，可得sin()cos

35、()cos()sin()2sin()cos()cos()·sin()，整理得 sin()cos()3cos()sin()，兩邊同時除以 cos()cos()，得 tan()3tan()，故選 A.解法二：因為 sin22sin2，12所以                         &

36、#160;1         sin2 2(sin2sin2)1tan()sin()cos()2(sin2sin2)3sin2tan()cos()sin()3，即 tan()3tan()，故選 A.答案A三角恒等式變換的關注點(1)看角：分析角的差異，消除差異，向結果中的角轉(zhuǎn)化(2)看函數(shù)：統(tǒng)一函數(shù)，向結果中的函數(shù)轉(zhuǎn)化對點訓練已知 sincos2sin，sin22sin2，則()Acos2cosCcos22cos2Bcos22cos2Dcos22cos22sin2，

37、即  4sin212sin2.由二倍角公式可得   4×       12×       ，整理得 cos22cos2.故選 C.解析由同角三角函數(shù)的基本關系可得 sin2cos21，所以(sin  cos)2  1  2sincos  1  sin2.

38、60;由已知可得 (2sin)2  1 1cos221cos22答案C審題系列角的范圍對三角函數(shù)求值的影響素養(yǎng)解讀：在解決三角函數(shù)式的求值問題時，要注意題目中角的范圍的限制，特別是進行開方運算時一定要注意所求三角函數(shù)值的符號絕大部分題目都會設置一定的障礙，特別是角的范圍，往往所給13規(guī)范答題 解法一：因為 tan2>0，(0，)，所以 ç 0，2÷.的范圍較大，需要根據(jù)條件縮小范圍縮小角的范圍，經(jīng)常采用以下策略：由三角函數(shù)值的符號縮小角的范圍；借助縮小三角函數(shù)值的范圍縮小角的范圍；由特殊角

39、或特殊值縮小角的范圍7 2【典例 1】已知 、(0，)，tan2，cos 10 ，求 2 的值切入點利用 ， 的三角函數(shù)值求 2 的三角函數(shù)值關鍵點縮小角的范圍，保證各角三角函數(shù)值的唯一性æöèøæö7 21è2，ø因為 cos 10 ，(0，)，所以 ç÷，且 tan7.tantan所以 (，0)，tan()3>

40、;0，1tantanæöè，2ø所以 ç÷，所以 2(，0)因為 tan(2)tan()tantan()1，1tantan()所以 24.æöè4，2ø解法二：因為 tan2>1，(0，)，所以 ç÷.7 2æöæö)è2，ø，所以 2è2，2ø因為 cos 10 ，(0， 

41、;，所以 ç÷ç÷.因為 tan(2)tan()tantan()1，1tantan()14所以 24.三角函數(shù)值的符號與角的范圍有直接關系，借助三角函數(shù)值的符號可有效縮小角的范圍本題縮小角的范圍分為兩層：先由條件中tan、cos 的符號縮小 、 的范圍，得到  的范圍，再由 的范圍，結合 tan()的符號進而縮小  的范圍，得到 2 的范圍難點是想到縮小  的范圍另外，本題還可以采用縮小三角函數(shù)值

42、的范圍來縮小角的范圍解法二較解法一在求角的范圍上運算量小了許多，這也顯示出運用三角函數(shù)值的范圍縮小角的范圍的優(yōu)勢51【典例 2】設 、(0，)，sin()13，tan22，則 cos_.切入點求出  和  的三角函數(shù)值關鍵點保證 coscos()的唯一性1規(guī)范答題 因為 tan2 2 ，所以 sin 2tan21tan2245， cos 1tan223 æ12öæöèø

43、;èø5ç2， 2 ÷.又 (0，)，所以 ç4，3÷，又 (0，)，所1tan22æ4ö5æ1öæ5öè4， 3 ø.又 sin()13è0，2ø，所以 è 6 ，ø以 ç÷ç÷ç÷，所以12cos()13，所以 coscos(

44、)cos()cossin(16)sin65.1516答案653æ12öøè本題縮小角的范圍分為兩層：(1)由 cos5ç2， 2 ÷，結合 ç0，2÷，結合 ç4， 3 ÷，縮小  的范圍其中難點是后者，這是因為 ysinx 在ç4 ， 3 ÷上不單調(diào)，解決辦法是畫圖  55   

45、7;ø10   ÷ø5(0，)，縮小角  的范圍，得到  的范圍；(2)由 sin()131öææ4öøèèøæ4öèø感悟體驗53 101設 ， 為鈍角，且 sin 5 ，cos 10 ，則  的值為()35757A. 4B. 4C. 4

46、D. 4 或 453 10解析由 sin 5 ，cos 10 ，且 ， 為鈍角，可知 cos2 510 5 ，sin 10 ，æ2 5öæ3 10ö5故 cos(  )  coscos  sinsin  ç× çèè10

47、27× 10  2 ，又 <<2，故  4 .故選 C.答案C15 32已知 ， 為三角形的兩個內(nèi)角，cos7，sin() 14 ，則 cos 的值為_1解析因為 0<<，cos7，16ç14÷×7 14 ×  7  2.1cosç22÷2已知 tanç6

48、÷7，tanç6÷5，則 tan()的值為(   1已知 sin23，則 cos2ç  ÷() 解析cos2ç4÷ 1sin24 3所以 sin1cos27 ，故3<<2，5 33又因為 0<<，sin() 14 < 2 ，2所以 0<<3或 3 <<，2

49、由3<<2知 3 <<，11所以 cos()1sin2()14，所以 coscos()cos()cossin()sinæ11ö15 34 31èø1答案2課后跟蹤訓練(二十三)基礎鞏固練一、選擇題1æöè4ø1121A.3B.2C.3D.6æöæöèøèø221132 2 3.故選 C.答案Cæö3

50、30;ö2èøèø17)ö 解析tan()tanêç6÷ç6÷ú            ææö  66øè 51351365，故選 D.2911A.41B.29C.41D1éæöæöùë&#

51、232;øèøûöææöè     ø     èøtanç6÷tanç6÷1tanç  ÷·tanç ÷èø3275321，故選 D.17×5答案D123(2019· 廣東七校聯(lián)考)銳角 

52、， 滿足 cos13，3cos(2)5，那么 sin()()63534333A.65B.65C.65D.65312解析由于 ， 均為銳角，cos(2)5，cos13，所以54sin13，sin(2)5，所以 sin()sin(2)sin(24123533)coscos(2)sin × ×答案D554(2019· 湖南邵陽二模)若 tan12cos12sin12msin12，則實數(shù)m 的值為()A2 3B. 3C2D355解析由 

53、;tan12cos12sin12msin12，55可得 sin12cos12cos12sin12msin12cos12，18即  sin212cos 12 2 sin6，5(2019· 河北名師俱樂部 3 月模擬)已知 ç0，4÷，sincosæ öæ öè212øcos12·sinè212ø即 sin12cosç÷ç

54、÷msin12cos12，m2mm 13亦即 2 sin6cos6， 2 · 2 2 ，m2 3，故選 A.答案Aæöèøcosç4÷14 4 ，則2cos21(   )æ  öè     øç0，4÷，0<  &

55、lt;  ，cosç4÷  .sinç22÷cos2     è    øæ  ö    æ  ö    æ  ösin2ç4÷2sinç4÷cosç4

56、7;         sinç4÷    sinç4÷解得 sin        ，cos        ，2433A.3B.3C.4D.2æö147è4ø解析解法一：由 sincos 4 

57、得 sinç÷ 4 ，ø44æöæö3èèø4æö2cos21故è4øsinè4øsinè     øcosç÷ç÷ç4÷æöæöæöèøèøèøæ&

58、#246;æöèøèøæö3è4ø2cosç÷2.故選 D.14æöè0，4ø解法二：由 sincos 4 ，sin2cos21，且 ç÷，3 2 14143 28819æ   ö   2×ç    

59、 2.故選 D.8         86(2019· 湖南長沙一模)化簡：              _.2cos21 2(sincos)è4øcosç÷ç÷æ3 2 14143 2ö3÷è

60、ø答案D二、填空題2sin()sin2cos22cos 2解析2sin()sin22tantan6tan6，tan·tan6，tan()      11.1tantan18對于銳角 ，若 sinç ÷  ，則 cosç2  ÷_.解析 由  為銳角，且 sinç12÷5，可得 cosç12÷5，則&

61、#230;                                 æ öæ ö    412ø4û6ø12ø12

62、8;cos ç   ÷  cos êç÷  ú  cos ç÷ cos    sin ç÷ sin   2sin2sin·cos2sin(1cos)1 14sin.2(1cos)2(1cos)答案4sin7(2018· 河南統(tǒng)考)已知

63、60;tan，tan 是 lg(6x25x2)0 的兩個實根，則 tan()_.解析由 lg(6x25x2)0，得 6x25x10，由題意知 tan5516答案1 ö3ææöè12ø5è3ø ö3ææ ö4èøèøèëèè4è4520× 2 5×&#

64、160;2  10 ，于是  cosç23÷2cos6ø      è 10 ø9已知 cosç6÷·cosç3÷4，ç3，2÷.解 (1)cosç6÷·cosç3÷cosç6÷·sinç6÷2sinç23÷即

65、 sinç23÷2，所以 cosç 23÷  2.所以 sin2sinç233÷sinç23÷cos3cosç23÷sin32.2322æöæöæ 2ö2ç ÷12×ç÷21èøè2425.24答案25三、解答題æöæö1æ

66、46;èøèøèø(1)求 sin2 的值；1(2)求 tantan的值æöæöæöæö1æöèøèøèøèøèø14，öæ1èøæö æ4öøè3，2ø   

67、             è因為 ç÷，所以 23ç ， 3 ÷，öæ3èøööæææö1èøèøèø1sincossin2cos22cos2(2)由(1)知 tantancos sin&#

68、160; sincos  sin2 2×çæ3öøè2 ÷12 3.210(2018· 江蘇如東高中上學期期中)已知 ， 都是銳角，且 sin315，tan()3.21解 (1)因為 ，ç0，2÷，所以2<<2.sin()3，(1)求 sin()的值；(2)求 cos 的值öæèø1又因為

69、0;tan()3，所以2<<0.1由 sin2()cos2()1 和cos()10解得 sin() 10 .(2)由(1)可得，cos()1sin2()1  3 10110 10 .所以 cos  1sin2       91  .3因為  為銳角，sin5，42554所以 cos  cos  (

70、  )  coscos(  )  sinsin(  )  53 103æ10ö9 10øè× 10 5×ç 10 ÷ 50 .能力提升練11(2019· 湖北八校第一次聯(lián)考)已知 3<<4，且1cos62 2 ，則 ()1cos2 

71、60;1011A. 3 或 31315C. 4 或 43 解析3<<4， 2 <2<2，cos2>0，sin2<0，2237  47B. 12 或 1219 23D. 6 或 61cos2  1cos22cos2 2sin2æö6è24øcos2sin2 2cosç÷ 2&

72、#160;，æö3è     øcosç24÷ 2 ，2462k，kZ 或2462k，kZ，5即 64k，kZ 或  6 4k，kZ，又3<<4，1923 6 或 6 .故選 D.答案D12(2019· 安徽二模)sin40°(tan10° 3)()133A2B1C. 2D 3

73、sin40°(tan10° 3 )                        解析 sin40°(sin10° 3cos10°)cos10°sin40°·2sin(10°60°)  2sin40&

74、#176;cos40°13cos9·cos 9 ·cosç  9  ÷_. 解析   cos 9 ·cos 9 ·cos ç 9 ÷  cos20°·cos40°·cos100°  sin80°cos10°cos10°c

75、os10° cos10°  cos10°  1.故選 B.答案B2æ23öèø2æ23 öèøcos20°·cos40°·cos80°23sin20°sin20°sin20°14(2019· 北京西城區(qū)模擬)已知函數(shù) f(x)tanç x4÷.(2)設 (0，)，且&#

76、160;f()2cosç4÷，求  的值sin20°cos20°cos40°cos80°12sin40°·cos40°·cos80°14sin80°·cos80°118sin160°8sin20°1 sin20°  sin20° 8.1答案8æöèø(1)求 f(x)的定義域；æöèø解(1)由 x4k2，得 xk4，kZ.所以函數(shù) f(x)的定義域是x|xk4，kZöææöè4ø       è4ø(2)依題意，得 tanç÷2cosç÷，4