北京市海淀區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)理試卷

1、2017海淀區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)（理科）一.選擇題：本大題共 8小題，每小題4分，共32分.1. （4分）復(fù)數(shù)1-Wi的虛部為（）A."B. 1C.乃 D. - V32. （4 分）J3xdx=（）J 0A. 0 B. 1 C. 1 D. - 13. （4分）若復(fù)數(shù)Z1, Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且Z1=1+i ,則Z1?Z2=（A. - 2 B. 2 C. - 2i D. 2i4. （4分）若a, b, c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+1b+L, c+工這三個(gè)數(shù)中不小于2的數(shù)（ boaA.可以不存在B.至少有1個(gè)C.至少有2個(gè) D.至多有2個(gè)的圖象5. （4分）定義在R上的函

2、數(shù)f （x）和g （x）,其各自導(dǎo)函數(shù)f ' （x） f和g' （x）如圖所示，則函數(shù)F （x） =f （x） - g （x）極值點(diǎn)的情況是（）A.只有三個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)B.有兩個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)C.有一個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D.無極大值點(diǎn)，只有三個(gè)極小值點(diǎn)6. (4分)函數(shù)f (x) =lnx與函數(shù)g (x) =ax2-a的圖象在點(diǎn)(1, 0)的切線相同，則實(shí)數(shù) a的值為()A. 1 B. - L C.，D.上或-122227. (4分)函數(shù)y=ex (2x-1)的大致圖象是()A.B.CD.8. (4分)為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在高中三個(gè)年級中抽取甲、乙、丙三

3、名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào) 查.調(diào)查結(jié)果顯示這三名同學(xué)來自不同的年級，加入了不同的三個(gè)社團(tuán)：“楹聯(lián)社”、“書法社”、“漢服社”，還滿足如下條件：(1)甲同學(xué)沒有加入“楹聯(lián)社”；(2)乙同學(xué)沒有加入“漢服社”；(3)加入“楹聯(lián)社”的那名同學(xué)不在高二年級;(4)加入“漢服社”的那名同學(xué)在高一年級;(5)乙同學(xué)不在高三年級.試問：丙同學(xué)所在的社團(tuán)是()A.楹聯(lián)社B.書法社C.漢服社D.條件不足無法判斷二.填空題：本大題共 6小題，每小題4分，共24分.9. (4分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 上L對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為10. (4分)設(shè)函數(shù)f (x), g (x)在區(qū)間(0, 5)內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù):x1234f (x

4、)2341f' (x)3421g (x)3142g' (x)2413則曲線f (x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程是 ;函數(shù)f (g(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值是11. (4分)如圖，f (x) =1+sinx ,則陰影部分面積是12. (4分)如圖，函數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過(0, 0), (4, 8), (8, 0), (12, 8)四個(gè)點(diǎn)，試用二,V”填空：(1)； f ' (6) f ' ( 10).13. (4 分)已知平面向量a=(X1,y1)，b=(X2,y2),那么a?b=X1X2+y1y2；空間向量=(x1,y1，z1)，b=(x2,y2.Z2),

5、那么 a?b=x1x2+y1y2+Z1Z2.由此推廣到 n 維向量：a=(aba2,，a“， b= (b1，b2,，bn),那么 a?b=.14. (4分)函數(shù)f (x) =ex- alnx (其中aG R, e為自然常數(shù))？aG R,使得直線y=ex為函數(shù)f (x)的一條切線；對？av0,函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f' (x)無零點(diǎn)；對？av0,函數(shù)f (x)總存在零點(diǎn);則上述結(jié)論正確的是.(寫出所有正確的結(jié)論的序號)三.解答題：本大題共 4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. (10 分)已知函數(shù) f (x) =x3-3x2-9x+2(I )求函數(shù)f (x)的

6、單調(diào)區(qū)間；(n)求函數(shù)f (x)在區(qū)間-2, 2上的最小值.16. (10 分)已知數(shù)列an滿足 ai=1, an+i+an=-/i - Vn-l|, nGN*.(I)求 a2, a3, a4；(n)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.17. (12 分)已知函數(shù) f (x) =x- (a+1) lnx其中 aGR.(I )求證：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f (x)沒有極值點(diǎn)；(n)求函數(shù)y=f (x)的單調(diào)增區(qū)間.18. (12 分)設(shè) f (x) =et(x1)- tlnx , (t>0)(I )若t=1 ,證明x=1是函數(shù)f (x)的極小值點(diǎn)；(n)求證：f (x) > 0

7、.參考答案與試題解析一.選擇題：本大題共 8小題，每小題4分，共32分.1 .【解答】復(fù)數(shù)1-gi的虛部為-V3.故選：D.2 .【解答】x !xdx=Lx2| =, J li 2 1 0 2故選：BZ1=1+i ,3 .【解答】復(fù)數(shù)zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱,Z2=- 1+i .4' Zi?Z2= (1+i) (1-i) =-2.故選：A4 .【解答】假設(shè)a+1, b+工c+上這三個(gè)數(shù)都小于2, b c aa+g+b+c+v 6 b c aa+_L+b+c+= (a+) + (b+三)+ (c+) > 2+2+2=6, b c a abc這與假設(shè)矛盾,故至少有一個(gè)

8、不小于 2故選：B5 .【解答】F' (x) =f' (x) - g' ( x),由圖象得f ' (x)和g' (x)有3個(gè)交點(diǎn)，從左到右分分別令為a, b, c,故 xG (-“，a)時(shí)，F(xiàn)' (x) V0, F (x)遞減，x (a,b)時(shí)，F(xiàn)'( x)>0, F(x)遞增，xG (b,c)時(shí)，F(xiàn)'(x)V0, F(x)遞減，xG (c, +x)時(shí)，F(xiàn)' ( x) >0, F (x)遞增，故函數(shù)F (x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)，故選：C.6 .【解答】由題意，f' ( x)=，g' (

9、x) =2ax,二函數(shù)f (x) =lnx與函數(shù)g (x) =ax2-a的圖象在點(diǎn)(1,0)的切線相同,1=2a, .金二弓， 故選C.7.【解答】v' =ex (2x1) +2ex=ex (2x+1),令 y' =0 得 x=一y，°,當(dāng) x9 時(shí)，y，0,y=ex (2x - 1)在(-X上單調(diào)遞減，在（-冬 +x）上單調(diào)遞增,當(dāng)x=0時(shí)，y=e （0-1） =- 1,函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)（0, - 1）;令 y=ex (2x - 1)=0 得 x=L,2f （x）只有1個(gè)零點(diǎn)x=l當(dāng)x <!時(shí)2y=ex (2x - 1) v 0,當(dāng) x時(shí)，y=ex (2x

10、 - 1) > 0,綜上，函數(shù)圖象為A.故選A.8 .【解答】假設(shè)乙在高一，則加入“漢服社”，與（2）矛盾，所以乙在高二，根據(jù)（3）,可得乙加入“書法社”，根據(jù)（1）甲同學(xué)沒有加入“楹聯(lián)社”，可得丙同學(xué)所在的社團(tuán)是楹聯(lián)社，故選A.二.填空題：本大題共 6小題，每小題4分，共24分.9 .【解答】復(fù)數(shù)皆二1招工=-1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)（-1, -1）.10 .【解答】(1) =3, f (1) =2, .曲線f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程是y=3x-1,f (g(x)'=f' (g(x)g' (x), x=2 時(shí)，f' (g(2)g&

11、#39; (2) =3X4=12,故答案為y=3x- 1； 1211 .【解答】由圖象可得 S= f ； (1+sinx ) dx= (x cosx)| ；=冗cos?t (0cos0) =2+冗，故答案為：+ +212 .【解答】(1)由函數(shù)圖象可知 K4)=1二=|=2 .24(2) . f (x)在(4, 8)上是減函數(shù)，在(8, 12)上是增函數(shù)，f ' ( 6) V 0, f ' ( 10) >0,.f ' ( 6) vf ' ( 10).故答案為(1) >, (2) v.13.【解答】由題意可知；a?b=a1b1+a2b2+a3b3+an

12、bn.故答案為：ab+a2b2+a3b3+anbn14 .【解答】對于，函數(shù)f (x) =ex-alnx的導(dǎo)數(shù)為f' (x) =ex-0設(shè)切點(diǎn)為(m, f (成)，貝U e=em ,em=em- alnm,可取m=i, a=0,則？aGR,使得直線y=ex為函數(shù)f (x)的一條切線，故正確；對于，？av0,函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f' (x) =ex-三，由x>0,可得f' ( x) >0,則導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)，故正確;對于，對？av0,函數(shù) f (x) =ex - alnx ,由 f (x) =0,可得 ex=alnx ,分別畫出丫=6、和y=alnx , (av

13、0)的圖象，可得它們存在交點(diǎn),故f (x)總存在零點(diǎn)，故正確.故答案為：.三.解答題：本大題共 4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15 .【解答】(I) f' ( x) =3x2-6x-9=3 (x+1) (x-3),令 f ' ( x) =0,彳4 x= T 或 x=3,當(dāng)x變化時(shí)，f' (x), f (x)在區(qū)間R上的變化狀態(tài)如下:x(-00-1(-1,3)3(3,+1)°°)f'(x)+0-0+f(x)/極大極小/所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-X,1), (3, +X);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1, 3);(n)因

14、為 f ( 2) =0, f (2) =20,再結(jié)合f (x)的單調(diào)性可知,函數(shù)f (x)在區(qū)間-2, 2上的最小值為-20.16 .【解答】(I)由題意 a二1, a2+a1 =V2, a3+a2=/-1, a4+a3=2解得：a2= 1, a3= "1-f3 V2, a=2(n)猜想：對任意的 nGN*, an=« - ,7 ,當(dāng)n=1時(shí)，由a1=1=Vl - V1-1,猜想成立.假設(shè)當(dāng)n=k (kGN*)時(shí)，猜想成立，即ak=瓜-Vk-l|則由 ak+i +ak= Gk+i - 7kT ,得 ak+i= Vk+1 - Vk, 即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立，由、可知，對任

15、意的 nGN*,猜想成立，即數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為an= Vn - -JnA .17 .【解答】(I)證明：函數(shù)f (x)的定義域是(0, +OO).當(dāng) a=1 時(shí)，f (x) =x2lnx一工，函數(shù) f ' (x) =。-；,70,所以函數(shù)f (x)在定義域(0, +x)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f (x)沒有極值點(diǎn)；(n) f' ( x) =1 亙包+得=_立2_ , xG (0, +oo) 工/ F令 f' ( x) =0,彳x x1=1, x2=a,a00時(shí)，由f' (x) >0可得x>1,所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(1, +x)

16、;當(dāng) 0vav 1 時(shí)，由 f' (x) >0,可得 0vxva,或 x>1,當(dāng)a>1時(shí)，由f' (x) >0可得0vxv1,或x>a,所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, 1), (a, +°°);當(dāng)a=1時(shí)，由(I)可知函數(shù)f (x)在定義域(0, +8)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)y=f (x)的增區(qū)間是(1, +x);當(dāng)0<a<1時(shí)，所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, a), (1, +°°);當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f (x)在定義域(0, +°°)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, 1), (a, +°°).18.【解答】證明：(I)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0, +x),(1分)若 t=1 ,則 f (x) =ex 1 - lnx ,晨(必二匚式-1 .分)因?yàn)閒' (1) =0,(3分)且 0vxv1 時(shí)，即 f' (x) V0,所以f (x)在(0, 1)上單調(diào)遞減；(4分)x>1 時(shí)，-即 f' (x) >0,所以f (x)在(1, +x)上單調(diào)遞增；(5分)（n）函數(shù) f （x）的定義域?yàn)椋?, +x） , t >0.1缶）二tJ&Tj二二