高中數(shù)學《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》素材3 新人教A版選修1-2

1、數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念一、數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念1復數(shù)的引入：回想數(shù)系的每一次擴充都主要來自兩個方面：一方面數(shù)學本身發(fā)展的需要；另一方面由于實際的需要.而復數(shù)的引入屬于前者我們知道，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，于是需引入新數(shù)i使方程有解，顯然，需要數(shù)系的擴充過程：自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復數(shù)集2復數(shù)的代數(shù)形式：由實數(shù)的運算類似地得到新數(shù)i可以同實數(shù)進行加、減、乘運算，于是得到：形如的數(shù)叫做復數(shù)，并且把的這一表現(xiàn)形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式，其中的a叫做復數(shù)的實部，b叫復數(shù)的虛部注意復數(shù)的虛部是，而不是3復數(shù)相等的充要條件且注意事項：（1）復數(shù)（2）復數(shù)集（3）兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)如果不全是

2、實數(shù)，則不能比較大小.二、復數(shù)的幾何意義1復數(shù)可以用平面直角坐標系的點來唯一表示，于是：復數(shù)集與坐標系中的點集，可以建立一一對應(yīng)2建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面.在復平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點對應(yīng)復數(shù)0于是有下面的一一對應(yīng)關(guān)系：復數(shù)復平面內(nèi)的點3由于平面向量與坐標平面的點一一對應(yīng)，于是有：復數(shù)平面向量在這些意義下，我們就可以把復數(shù)說成點或向量，這給研究復數(shù)運算的幾何意義帶來了方便 4復數(shù)的模就是這個復數(shù)對應(yīng)的向量的模，復數(shù)的模為三、復數(shù)代數(shù)形式的四則運算1復數(shù)的加法、減法運算法則其運算法則類似于多項式的合并同類

3、項 復數(shù)加法的運算律對于任意的，有：交換律：結(jié)合律：復數(shù)加法的幾何意義設(shè)，分別與復數(shù)，對應(yīng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形（三角形）法則，則有（如圖1）由平面向量的坐標運算：，即得與復數(shù)對應(yīng)可見，復數(shù)的加法可以按向量加法的法則進行復數(shù)減法的幾何意義設(shè)，分別與復數(shù)，對應(yīng)（如圖2），根據(jù)向量加法的三角形法則有：于是：由平面向量的坐標運算：，即得與復數(shù)對應(yīng)于是得到向量的減法運算法則為：兩個復數(shù)的差與連接兩個向量的終點并指向被減數(shù)的向量相對應(yīng)2復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算運算法則：兩個復數(shù)相乘類似于兩個多項式相乘，只是把換為，并且把實部與虛部分別合并即可運算律：交換律：結(jié)合律：分配律：虛數(shù)i的乘方及其規(guī)律：，可見，即具有周期性且最小正周期為4共軛復數(shù)與互為共軛復數(shù)，即當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)它的幾何意義是：共軛的兩個復數(shù)關(guān)于x軸對稱主要用于復數(shù)的化簡以及復數(shù)的除法運算.3復數(shù)代數(shù)形式的除法運算