六年級奧林匹克數(shù)學(xué)十七 容斥原理（一） 試題

1、十七、容斥原理（一）1.一個班有45個小學(xué)生,統(tǒng)計借課外書的情況是:全班學(xué)生都借有語文或數(shù)學(xué)課外書.借語文課外書的有39人,借數(shù)學(xué)課外書的有32人.語文、數(shù)學(xué)兩種課外書都借的有 人.2.有長8厘米,寬6厘米的長方形與邊長為5厘米的正方形,如圖,放在桌面上(陰影是圖形的重疊部分),那么這兩個圖形蓋住桌面的面積是 平方厘米.865433.在1100的自然數(shù)中,是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有 個.4.某區(qū)100個外語教師懂英語或俄語,其中懂英語的75人,既懂英語又懂俄語的20人,那么懂俄語的教師為 人.5.六一班有學(xué)生46人,其中會騎自行車的17人,會游泳的14人,既會騎車又會游泳的4人,問兩樣都不會

2、的有 人.6.在1至10000中不能被5或7整除的數(shù)共有 個.7.在1至10000之間既不是完全平方數(shù),也不是完全立方數(shù)的整數(shù)有 個.8.某班共有30名男生,其中20人參加足球隊,12人參加藍球隊,10人參加排球隊.已知沒有一個人同時參加3個隊,且每人至少參加一個隊,有6人既參加足球隊又參加藍球隊,有2人既參加藍球隊又參加排球隊,那么既參加足球隊又參加排球隊的有 人.9.分母是1001的最簡真分數(shù)有 個.10.在100個學(xué)生中,音樂愛好者有56人,體育愛好者有75人,那么既愛好音樂,又愛好體育的人最少有 人,最多有 人.11.某進修班有50人,開甲、乙、丙三門進修課、選修甲這門課的有38人,選

3、修乙這門課有的35人,選修丙這門課的有31人,兼選甲、乙兩門課的有29人,兼選甲、丙兩門課的有28人,兼選乙、丙兩門課的有26人,甲、乙、丙三科均選的有24人.問三科均未選的人數(shù)?12.求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和.13.如圖所示,a、b、c分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且a與b,b與c,c與a公共部分的面積分別是5、3、4,求a、b、c三個圖形公共部分(陰影部分)的面積.abc14.分母是385的最簡真分數(shù)有多少個,并求這些真分數(shù)的和. 十七、容斥原理（一）(答案）第1道題答案： 26從圖中可以看出全班45人,借語文或數(shù)學(xué)

4、課外讀物的共39+32=71(人),超過全班人數(shù)71-45=26(人),這26人都借了語文、數(shù)學(xué)兩種課外書。共45人語文數(shù)學(xué)32人39人第2道題答案：67將長方形和正方形面積相加，則圖中陰影部分即三角形面積被多算了一次，即這兩個圖形蓋住的圖形面積為(平方厘米).第3道題答案：32在1到100這100個自然數(shù)中,5的倍數(shù)有20個,7的倍數(shù)有14個,既是5的倍數(shù)又是7的倍數(shù)有2個,故5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的個數(shù)是20+14-2=32.第4道題答案：45從圖中可以看出:懂俄語的人數(shù)(即陰影部分)等于總?cè)藬?shù)減去只懂英語的人數(shù),即100-(75-20)=45(人)2075英俄第5道題答案：19所求人數(shù)=全班

5、人數(shù)-(會騎車人數(shù)+會游泳人數(shù)-既會騎車又會游泳人數(shù))=46-(17+14-4)=19(人)會游泳會奇車全班第6道題答案：6857在1到10000中,能被5整除的有(個),能被7整除的有(個),能被35整除的有(個).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(個).從而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(個).第7道題答案：9883110000中完全平方數(shù)有100個(因為1002=10000),完全立方數(shù)有21個(因為213<10000<223),完全六次方數(shù)有4個(因為46<10000<56).故110000中是完全平方數(shù)或完全立方

6、數(shù)的數(shù)共有 100+21-4=117(個);從而既不是完全平方數(shù),又不是完全立方數(shù)的數(shù)有 10000-117=9883(個).第8道題答案：410122062x排球隊足球隊藍球隊如圖所示,設(shè)既參加是球隊又參加排球隊的人數(shù)為x,則依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.第9道題答案：72011001中,有7的倍數(shù)(個);有11的倍數(shù)(個),有13的倍數(shù)(個);有7´11=77的倍數(shù)(個),有7´13=91的倍數(shù)(個),有11´13=143的倍數(shù)(個).有1001的倍數(shù)1個.由容斥原理知:在11001中,能被7或11或13整除的數(shù)有(43+91+

7、7)-(13+11+7)+1=281(個),從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720(個).也就是說,分母為1001的最簡分數(shù)有720個.第10道題答案：31,56如圖,當100人都是或者音樂愛好者,或者體育愛好者時,這兩者都愛好的人數(shù)為最小值即56+75-100=31(個).當所有的音樂愛好者都是音樂愛好者時,這兩者都愛好的人數(shù)最大可為56人. 音樂愛好者 體育愛好者第11道題答案： 如圖,選甲乙而不選丙的有a=29-24=5(人),選甲丙而不選乙的b=28-甲乙丙24abcde24=4(人),選乙丙而不選甲的有c=26-24=2(人), 僅選了丁的人有d=35-24-a-

8、c=4(人),僅選了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少選了一科的人數(shù)是:甲+d+c+e=45(人),故三門均未選的人數(shù)為50-45=5(人).第12道題答案：由第9題的結(jié)論知分母是1001的最簡分數(shù)的個數(shù)是720.又真分數(shù)和真分數(shù) (a與1001互質(zhì))是成對出現(xiàn)的,故上述720個真分數(shù)可以分成360對,每一對=數(shù)之和為1,故上述720個分母是1001的真分數(shù)之和為360.所以所有小于1001且與1001互質(zhì)的數(shù)之和為360´1001=360360.第13道題答案：設(shè)陰影部分的面積是x,由容斥原理知 28-(5+3+4)+x=18, 故x=2.第14道題答案：因為385=5´7´11,故在1385這385個自然數(shù)中,5的倍數(shù)有(個),7的倍數(shù)有(個),11的倍數(shù)有(個), 5´7=35的倍數(shù)有(個),5´11=55的倍數(shù)有(個),7´11=77的倍數(shù)有=5(個),385的倍數(shù)有1個.由容斥原理知,在1385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-(11+7+5)+1=145(個),而5、7、11