畢業(yè)設(shè)計(jì)建模new2

1、四旋翼飛行器的建模本章的主要內(nèi)容是對(duì)四旋翼飛行器進(jìn)行理論建模。闡述了四旋翼飛行器的基本原理，分析了其控制方式和特點(diǎn)。根據(jù)牛頓歐拉定律，分析了作用在四旋翼上的各個(gè)外力和外力矩，推導(dǎo)出四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)驅(qū)動(dòng)四旋翼飛行器的直流無(wú)刷電機(jī)進(jìn)行了模型推導(dǎo)。1.四旋翼飛行器原理分析四旋翼飛行器通常具有兩種不同的飛行方式：X 型與十字型。X 型飛行方式的四旋翼飛行器的姿態(tài)改變方向與機(jī)身成 45 度，十字型飛行方式四旋翼飛行器姿態(tài)改變方向與飛行器機(jī)身相同。X 型飛行方式的飛行器有更好的控制靈敏度與穩(wěn)定性，十字型飛行方式的飛行器的螺旋槳分布在機(jī)體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上，因此方便理論分析與控制。故本文采用十字飛

2、行。如圖 1 為十字型與 X 型四旋翼飛行器模式示意圖。2.X型四旋翼飛行器的飛行控制方式飛行器的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示1。飛行器載體坐標(biāo)系B，原點(diǎn)固連于飛行器的重心，以坐標(biāo)軸xB，yB，zB表示，分別指向飛行器的前(橫滾軸) 、右(俯仰軸) 和下(偏航軸) 方向。選取導(dǎo)航坐標(biāo)系N為參考坐標(biāo)系(地面坐標(biāo)系)，以坐標(biāo)軸xN，yN，zN表示，分別指向北，東和當(dāng)?shù)卮咕€向下方向。M和F 分別代表飛行器受到轉(zhuǎn)矩和升力。圖1：兩種飛行器飛行模式示意圖圖2：四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型四旋翼飛行器產(chǎn)生基本動(dòng)作的原理為: 電機(jī)1和3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)兩個(gè)正槳產(chǎn)生升力，電機(jī)2和4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)兩個(gè)反槳產(chǎn)生升力。反向旋轉(zhuǎn)的兩

3、組電機(jī)和槳使其各自對(duì)機(jī)身產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩相互抵消，保證4個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速一致時(shí)機(jī)身不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)- 通過(guò)對(duì)四個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速的控制可以實(shí)現(xiàn)飛行器的起飛、降落、懸停、俯仰、滾轉(zhuǎn)以及偏航運(yùn)動(dòng)(1)起飛、降落和懸停的時(shí)，首先要保證四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速相同，使其俯仰、滾轉(zhuǎn)和偏航力矩為零，同時(shí)改變四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速?gòu)亩淖冃淼睦?，?dāng)四個(gè)旋翼的合拉力大于飛行器自身重力時(shí)，飛行器將上升起飛；當(dāng)四個(gè)旋翼的合拉力等于自身重力時(shí)，飛行器將保持懸停；而當(dāng)四個(gè)旋翼的合拉力小于自身重力時(shí)，飛行器無(wú)法獲得足夠的升力將開始下落。 即4個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速同時(shí)增大(減小)-如圖3所示（示意圖中Left為電機(jī)1，Back為電機(jī)2，Right圖3.四旋翼飛行器垂直運(yùn)

4、動(dòng)示意圖圖4.四旋翼飛行器俯仰運(yùn)動(dòng)示意圖為電機(jī)3，F(xiàn)ont為電機(jī)4）圖5.四旋翼飛行器翻滾運(yùn)動(dòng)示意圖圖6.四旋翼飛行器偏航運(yùn)動(dòng)示意圖(2) 要使四旋翼飛行器進(jìn)行俯仰，需要在飛行器相應(yīng)軸上施加力矩，可通過(guò)改變?cè)撦S兩端旋翼的轉(zhuǎn)速產(chǎn)生相應(yīng)力矩，但是在進(jìn)行旋翼調(diào)速時(shí)還需要保證飛行器偏航軸上的力矩為零，這就需要使加速的旋翼所增大的反扭矩與減速的旋翼所減小的反扭矩相等，從而保持整體扭矩不發(fā)生變化。即電機(jī)4轉(zhuǎn)速減小(增大) ，同時(shí)電機(jī)2轉(zhuǎn)速增大(減小)，如圖4所示。滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)則是電機(jī)3轉(zhuǎn)速減小(增大) ，同時(shí)電機(jī)1轉(zhuǎn)速增大(減小) ，如圖5所示。令俯仰角為，翻滾角為（3）要進(jìn)行偏航運(yùn)動(dòng)，則需要在偏航軸上施加力

5、矩，但同時(shí)要保持飛行器俯仰和滾轉(zhuǎn)軸上的力矩為零同時(shí)保持四個(gè)旋翼的合升力不變。由于四旋翼飛行器俯仰軸和滾轉(zhuǎn)軸兩端分別使用旋轉(zhuǎn)方向相反的兩對(duì)旋翼，因此同時(shí)增加某一個(gè)軸上兩個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速并減小另一個(gè)軸上兩個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速可以保持俯仰和滾轉(zhuǎn)力矩為零同時(shí)在偏航軸上產(chǎn)生偏航力矩。對(duì)角線的電機(jī)1和3轉(zhuǎn)速增大，另一組電機(jī)2和4轉(zhuǎn)速減小產(chǎn)生自身旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。如圖6所示。令偏航角為。3.坐標(biāo)系建立根據(jù)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換推導(dǎo)可得地面坐標(biāo)系E到機(jī)體坐標(biāo)系B的轉(zhuǎn)換矩陣為2：3-1機(jī)體坐標(biāo)系B到地面坐標(biāo)系E的轉(zhuǎn)換矩陣為 3-24.外力平衡方程 根據(jù)牛頓第二定律可知，地面坐標(biāo)系下四旋翼的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為： 4-1式中，m為四旋翼的質(zhì)量，

6、為四旋翼無(wú)人機(jī)質(zhì)心相對(duì)于地面坐標(biāo)系的速度矢量，為作用在四旋翼上的合外力的矢量。對(duì)于四旋翼無(wú)人機(jī)，作用在飛行器機(jī)體上的外力包括重力、旋翼升力和阻力。重力表示為： 4-2根據(jù)參考文獻(xiàn)3，電機(jī)旋翼產(chǎn)生的力與其轉(zhuǎn)速的平方成正比。因此，單個(gè)旋翼產(chǎn)生的力可以表示為： 4-3其中，b是電機(jī)拉力轉(zhuǎn)換系數(shù)，其中為空氣密度、為旋翼半徑、為旋翼旋盤面積，Ct為升力系數(shù)。是第i個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速。由此可得旋翼產(chǎn)生的總的升力為： 4-45.旋翼?yè)]舞運(yùn)動(dòng)4旋翼?yè)]舞運(yùn)動(dòng)對(duì)于飛行器的建模來(lái)說(shuō)是非常重要的。如圖所示飛行器在空中平移時(shí)，朝飛行方向轉(zhuǎn)動(dòng)的槳葉（前進(jìn)槳葉）旋轉(zhuǎn)的速度會(huì)比轉(zhuǎn)動(dòng)相反的旋翼（后退槳葉）更快。也就是說(shuō)前進(jìn)槳葉產(chǎn)生升

7、力將增大，后退槳葉產(chǎn)生的升力將減小，從側(cè)面觀察可知飛行器平移飛行的時(shí)候，旋翼并不是在與機(jī)身垂直的平面上旋轉(zhuǎn)，而是與其有一個(gè)夾角，這個(gè)夾角稱為“旋翼?yè)]舞角”。圖7.四旋翼平移飛行時(shí)的旋翼?yè)]舞運(yùn)動(dòng)圖8.旋翼?yè)]舞角示意圖如圖所示，通過(guò)建立旋翼坐標(biāo)系，x，y，z軸方向和飛行器機(jī)體坐標(biāo)系方向一致。當(dāng)旋翼旋轉(zhuǎn)到x軸正上方時(shí)，與x軸的夾角為a1s稱為縱向揮舞角， 旋翼旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正上方時(shí)，與y軸的夾角為b1s稱為橫向揮舞角。每一個(gè)旋翼中心在地坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)速度: 5-1其中V是質(zhì)心的速度 ，di (i=N，S，E，W):表示在機(jī)體坐標(biāo)系下旋翼的方位。 5-2其中可得平行于旋翼構(gòu)造平面的速度系數(shù)，即前進(jìn)比為:

8、5-4其中為旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，r為旋翼半徑。也可知垂直于旋翼構(gòu)造平面的速度系數(shù)，即流入比為 5-5旋轉(zhuǎn)方位角為 5-6令j=可得旋轉(zhuǎn)矩陣 5-7u1s和v1s是旋翼坐標(biāo)系下的縱向揮舞角和橫向揮舞角，通過(guò)與旋轉(zhuǎn)正交坐標(biāo)系到靜止正交坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣J的乘積得到機(jī)身坐標(biāo)系下的縱向揮舞角和橫向揮舞角。 5-8又 5-9其中，是理想的旋翼扭轉(zhuǎn)下的槳葉傾斜角，是槳葉的葉根角，是槳葉的扭轉(zhuǎn)角，CT是升力因數(shù)，是空氣密度，是旋翼升力曲線斜率。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)4，即得 5.10 對(duì)其進(jìn)行近似化處理可得 5-11根據(jù)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣可知，槳葉坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)身坐標(biāo)系是通過(guò)繞x軸旋轉(zhuǎn)a1s，再繞y軸旋轉(zhuǎn)b1s。其變換矩

9、陣為 5-12 5-13慣性坐標(biāo)系下四旋翼所受外力的平衡方程為： 5-14繼而，四旋翼飛行器在地面坐標(biāo)系下的線運(yùn)動(dòng)方程可以表示為 5-156.外力矩平衡方程根據(jù)牛頓第二定律，描述飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉方程為5： 6-1式中M為飛行器的合外力矩，為四旋翼無(wú)人機(jī)相對(duì)于機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量，為四旋翼飛行器相對(duì)質(zhì)心的慣性矩陣假設(shè)四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)具有很好的對(duì)稱性，認(rèn)為其質(zhì)心位于機(jī)體中心，我們可以得到慣性積為，繞x、y、z坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不為0，四旋翼飛行器的機(jī)體慣性矩陣J表示為:。分別為對(duì)應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。式6-1的左邊第二項(xiàng)可以寫成 6-2結(jié)合6-1得到 6-3Mx ，My ，Mz分別為飛行器在x，y，

10、z三個(gè)坐標(biāo)方向上的合外力矩分量。其中作用在無(wú)人機(jī)上的合外力矩M主要有阻力力矩、旋翼力矩和陀螺力矩。由于飛行器進(jìn)行低速飛行，所以忽略掉空氣阻力力矩的影響旋翼力矩是由旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的拉力和空氣阻力共同引起的。四旋翼無(wú)人機(jī)是軸對(duì)稱的，因此俯仰通道和滾轉(zhuǎn)通道近似對(duì)稱，滾轉(zhuǎn)力矩是由 1，3號(hào)旋翼拉力差所引起的，俯仰力矩是由 2，4號(hào)旋翼拉力差所引起。偏航力矩是由于1，3與2，4號(hào)旋翼拉力不同引起的。故滾轉(zhuǎn)力矩，俯仰力矩偏航力矩分別用表示。 6-4其中d為飛行器的質(zhì)心到旋翼旋轉(zhuǎn)軸之間的距離，為飛行過(guò)程中四旋翼在Z軸所受的力矩，表示為: 6-5其中為旋翼的力矩轉(zhuǎn)換系數(shù)，其中為空氣密度、為旋翼半徑、為旋翼旋盤面

11、積、反扭矩系數(shù)。對(duì)6-4，6-5整理得 6-6陀螺力矩6是指飛行過(guò)程中受到由旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)。因?yàn)樾矸謨山M，一組順時(shí)鐘高速旋轉(zhuǎn)，另一組逆時(shí)鐘高速旋轉(zhuǎn)。當(dāng)飛行器做俯仰或翻滾運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)改變旋轉(zhuǎn)飛行器的角動(dòng)量的方向，從而產(chǎn)生力矩。當(dāng)旋翼轉(zhuǎn)速的代數(shù)和不等于零時(shí)，將引起機(jī)體的不平衡，即產(chǎn)生一個(gè)陀螺力矩，使機(jī)體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 6-7其中分別為前后左右旋翼的轉(zhuǎn)速，jr為旋翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)6-7進(jìn)行化簡(jiǎn)可得 6-8其中，為四個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速的代數(shù)和，即對(duì)6-3，6-4，6-5，6-8整理可得即 6-9接下來(lái)討論歐拉角速率與三軸角速率的關(guān)系，四旋翼飛行器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組相似于其他飛行器，由旋轉(zhuǎn)理論可以將地面

12、坐標(biāo)系下姿態(tài)角速率與機(jī)體坐標(biāo)系下的三軸角速度分量( p , q ,r )的關(guān)系表示如下2:上式也可寫成 6-10這個(gè)方程也稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，反映了姿態(tài)角速率與機(jī)體坐標(biāo)系的三個(gè)角速度分量之間的關(guān)系。結(jié)合公式5-15,6-9，6-1,可以給出四旋翼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的最終模型為6-117. 無(wú)刷直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型四旋翼飛行器采用的是無(wú)刷直流電機(jī)來(lái)驅(qū)動(dòng)，其電機(jī)模型分為兩部分：1）無(wú)刷直流電機(jī)穩(wěn)態(tài)模型，即 PWM 波占空比與電機(jī)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速的關(guān)系。2）電機(jī)動(dòng)態(tài)建模，即無(wú)刷電機(jī)響應(yīng)給定的轉(zhuǎn)速的動(dòng)態(tài)過(guò)程的建模。1.無(wú)刷直流電機(jī)的穩(wěn)態(tài)模型要建立無(wú)刷直流電機(jī)的穩(wěn)態(tài)模型，只須測(cè)量并記錄 PWM 波及對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)

13、速，對(duì)其進(jìn)行曲線擬合即可。建立無(wú)刷直流電機(jī)穩(wěn)態(tài)模型的具體框架如圖9所示。圖中 PC 機(jī)主要用于 DSP控制程序的調(diào)試，通過(guò)改變輸出的PWM 波占空比的大小實(shí)現(xiàn)電機(jī)的調(diào)速。電源采用的是普通用航模3S電池，電壓為 11.1V。電調(diào)將兩相直流電轉(zhuǎn)換為三相交流電，輸出給電機(jī)。通過(guò)接收到的 PWM 波控制電調(diào)中開關(guān)管的開關(guān)頻率，可以實(shí)現(xiàn)無(wú)刷電機(jī)的轉(zhuǎn)速可調(diào)。轉(zhuǎn)速測(cè)量由光電開關(guān)來(lái)完成。PWMPC機(jī)DSP電調(diào)無(wú)刷電機(jī)電源圖92.無(wú)刷直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型在四旋翼飛行器中，旋翼是由無(wú)刷直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的。設(shè)加在直流電機(jī)電樞回路兩端的控制電壓為u,電流為i，電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為m ，則電樞回路的電壓平衡方程: 7-1其中Rm

14、ot、L分別為電機(jī)的等效電阻和電感，ke為電機(jī)的電勢(shì)系數(shù)。電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩平衡方程 7-2其中，Jm為電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Mfr為電機(jī)的負(fù)載力矩，Mem為電機(jī)的力矩。Mem=kmi。由于使用的小電機(jī)具有很低的感應(yīng)系數(shù)L，這里忽略L，則式7-1變?yōu)椋?7-3帶入上式得： 7-4方程等效為： 7-5在旋翼的變速的情況下，電機(jī)的力矩可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得出： 7-6是旋翼的角速度，是變速的效率，是下降比例。本設(shè)計(jì)為涉及用齒輪箱對(duì)旋翼進(jìn)行變速，故其等效為： 7-7電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 7-8是旋翼作用在電機(jī)上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。電機(jī)的方程式可以寫成： 7-9如果設(shè)為電機(jī)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則寫成： 7-10令，方程簡(jiǎn)化為：

15、 7-11在某個(gè)工作點(diǎn)附近，使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開，線性化為: 7-12其中：從而可知直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型可近似為慣性環(huán)節(jié)。近似的慣性環(huán)節(jié)可表示為： 7-13由于電壓和占空比之間呈線性關(guān)系，故可將其簡(jiǎn)化成： 7-14其中k1為電壓和占空比之間的比例系數(shù)，Tm ，k分別為電機(jī)時(shí)間常數(shù)和增益。時(shí)間常數(shù)Tm可通過(guò)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線求得，即響應(yīng)上升到響應(yīng)曲線幅值的 0.632 時(shí)所用的時(shí)間如圖4（橫坐標(biāo)代表采樣次數(shù)，縱坐標(biāo)代表轉(zhuǎn)速）。實(shí)驗(yàn)通過(guò)DSP控制輸出一路PWM驅(qū)動(dòng)電調(diào)使電機(jī)工作，一路采用ECAP（捕獲模塊）對(duì)裝在電機(jī)上的碼盤進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，通過(guò)采集到的時(shí)間進(jìn)行換算成電機(jī)轉(zhuǎn)速，時(shí)間常數(shù)的測(cè)定過(guò)程通過(guò)

16、軟件完成，當(dāng)電機(jī)運(yùn)行到內(nèi)同步后，軟件給定電機(jī)一個(gè)初始占空比（即轉(zhuǎn)速），將電機(jī)的工作點(diǎn)設(shè)定在 850rad/s，穩(wěn)定運(yùn)行一段時(shí)間后，增大控制電壓占空比，這相當(dāng)于給定了電機(jī)一個(gè)電壓階躍信號(hào)，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速再次穩(wěn)定在1200rad/s后，測(cè)量螺旋槳轉(zhuǎn)速的變化曲線即可求得電機(jī)的時(shí)間常數(shù)。由于CCS軟件是每0.5s采集一次數(shù)據(jù)，根據(jù)測(cè)試結(jié)果計(jì)算可得到電機(jī)的時(shí)間常數(shù)Tm=0.7。圖10電機(jī)時(shí)間常數(shù)測(cè)量圖采用 MATLAB Curve Fitting 工具對(duì)記錄的 PWM 波占空比及轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，如圖5 所示。，故增益k為2540。圖11 電機(jī)增益測(cè)量圖 所以直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型為 7-15參考文獻(xiàn)1 張廣玉.張洪濤.李隆球.王林.四旋翼微型飛行器設(shè)計(jì)J.哈爾濱理工大學(xué)2012年1月.110114.2秦永元.慣性導(dǎo)航(第二版)M.科學(xué)出版社，2014年1月.47 .3 Norafizah Abas, Ari Legowo, Rini Akmeliawati . Parameter Identification of an Autonomous Quadrot