新思維第三講

1、O平分線。A上。O新思維軸對稱講義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章主要介紹軸對稱和軸對稱圖形，研究圖形的一種特殊的對稱以及其性質(zhì)。進(jìn)一步詳細(xì)介紹線 段、角、等腰三角形、等腰梯形的對稱性?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】等腰三角形、等腰梯形的軸對稱性?！咎骄窟^程】1. 軸對稱：如果把一個(gè)圖形沿著 后，能夠重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，這條直線叫做 ，兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做 。2. 軸對稱圖形：如果把一個(gè)圖形沿著 ，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做。3. 軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個(gè)圖形 。如果兩個(gè)圖形成軸對稱，那么對稱軸是 4 線段的垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線

2、段的（也稱線段的中垂線）5. 線段的軸對稱性： 線段是軸對稱圖形，對稱軸有兩條，一條是，另一條是 線段白相等。 至y的點(diǎn)，在這條線段的 結(jié)論:線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集6. 角的軸對稱性： 角是圖形，對稱軸是 。 角平分線上的點(diǎn)到相等。 至y的點(diǎn)，在上。結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合7. 等腰三角形：有的三角形叫等腰三角形，其中相等的邊叫做腰，另一條邊叫做底。等腰三角形是，對稱軸是。等腰三角形相等，相等（簡稱）；等腰三角形的 互相重合。（三線合一）&如果一個(gè)三角形 ，那么（簡稱）；9 .等邊三角形是特殊的，具備的一切性質(zhì)。除此之外，等邊三角形有, ,

3、。10. 等邊三角形的判定：是等邊三角形；的三角形是等邊三角形； 是等邊三角形。11. 的四邊形叫做梯形。平行的兩條邊叫做梯形的上底和下底，不平行的兩條邊叫做腰。腰和底的夾角叫做底角。兩底之間的距離叫做梯形的高。12. 叫做等腰梯形。13. 等腰梯形是 ，有一條對稱軸，是 。等腰梯形，對角線。14. 等腰梯形的判定： 的梯形是等腰梯形； 的梯形是等腰梯形；【等腰、等邊、等腰梯形】1、下列說法正確的是（）A 、等腰三角形的一個(gè)角的平分線是它的對稱軸；B、有一個(gè)內(nèi)角是60°的三角形是軸對稱圖形；C、 等腰直角三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是斜邊上的中線所在的直線；D等腰三角形有三條對稱軸

4、2、 （ 1）已知等腰三角形的兩邊長分別是4和6，則第三邊的長是 （2） 已知等腰三角形的兩邊長分別是4和9，則周長是 （3） 已知等腰三角形的周長為8，邊長為整數(shù)，求這個(gè)三（4） 知等腰三角形的腰長為10，腰上的高為6,則它的底邊的長為 （5） 若等腰三角形的周長是20cm ,一邊長是6cm,其他兩邊的長為（6） 在等腰三角形中一個(gè)角是70°，則另兩個(gè)角分別為 （7） 若等腰梯形的三邊分別為3、4、11,則這個(gè)等腰梯形的周長為 （8） 等腰梯形的對角線互相垂直且長度為3，則梯形的面積為 ，高為(9)等腰梯形的上底是 4cm,下底是10cm, 個(gè)底角是60°，則等腰梯形的腰

5、長是正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)P與點(diǎn)A、B組成等邊三角形，則三角形（10）為（11）如圖， ABC 中，AB=AC，/ ABC=36 , D , E 為 BC 上的點(diǎn), 有等腰三角形PCD三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別（12）已知 ABC中/ BAC=140 , AB AC的垂直平分線分別交 BC于 則/ EAF=（13）已知 的周長是16,ABC中AB=AC=10 DE垂直平分 AB 交AC于E.已知 BECABC的周長為E、F.且/（14）如圖所示，（15）如圖所示，在 ABC中， 分線分別交AC、BC于點(diǎn)N、P是等邊 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且 PA : PB : PC =3 : 4 : 5,則/AB的垂直平分

6、線分別交 AB、BC于點(diǎn)M、F,如果/ B=27 °,Z BAC=2 / C ,Z EAF 的度數(shù)APB=E; AC的垂直平若BC=28cm，那么 AEF的周長=BC【對稱最值專題】1.1、已知直線I及其兩側(cè)兩點(diǎn) A B,如圖.(1) 在直線I上求一點(diǎn) P,使PA=PB(2) 在直線I上求一點(diǎn)Q,使I平分/ AQB1.2、如圖所示，已知AOB及點(diǎn)M,在AO , BO分別找一點(diǎn)P, Q ,使得MP+MQ最短。1.3、如圖：已知/ AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn) P,使PC=PD，且P到/AOB兩邊的距離相等.1.4如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2 , -3),B

7、(4 , -1).若P(x , 0)是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng) PAB的周長最短時(shí)，求 x的值。 若C (a, 0), D (a+3,0 )是x軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，求 a的值。 設(shè)M,N分別為x軸y軸上的動點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn) M( m 0)和(0, n),使四邊形ABMN勺周長最短? 若存在，求出 m n的值；若不存在，請說明理由。7-2、如圖，若/ AOB=45，其內(nèi)部有一點(diǎn)P, OP=10在/AOB勺兩邊上有點(diǎn)Q,R (均不同于O ,則 PQR周長的最小值為.(河南省中考題)3、如圖，在 ABC中，AB=BC=2 / ACB=90 ,D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊

8、上一動點(diǎn)，則 EC+ED 的最小值是.（河南省中考題）4、在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（-8，3）,B（-4 ，5）以及動點(diǎn)C（0，n），D（m, 0），則當(dāng)四邊形 ABCD的周長最小時(shí)，比值m為n5、河岸I同側(cè)的兩個(gè)居民小區(qū) A,B到河岸的距離分別為 a米，b米（如圖所示，AA ' =a米，BB '=b米），A ' B '=c米，現(xiàn)欲再河岸邊建一個(gè)長度為 s米的綠化帶CD （寬度不計(jì)），使C到小區(qū)A的距離為與D到小區(qū)B的 距離之和最小。（江蘇省競賽題）（1）在圖中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；（2）求AC+BD的最小值?！緦ΨQ中的動點(diǎn)專題】1、如圖，在梯形A

9、BCD 中，AD / BC, AD = 3, CD = 5,BC= 10,梯形的高為4.動點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動；動點(diǎn)速度向終點(diǎn)D運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為 t(秒).(1) 當(dāng)MN / AB時(shí)，求t的值；(2) 試探究：t為何值時(shí)， CMN為等腰三角形.N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的2、如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 ° , AB =20 , AC=10，點(diǎn) M 在邊 AB 上，且 AM=6 :(1) 動點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動，且點(diǎn) A、C均不重合，設(shè) CD=x。 設(shè) ABC與厶ADM的面積之比為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(

10、寫出自變量x 的取值范圍) 當(dāng)x取何值時(shí)， ADM是等腰三角形？寫出你的理由；(2) 如圖，在以圖中的直角邊為一組鄰邊的矩形中，動點(diǎn)D在矩形邊上運(yùn)動一周， 能使 AMD是以M為 頂角的等腰三角形共有多少個(gè)？圖13、如圖所示，在梯形 ABCD中，AD/BC , A= 90 , AD=2 1 cm, BC=24c血，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D 以1 cm/ s的速度移動，點(diǎn) N從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2 cm/ s的速度移動，如果 M N兩點(diǎn)分別從 A C同時(shí)出發(fā)，試探索：經(jīng)過多長時(shí)間梯形MBN為等腰梯形。3、如圖，在等腰梯形 ABCD中，AB / DC , Z A 45°, AB

11、10cm , CD 4cm 等腰直角三角形 PMN的斜邊MN 10cm , A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點(diǎn) N與點(diǎn)B重合為止.(1 )等腰直角三角形 PMN在整個(gè)移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由 形變化為形；(2) 設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切?PMN移動x(s)時(shí)，等腰直角三角形 PMN與等腰梯形 ABCD重疊部分的面積為2y(cm )，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 當(dāng)x 4(s)時(shí)，PMN求等腰直角三角形與等腰梯形 ABCD重疊部分的面積.【軸對稱雜題】1、將厶ABC繞AC對折至 A

12、EC位置，CE與AD交于點(diǎn)F,試說明EF=DF.N2、如圖，在 ABC中，/ C=90° ,BC=6, D,E分別在AB,AC上，將 ABC沿DE折疊，使點(diǎn) A落在 點(diǎn)A'處，若A為CE的中點(diǎn)，貝朋痕DE的長為 （河北省中考題）3、如圖，在/ MON的兩邊上順次取點(diǎn)，使DE=CD=BC=AB=OA若/ MON=22，則/ NDE4、(高中恰存在、最多問題)在/ MAN中加入長度相同的小棒，已知AB=BC=CD=DE=EF=.,范圍?范圍?范圍?(1) 此角中只能放3根，求(2) 此角中恰能放6根，求(3) 此角至少能放9跟，求5、如圖，在 ABC中，/ A=45。，邊AC的垂

13、直平分線交邊 AB于E點(diǎn)，交CB的延長線于F點(diǎn)，垂足為D 求/ CEF的度數(shù)；(2)若AB=AC試比較EC與EF的大小，說明理由；(3)若EC=EF試比較 AB與AC的大小，說明理由6、如圖，四邊形 ABCD中，/ BAD=120 , / B=Z D=90° ,在BC,CD上分別找一點(diǎn) M,N，使 AMN周長最小時(shí)，則/ AMN社 ANM的度數(shù)為()(2012 年蘭州市中考題)A130 ° B120 ° C 110 ° D 100 °7、在平面直角坐標(biāo)系中，直線LG過點(diǎn)M(3, 0),且平行于Y軸。(南京市中考題)(1) 如果 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的

14、坐標(biāo)分別是A(-2 , 0),B(-1 , 0),C(-1 , 2) , ABC關(guān)于Y軸對稱圖形是 ABQ , A1B1C1關(guān)于直線L的對稱圖形是 A2B2C2,寫出 A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-a,0 ),其中a>0,點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn) P,點(diǎn)P關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)是點(diǎn)F2 ,求Pp2的長。試一試 對于(2),隨著a的取值不同，P與M有不同的位置關(guān)系。& ( 1)已知：如圖， AB=AC , BD平分/ ABC , CD平分/ ACB，過D作EF/ BC交AB于E，交AC于F, 則圖中有幾個(gè)等腰三角形 ？選出其中一個(gè)進(jìn)行說理。(2) 如圖，AB

15、=AC , BF平分/ ABC交AC于F, CE平分/ ACB交AB于E, BF和BE交于點(diǎn)D，且EF / BC,則圖中有幾個(gè)等腰三角形 ？(3) 如圖，若將第7題中的AB=AC去掉，其他條件不變，情況會如何？若厶ABC的周長為17, BC =乙你能求出 AEF的周長嗎?【打桌球趣味】1、如圖，在長方形球臺 ABCDk，現(xiàn)在要擊打 撞到Q球，求P求打擊的路線。P球，使它依次碰撞球臺的AB邊，BC邊，CD邊，AD邊后，恰好解作法:（1）作點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1，再作點(diǎn)P1關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P2 ;（2）作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對稱點(diǎn)Q,再作點(diǎn)Q關(guān)于DC的對稱點(diǎn)Q2;（3）鏈接p2Q2,分別交BC,CD于

16、 F,G,鏈接FP1交AB于點(diǎn)E,GQl交AD于點(diǎn)H,折線PEFGHQ卩為所求的路線。需要指出的是，上面求得的路線，恰好也是一條最短的路線。拓展（1）如圖，當(dāng)母球 P再AB邊中（不包括點(diǎn) A,B），先撞擊BC邊，反射到CD邊，再反射到 AD邊，最后 回到出發(fā)點(diǎn)，問母球 P的初始路線應(yīng)該滿足什么條件？（2）如圖，給出一張長，寬分別為a, b（ a = m ）的臺球桌，母球 P從桌的一個(gè)角落，以 45°角擊出，再b n桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入角落的一個(gè)球袋，問球落入球袋前，再桌子邊緣回彈多少次？2、如圖是一個(gè)精光改造的臺球桌面的示意圖， 圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔

17、。如果一個(gè)球按如圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)多次反射），那么該球最后將落入的球袋是（）（河北省中考題）3、臺球室一項(xiàng)高雅的體育運(yùn)動，其中包含了許多物理學(xué)，幾何學(xué)知識。如圖是一個(gè)臺球桌 目標(biāo)球F于本球E之間有一個(gè)G球阻擋。（蘇州市中考題）（1）擊球者想通過擊打E球先撞擊球臺的AB邊，經(jīng)過一次反彈后再撞擊 F球，他應(yīng)將E球打到AB邊上的哪一點(diǎn)？請?jiān)趫D中用尺規(guī)作出這一點(diǎn)H,并作出E球的運(yùn)動路線（不寫畫法，保留作圖痕跡）；（2）如圖，現(xiàn)以D為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，記 A（0,4）,C（8，0）E（4，3）,F（7，1）,求E球 按剛才方式運(yùn)行到 F 球的路線長度（忽略球的大?。?、如圖，一個(gè)臺球桌是

18、直角三角形的，如果從斜邊上某點(diǎn)朝著垂直于斜邊的方向擊出臺球，那么球再其他兩個(gè) 直角邊上反彈后，又能回到斜邊上，請證明：臺球滾過的距離長于擊球點(diǎn)的位置無關(guān)（臺球反射時(shí)服從入射角等于反射角的規(guī)律）（俄羅斯薩文市競賽題）【直角三角形初步探討】解讀課標(biāo)直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質(zhì)：角的關(guān)系：兩銳角互余； 邊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和； 邊角關(guān)系：30°所對的直角邊等于斜邊的一半。這些性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計(jì)算，證明線段倍分關(guān)系，證明線段平方關(guān)系等方面。熟悉下列基本圖 形，基本結(jié)論：1、我們知道3，4,5是最簡單的勾股數(shù)，折表明三邊長為連續(xù)整數(shù)的直角三角形是存在的，并且

19、 只有一個(gè)（為什么？），由此研究邊長為連續(xù)整數(shù)的三角形。問題：（1）三邊長為連續(xù)整數(shù)的鈍角三角形存在嗎？如果存在，有多少個(gè)?（2）三邊長為連續(xù)整數(shù)的銳角三角形存在嗎？如果存在，有多少個(gè)?分析與解 對于（1），設(shè)三遍長分別是x-1，x，x+1（x為大于1的整數(shù)）,則（x+1） 2 >x2+ （x-1 ） 2，整理得 x （x-4 ） <0. 0<x<4，x=2,3當(dāng)x=2時(shí)，邊長為1，,23的三角形是不存在的故三邊長為連續(xù)整數(shù)的鈍角三角形也只有一個(gè)，這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，這種銳角三角形有無數(shù)個(gè)，只要設(shè)x為大于4的整數(shù)，那么以x-1，x，x+1為三遍的三角形都為銳角三角

20、形，（為什么？）2、用直角邊分別為 3和4的兩個(gè)直角三角形拼成凸四邊形，所得的四邊形的周長是 3、 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別是6m 8m現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的三角形，則擴(kuò)充后等腰三角形的周長為 4、在銳角三角形中，已知某兩邊 a=1，b=3,那么第三邊的變化范圍是 5、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OAB（為矩形，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（3,0 ），（3,4 ），動點(diǎn) M,N分別從0,B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，其中，點(diǎn) M從0點(diǎn)出發(fā)沿0A向終點(diǎn)A運(yùn) 動。點(diǎn)N從B出發(fā)沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)N作NP丄BC,交AC于P,連MP若

21、M,N兩動點(diǎn)運(yùn)動了 x 秒。（蘇州市中考題）（1）設(shè)厶MPAS積為y,試求y與x的函數(shù)關(guān)系試；（2）請你探索：當(dāng)x為何值時(shí)， MPA!個(gè)等腰三角形?【等邊三角形的探討】等邊三角形是特殊的等腰三角形，有以下豐富的性質(zhì):1. 三邊相等，每個(gè)角都是60°2. 每條邊上的高線，中線，所對角的平分線互相重合；3. 等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三遍距離和是一個(gè)定值，等于一邊上的高c4. 若等邊三角形的邊長為a，則等邊三角形的面積為判定等邊三角形的基本方法有:1. 從邊入手，證明三邊相等；2. 從角入手，證明三角形相等或證明兩個(gè)角都是 60°3. 從邊角入手，有一個(gè)角為60°的等腰三