一輪復習之導數(shù)

1、第一講、變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算考點一：導數(shù)的運算【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)；(1)變式1求下列函數(shù)的導數(shù);(1) _r=- ' -X + COSXx + sinx(3)丁 = i+ 2 <.變式 2 |已知 f(x)= * + 2“(2016) +20】61nx,則/(2016) =考點二：導數(shù)的幾何意義命題角度一、求切線方程【例2】已知函數(shù) =-:+-'（1）求曲線 、佇譏；：二，:£（2）求經(jīng)過點;.-.' 、變4設為實數(shù)，函數(shù)/（刃+處乞+ 3）戈的導函數(shù)為/（戈）,且/ W&偶幽數(shù)則曲線p = /（巧在點（2（2）處的切線方程為命題角度二

2、求切點坐標【例3】（1）設曲線上點P處的切線垂直，則P的坐標是（2）若點P是曲線丁=一|.= 1的最小距離為命題角度三求參數(shù)的值【例4】（1）已知函數(shù),卄| .:II -.=（2）已知曲線 I' = .v-M , .+1 相切，則訂=第二講、導數(shù)與函數(shù)的單調性考點一：禾I用導數(shù)判斷(證明)函數(shù)的單調性【例1】已知函數(shù).=:-.-1.討論函數(shù)的單調性;4變式1已知函數(shù)f(x) = ax3 + x2(a e RY/Vx = -戈處耳乂得極值c(1) 確定訐：(2) 若:寸 A =. I考點二、利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間【例2】已知函數(shù)-= . U .處的切線垂直于直線r = （1）求&quo

3、t;I':（2） 求函數(shù)匚為戲麗口汀，考點三、利用導數(shù)解決函數(shù)單調性的應用問題命題角度一、已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍【例3】已知函數(shù) =- I .（1）若'+ . I . I.':（2）若 :：趕匡zm二碎涵敘 蕊黨筍饌置翦孔（2）若.一 * 丨'變式1已知函數(shù)且其導雷數(shù)y = TM的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是（）命題角度二、比較大小或解不等式【例 4】（1）若-. - -'i 一 :A”一、 '卜 IC: : -；（2）已知函數(shù).=| .,*則不等式X1<4r + 4的解集為變式1已知/ （工）是定義在（0, +8）上的函數(shù)*

4、/罐fO）的導函數(shù)，且總有/U） > xf（X），則 不等式 汪:心百謬饕為：A.'、 二+ - "I一 一 第三講、導數(shù)與函數(shù)的極值與最值考點一：運用導數(shù)研究函數(shù)的極值【例1】設八 -=-1 . - I.（1）當樸二.-.=.i:- .1-.I I ; （2）求函數(shù) F泄底弘變式1若函數(shù)=-2ex2 + x極値點，則實數(shù)亡的取值范國為（）變式2已知x = 2是鑿數(shù)_f（x） = * Bax + 2的極小值點，那么函數(shù)/（斗）的極大值為（）AA5 16 C 17 D. 18考點二：運用導數(shù)研究函數(shù)的最值【例2】已知函數(shù)=:-(1) 求H用遢.遂環(huán)(2) 求，：丨I .1

5、變式1函數(shù)/(x) = lnx-x在區(qū)間(0,可上的蟻大值為()/ 1 C 一 £ D. 0變式2已知函數(shù)廣(戈)=Inx + a() x).(1) 討論訕漑冷企(2) 當，.-I考點三：函數(shù)的極值與最值的綜合問題【例 3】已知函數(shù) =I =丨-.;I = 當2玄=丁時，y =極值,(1) 求 ，.：迄仕(2) 求工=“ I : I-變式1已知函數(shù)f(x)=倣+加+ £在點x = 2處取得極值C-L6.(1)求-一i ；(2)若 : I :!- i函數(shù)與導數(shù)核心解答題核心考點一 含參函數(shù)的單調性（區(qū)間）、極值與最值解法突破：第一步：（定義域）求函數(shù)的定義域；第二步：（導函數(shù)

6、）求導函數(shù)；第三步：（導函數(shù)零點）以導函數(shù)的零點存在性進行討論；第四步：（零點大?。┊攲Ш瘮?shù)存在多個零點時，討論它們的大小關系及與區(qū)間端點的位置關系;第五步：（研究主“導”函數(shù)）畫出主“導”函數(shù)的草圖，判斷符號。第六步：（寫出單調區(qū)間）根據(jù)第五步的草圖，確定單調區(qū)間；第七步：（綜上所述）綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調區(qū)間。方向一、導數(shù)的靈魂含參函數(shù)的單調性【例6.1】設函數(shù)=.求函數(shù) m的單調區(qū)間。變式1.設函數(shù) =r +，討論函數(shù)：'門的單調性。【例6.2】設函數(shù)=/ :： +的單調區(qū)間。變式1.已知函數(shù)=,，求函數(shù) /（工）的單調區(qū)閭“【例6.3】設函數(shù)=並判斷函數(shù)/&q

7、uot;）在區(qū)間號上的單調性，并求最大值和最小值。變式1.已知函數(shù)= 亠亠 -.在點I |處的切線方程為工=4。(1) 求a,b的值;(2)求f(x)的單調區(qū)間。方向二、求含參函數(shù)的極值與最值類型一含參函數(shù)的極值問題 解法突破：含參函數(shù)的極值問題，核心還是含參函數(shù)的單調性?！纠?6.4 】已知 =''1 -/|，求函數(shù) | 變式1.已知函數(shù)=I ：的導函數(shù)二-的兩個零點為-沖(1) 求瓠爲三忙(2) 若.人的極大值。變式2.已知函數(shù)=一 .- R o(1) 當，/ = 2時，求曲線= 在點|；處的切線方程；(2) 設函數(shù) =+ I .、"：.，討論的單調性并判斷有無極

8、值，有極值時求出極值。類型二函數(shù)確定、區(qū)間含參的最值問題解法突破：求最值的原理是不變的，這里要注意的是需按區(qū)間與函數(shù)定義域的關系分類討論。 【例6.5】已知函數(shù)=的定義域為： I，4。X 1(1)求函數(shù)訓汀I-(2)求函數(shù)-I I . -F I .- I '變式1.已知函數(shù)f(x) = 3x2 + 1,g(x)=x3 - 9x若函數(shù) 七-上的最大值為28，求k的取值范圍。類型三函數(shù)含參、區(qū)間確定的最值問題 解法突破：超越函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))的最值一般都是利用導函數(shù)求單調性或極值得到的，函數(shù) 在區(qū)間上的最大(小)值，若不是區(qū)間端點值就是極大(小)值?！纠?.6】已知函數(shù)=

9、, ；.(1) 若心；.；上是增函數(shù);(2) 求f(x)在1, +R)上的最小值。變式1.已知函數(shù)二.| .=. -(1) 若曲線.=,., 在它們的交點：處具有公共切線，求 a,b的值；(2) 當+ _"；.求函數(shù)匕：汀卩鬥訂二 并求該函數(shù)在區(qū)間，-IJ上的最大值。類型四函數(shù)含參、區(qū)間含參的最值問題【例6.7】已知函數(shù)g -=+(1) 若汀=丨、求曲線= 在點處的切線方程；(2) 若 I丨，求；'- J :類型五已知最值、求參數(shù)的值域或范圍問題解法突破：已知函數(shù)最值，求其中參變量，扔按求最值的思路與步驟進行，列出有關參數(shù)的方程或不等式求其參數(shù)值或范圍?！纠?.8】已知函數(shù)鶴

10、.二.（1）當；.I':（2）若 二旳丁，.叮上峯號御迭 役疚阿閥耳變式1.已知函數(shù)=二+-（1） 討論的單調性；（2）當 有最大值，且最大值大于核心考點二函數(shù)的零點問題思路提升：研究函數(shù)/（巧的零點問題常常與研究相應方程 "）=0的實根問題相互轉化。1、 已知含參函數(shù)/（”）存在零點（即至少有一個零點），求參數(shù)范圍問題，一般可化為代數(shù)問題求解，即對/（巧=0 進行參變分離，得到 a = （x）的形式，則所求a的范圍就是 鞏刃的值域。2、 當研究函數(shù) 廣（耳）的零點個數(shù)問題，即方程/匕）=的實根個數(shù)問題時，也常要進行參變分離， 得到a =）的 形式，然后借助數(shù)形幾何（幾何法）

11、思想求解。方向一、方程解（函數(shù)零點）的個數(shù)問題 類型一函數(shù)零點的個數(shù)問題的處理理論解法突破：函數(shù)零點的個數(shù)問題考查的核心是函數(shù)零點的存在唯一性定理：函數(shù)在區(qū)間上具有單調性,且滿足 ， ，則函數(shù)在區(qū)間；.上具有唯一的零點?！纠?.9】設函數(shù)=一一 -且廠二 / . |' 1 1（1）求，.（2）求函數(shù)：亦社莘詞悶鬲（3） 若函數(shù) =有3個不同的零點，求實數(shù) b的取值范圍。變式 1.已知.'.=1，-. ;= .（1）求實數(shù)b的值。求函數(shù):二觸仁機 當t： = I .是否同時存在實數(shù)': . 1.|I ./與曲線r =（蟲|都有公共點，若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)

12、M若不存在，請說明理由。變式2.已知函數(shù)=-：亠=一 ”，是否存在實數(shù) m,使得 = 的圖像與=有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。類型二驗證零點存在性的賦值理論【例6.10】設函數(shù)二.-L.（1）當i '. I .- 點處的切線方程;（2）求沖勺牟寫（3）若函數(shù)：.'1. . | .-變式1.討論 .=<-：.r -的導函數(shù)的零點個數(shù)。變式2.已知函數(shù)=：.+. . °(1) 討論了 ： I ：(2) 若有兩個零點，求實數(shù) a的取值范圍。類型三可轉化成研究函數(shù)零點個數(shù)的問題1、含參函數(shù)在區(qū)間上不單調，求參數(shù)范圍【例6.11】

13、設函數(shù) =亠，一I,其中 若函數(shù).,；匸.1( 0,3 )上不單調，求k的 取值范圍。變式1.已知函數(shù).（1）設心川替止時頁（2）在（1 ）的條件下，若函數(shù).=+ （其中.汁婪）在區(qū)間（1,3）上不是單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。3、函數(shù)的極值點個數(shù)【例6.12】設常數(shù)u . 二 l. <1 十-f1（1）當“ =-I I . J I（2）求證:力匸嗆怦.隠汽憶變式1.已知函數(shù)- 在區(qū)間| -（ e是自然對數(shù)的底數(shù)）上有且只有一個極值點，求實數(shù)"的取值范圍。方向二、函數(shù)中的隱零點問題精品文檔解法突破：解決函數(shù)零點問題時，常分顯零點（可以求出具體的零點）、隱零點（零點不可求，可通

14、過圖像了解零點個數(shù)，可通過方程了解零點范圍及對零點進行應用）【例6.13】已知函數(shù)的圖像在點A（ 1, f）處的切線與直線,7+-： = "平行，求證:函數(shù).=口滬二變式1.當 |. 1譏恒成立，求整數(shù)k的最大值。方向三、函數(shù)零點問題中有關雙零點關系的研究類型一兩零點是二次函數(shù)零點解法突破：當研究的兩零點是二次函數(shù)的零點時，此時可認為兩零點的關系是明確的，可根據(jù)根與系數(shù)的關系得到兩根滿足的要求，消元后進一步求解?！纠?.14】已知函數(shù)=：.-，且不等式:，-! : .-恒成立，求實數(shù) m的取值范圍。變式1.已知函數(shù)二-.-. 若函數(shù)上*7!：專工，且所有極值之和小于5 -求實數(shù)汀的取

15、值范圍。變式2.已知函數(shù)=處的切線，一 i= 十 一（i）求實數(shù)曲r： 設.i :是函數(shù) 的兩個極值點，若j類型二-兩零點關系不明確解法突破：當兩零點關系不明確時，要利用降元思想，將雙元不等式轉為單元不等式，即通過人為或者利用函數(shù)的性質構建關系解決，具體途徑有二： 設函數(shù)零點 zdJ 熾選取f=£為主元，將斯4心肥一禺山心,丄亠丄曲建立關工I竝 x2于t的函數(shù)，用函數(shù)思想建立數(shù)量關系，借助導數(shù)這一工具證明不等式； 利用轉化思想，將函數(shù)不等式轉為函數(shù)單調性求解，即將含乳與孔的形式歸到同一個單調區(qū)間上，由-心）二f （對建立橋梁，轉化為單元不等式證明?！纠?.15】已知函數(shù)二一 ，求證：

16、-、.變式1已知函數(shù)=, -.求證：工 二變式2已知函數(shù)=的兩個零點為，試判斷一4的正負，并說明理由。變式3已知函數(shù)= 一 '有兩個零點.| A- -.- :1.核心考點三不等式恒成立與存在性問題方向一、函數(shù)中的恒成立問題解法突破：我們所研究的函數(shù)中的恒成立問題即在不等式恒成立的條件下，求參數(shù)的取值范圍問題。核心思想是轉化，即將恒成立問題轉化為最值問題求解。轉化途徑有：1.分離自變量與參變量；2.不分離自變量與參變量。對于是否分離自變量與參變量的標準在于區(qū)間端點值代入驗證，看不等式是否取等號。若區(qū)間端點值代入，不等式取等號，則不分離自變量與參變量；若區(qū)間端點值代入，不等式不能取等號，則

17、可以分離自變量與參變量。分離自變量與參變量的作用在于有效地避免對參數(shù)的討論。若不分離自變量與參變量，接下來可有以下三種方法來求解。解法一：整體分析法，即構造函數(shù)分析單調性，求最值。解法二：從充分條件入手，找到目標成立的一個充分條件，得到參數(shù)范圍A,再驗證c*顯對于不等式不恒成立，從而得到參數(shù)范圍。如對含參數(shù)燈的函數(shù)代町詈策土0（0） =0（町孑0恒成立，求a的取值范圍，可以大膽假設目標成立的充分條件是 /（刃單調遞增，即/（x） 0（x0），得出參數(shù)a的范圍，再證明其范圍的補集不能使 f（x） 0 恒成立，即找到一個反例即可，這樣綜合求得參數(shù)范圍。解法三：從必要條件入手，即找到目標成立的必要條

18、件，其目的是縮小參數(shù)范圍，有效地避免復雜的討論，得出范圍A，再證明充分性（即在此范圍內(nèi)，目標成立），綜合求得參數(shù)范圍。如對于含參數(shù)a的函數(shù) /'（尤）詡工2山只0） =0, H7V）鼻。恒成立，求a的范圍，則可先得出a所要滿足的必要條件， 即f （仍鼻0 ,得出參 數(shù)a的取值范圍，再證明在此范圍內(nèi)，不等式恒成立。類型一恒成立問題處理理論【例6.16】（1 ）若,-./ 對任意yi甘恒成立，求a的范圍；（2）若-Ji對任意 - + 恒成立，求a的范圍；變式1.若.l.+ 恒成立，求a的取值范圍。變式2.若.一 恒成立，求a的范圍。變式3.設函數(shù)=門'(1) 討論的單調性；(2)

19、當.- I -，求a的取值范圍。類型二可轉化為不等式恒成立類型的問題解法突破：很多的問題可以通過數(shù)學語言進行轉化，將問題轉化為恒成立問題解決?！纠?.17】已知函數(shù)=：-.在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍。變式1.已知函數(shù)=；'：. +丄+，.'.(1)當“汕采小焜忌八m(2)若疋在氐Z3上是單調函數(shù)，求 a的取值范圍。亨 2變式2.已知函數(shù).(1) 討論：. I .:(2) 若對任意' -恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。方向二、函數(shù)中的存在性問題 解法突破：我們所研究的函數(shù)中的存在性問題即在不等式有解的條件下，求參數(shù)的取值范圍問題。(1)若函數(shù)fG)在區(qū)間d上存右昴小

20、值/(“)耐=刖和最大值f 3中=并山叮(上)丘則對不等式有解問題有以下結論：不等式a</(x)在區(qū)間D匕有解不等式在區(qū)間D上冇解呂*/心 不等式b >在區(qū)間Q上肴解（嘰二 不等式 W（刃在區(qū)間。I '冇解Q心皿（2） 若函數(shù)/（求）在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為（ m,n）則不等式有解問題有以下結論： 不等式a<f（x）（或燈0?。ㄇ桑┤螀^(qū)間D上有解U; 不等式b>f（x）（b左f （幻）在區(qū)間D上有解o占 >旳類型一存在性問題處理理論【例6.18】已知函數(shù)='。若存在護氓窓乜應紐心汙沁;成立,求a的取值范圍。變式1.已知函數(shù)二丄+ .

21、II - L? 若在區(qū)間二土二心I，八宀.使得:、 I ：" . ' ,求實數(shù)a的取值范圍。變式2.已知函數(shù)=斗.-'曲線r= ：. : -處的切線斜率為0.（1）求 b;（2）若存在 ：、' ,.的取值范圍。Q1類型二可轉化為存在性類型的問題【例69】已知函數(shù)一-+_（1）若函數(shù)（:I- '：- / ；上存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍;（2）當u，函數(shù)上的最小值為:，求函數(shù).逐芫斃變式1.已知函數(shù)=+.且函數(shù)丨 + 上存在單調遞增區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍。方向三、函數(shù)中恒成立與存在性的綜合問題解法突破：對于任意的曲e S盯慮存在出匸也昇,使才（耳）

22、之£（帀）0£（工1）儷鼻寓（吧）網(wǎng)"對于任意的曲£ 算上,總存住曲匚帥胡,使/（禹）W蓉（對0/（斯） Wg3）m；對于任意的簡E 碼砒小=叫打,使/（XL）王&（忌）令/（%）喚；存在斗E g你任意的助E mtn，使/（抑 W g3）。/（耳幾用鞏出）“【例6.20】已知函數(shù)='.= 1-:(1) 求函數(shù)衣兇函岡小(2) 求證：當:.；.寸，：就i：d：&匚.八忌<?；：；気 uj成立。v ?變式1.已知函數(shù)求證：對任意廠.：二：+ I ' : :'e e若對任意的1n【例6.21】已知函數(shù)=-+ 一上-

23、設 = 一 =V, - :'- I-.：，求實數(shù)b的取值范圍。變式1.已知函數(shù)=.,r I ；I.（1）求 的單調區(qū)間；（2）設<求a的取值范圍。核心考點四函數(shù)不等式的證明思路提示：構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或最值，從而證得不等式，而構造輔 助函數(shù)是導數(shù)證明不等式的關鍵，構造輔助函數(shù)的一般方法及解題程序如下：1、 移項（有時需要作簡單的恒等變形），使不等式的一端為 0，另一端即為所作的輔助函數(shù) -2、 求八門沖曲在指定區(qū)間上的增減性；3、 求出區(qū)間端點的函數(shù)值（最值），作比較即得所證。方向一函數(shù)不等式的證明理論【例6.22】證明不等式：,-|變式1

24、.證明不等式：-: + .變式2.證明不等式：；“卜+2.方向二函數(shù)不等式證明中的變形原理解法突破：不等式證明過程中通常涉及兩類問題，即不含參函數(shù)與含參函數(shù)，常見的表達式主要是 護，In工以及關丁工的單項式或多項式的混合形式，下面梳理了幾種常見的形式進行講解：類型一涉及“幕函數(shù)”與“ lnx ”的積商形式解法突破：對于這類函數(shù)，一般來說，每次求導，多項式的次數(shù)就降低一次，但最終的導數(shù)形式需化成不含“Inx ”的式子，如 心 =(x + )nx，需兩次求導，才能化成不含“l(fā)nx ”的式子，如將“ lnx ”分離出來，只需一次求導，即可化成不含“ lnx ”的式子，所以我們在解決這類問題時，要盡可

25、能把“alnx(a是非零常數(shù))”分離出來?！纠?.23】已知、:耳4 I x 兀一 I變式 1.已知函數(shù)=:+-.1 I - I : .I.I.變式2.已知函數(shù)=：、+"' （1）求a,b的值；（2）如果當： :=.+ I . T類型二 涉及“ i ”與“ Inx ”的和差形式設為-.解法突破：對于原函數(shù)中含有 廣Tiu的混合形式，可通過隱零點（導函數(shù)/ （x）的零點不能具體算出時, 它滿足方程/'（心）=0）所在的方程，將 b與5工轉化為幕的形式處理，簡化不等式?！纠?.24】設函數(shù)=l 一.：i；.（1）討論 ，尬日囪割汽工謬止磴葉妁2（2）求證：當(1) 設一是.-.丨.：I ' (2) 當"廠|.類型三 涉及“幕函數(shù)” “”與“ Inx ”的混合形式解法突破：對于同時含有幕函數(shù)、亍初血的形式，一般的處理方法或思路是將 £工與含菲函數(shù)形式的f弋數(shù)式配對，以及將liu與幕函數(shù)形式的代數(shù)式進行配對?！纠?.25】設函