函數(shù)背景下的三角形綜合問題探究

1、函數(shù)背景下的三角形綜合問題探究摘 要：函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合問題主要有兩類，一類是以函 數(shù)知識為背景，考查幾何相關(guān)知識；另一類是利用幾何圖形的直觀 性、幾何圖形的性質(zhì)，建立幾何圖形中各元素之間的函數(shù)關(guān)系式， 建構(gòu)數(shù)量間的函數(shù)模型。三角形是最基本的幾何圖形，是研究幾何 問題的關(guān)鍵，特別是等腰三角形和直角三角形。 關(guān)鍵詞：函數(shù)背景；綜合問題；方程思想在初中學(xué)習(xí)階段， 函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合問題主要有兩類， 一類 是以函數(shù)知識為背景，考查幾何相關(guān)知識；另一類是利用幾何圖形 的直觀性，幾何圖形的性質(zhì)建立幾何圖形中各元素之間的函數(shù)關(guān)系 式，建構(gòu)數(shù)量間的函數(shù)模型。而三角形是最基本的幾何圖形，是研 究初中幾

2、何問題的關(guān)鍵，特別是等腰三角形和直角三角形。 函數(shù)背景中的幾何問題，常常用到數(shù)形結(jié)合、分類討論、 方程思想 等數(shù)學(xué)思想方法，在具體問題中要滲透這些思想方法，有助于我們 解決這類問題。一、平面直角坐標系中的三角形問題例 1.在平面直角坐標系中，已知點 a (2,1 ),若點 b 在坐標軸上， 且厶oab 為等腰三角形，則點 b 坐標為 .分析：在本題中，最重要的信息是“ oab 為等腰三角形”，而等 腰三角形的條件往往需要我們用分類的思想進行研究， 找出符合條 件的點 b.1.若 ob=oa=時，如圖 1-1，以原點為圓心，oa 長為半 徑畫圓，圓與坐標軸的交點就是我們要找的點b,而且可以直觀的

3、 得出 bl (0, ) ,b2 (- ,0 ) ,b3 (0,- ) ,b4 ( ,0 ) ;2.若 ab=ao= 時，如圖 1-2 ，以 a 點為圓心， oa 長為半徑畫圓，圓與坐標軸的 交點就是我們要找的點 b,再根據(jù)等腰三角形的對稱性可直接得出 b5( 0,2)，b6( 4,0)； 3.若 bo二ba 時，此時，點 b 一定在線段 oa 的 垂直平分線上,過 oa 中點 c( 1, 0.5 )作 oa 的垂線與坐標軸的交 點就是我們要找的點 b (如圖 1-3)，再作 ad 丄 y 軸于點 d (0, 1), 可知 daoscb7o,設(shè) b7 (0, a),由相似可得： =,即：二=,

4、a=2.5 ,所以 b7(0,2.5),同理可得 b8(1.25, 0)。小結(jié)：在本題中, 坐標系只是提供的一個背景,主要還是考查等腰 三角形的分類和應(yīng)用方程思想解決問題,同時要關(guān)注數(shù)形結(jié)合 . 本 題也可以進行拓展,例如將條件中的“等腰三角形”換成“直角三 角形”進行研究。二、函數(shù)與三角形綜合問題 在初中階段研究的函數(shù)主要是一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù), 而三角函數(shù)在初中階段并不研究它的圖像和性質(zhì)。反比例函數(shù)涉及 反比例關(guān)系,它與幾何綜合時一般難度比較大,不是初中研究的重 點內(nèi)容。所以,我們主要以一次函數(shù)和二次函數(shù)為例進行探索研究。例2.如圖， 直線I與x軸， y軸分別交于a (6,0 )

5、, b (0,3 )兩點， 點 c(4,0 )為 x 軸上一點,點 p 是直線 l 上的一點。(1)直線 I 的解析式為 ；(2)存在點卩，使厶 poc 為等腰三角形，這樣的點 p 共有 個;若點 p 在第二象限，坐標是 ; 若在第四象限，點 p 坐標是 ；(3)存在點卩，使厶 poc 為直角三角形，這樣的點 p 共有 個，坐 標分別是 。分析：問題 1 考查的是一次函數(shù)的解析式， 根據(jù)待定系數(shù)法可得直 線l 的解析式： y=- x+3。問題 2 中關(guān)鍵信息是“ poc 為等腰三角形”，所以還是要根據(jù)等 腰三角形的條件進行分類討論，此時，我們可以和例 1 中的問題進 行類比，可以發(fā)現(xiàn)，這兩個問

6、題的本質(zhì)是一樣的，區(qū)別在于未知點 p 的位置由坐標軸改變?yōu)橹本€ I，具體研究方法借助例 1 中的方法 進行研究。問題 3 中關(guān)鍵信息是“ poc 為直角三角形”，而直角三角形中哪 一個點是直角頂點是我們分類的標準。(1)若/ pco=90時，如圖 2-1，過點 c 作 x 軸的垂線交直線 I 與點 pl，此時 ploc 是以點 p 為直角頂點的直角三角形，點 p1 橫坐標為 4，且點 p1 又在直線 I 上，所以 pl 的坐標為(4, 1); (2)若/ cop=90時，此時點 b 就 是我們要找的點 p2,所以，當 p2 (0,3 )時， p2oc 是以 o 為頂點 的直角三角形；(3)若/ opc=90時，以 oc 為直徑畫圓，發(fā)現(xiàn)， 可以發(fā)現(xiàn)，它與直線 I 有 2 個交點，說明此時符合條件的點 p 有 2 個，設(shè)此時點 p 坐標為( a,- a+3) , 由勾股定理可得： po2=a2+(- a+3) 2= a2- 3a+9,pc2= (a