252圓的切線判定與性質(zhì)課件精編版

1、 2.5.2圓的切線圓的切線 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓心到直線的距離為 d，圓的半徑為r，則： (1) 當(dāng)當(dāng)d r時(shí)直線和圓直線和圓沒有沒有公共公共點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓叫做直線和圓相離相離 .O .切點(diǎn) A L切線 .O l 直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系: 一般的，設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線L的距離為d，則有： （1）直線L和O相交 dr 注明注明:符號(hào)符號(hào)” “讀作讀作”等價(jià)于等價(jià)于”.它表示從左端可以推出右端它表示從左端可以推出右端,并且從右并且從右端也可以推出左端端也可以推出左端. ks5u精品課件 探究： 如圖，如圖，OA是是O的半徑，經(jīng)過的半徑，經(jīng)過OA

2、的外端點(diǎn)的外端點(diǎn)A，做，做l OA，圓心，圓心O到到 直線直線 l 的距離是多少？的距離是多少？一條直線一條直線 l 和和O有怎樣的位置關(guān)系？有怎樣的位置關(guān)系？ 直線直線 圓心圓心O到直線到直線 的距離等于半的距離等于半OA l 當(dāng)當(dāng)d =r時(shí)，直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓叫做直線和圓相切相切,這條直線叫這條直線叫圓的切線圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn) O r A l 由此得出： 切線的判定定理切線的判定定理 ： 經(jīng)經(jīng)過半徑過半徑的的外端外端并且并且垂直垂直于這條于這條半徑半徑的的直直線線是是圓的切線圓的切線。 切線的判定定理切線的判定定理 ： 經(jīng)經(jīng)過

3、半徑過半徑的的外端外端并且并且垂直垂直于這條于這條半徑半徑的的直直線線是是圓的切線圓的切線。 幾何符號(hào)表達(dá)：幾何符號(hào)表達(dá)： O r A l OA OA是半徑，是半徑，OAOAl于于A A l是是O O的切線。的切線。 1. 過半徑的外端的直線是圓的切線（過半徑的外端的直線是圓的切線（ ） 2. 與半徑垂直的的直線是圓的切線（與半徑垂直的的直線是圓的切線（ ） 3. 過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（ ） O l O O l A r A 判判 斷斷 r A r l 利用判定定理時(shí)，要注意直線須具備以利用判定定理時(shí)，要注意直線須具備以下兩個(gè)條件下兩個(gè)條

4、件, ,缺一不可缺一不可: : (1)(1)直線經(jīng)過半徑的外端直線經(jīng)過半徑的外端; ; (2)(2)直線與這半徑垂直。直線與這半徑垂直。 例例1 如圖。已知直線如圖。已知直線AB經(jīng)過經(jīng)過O上的點(diǎn)上的點(diǎn)C，并且，并且OA=OB，CA=CB。 求證：直線求證：直線AB是是O的切線。的切線。 O A C B 1. 如圖如圖A是是O外的一點(diǎn)，外的一點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線交O于于C，直線直線AB經(jīng)過經(jīng)過O上一點(diǎn)上一點(diǎn)B，且，且ABBC，30. 求證：直線求證：直線AB是是O的切線的切線. BCOA如圖如圖,如果直線如果直線I是是O的切線的切線,A是切點(diǎn)是切點(diǎn),那么半徑那么半徑OA與與L垂直垂直嗎嗎?

5、 反證法： l 與半徑OA不垂直 假設(shè)直線 過圓心O做OB l 與點(diǎn)B 又 垂線段最短 OBOA O l A B 圓心O到直線 l 的距離小于半徑 l 是O 即直線 與O相交，這與已知直線 l 的切線相矛盾 直線 l OA 如圖如圖,如果直線如果直線I是是O的切線的切線,A是切點(diǎn)是切點(diǎn),那么半徑那么半徑OA與與L垂直垂直嗎嗎? O 切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理: l A B 圓的切線圓的切線垂直垂直于于過切點(diǎn)的半徑過切點(diǎn)的半徑. 幾何符號(hào)表示： l 切O于點(diǎn)于點(diǎn) 直線 l OA 切線的定理切線的定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 因?yàn)橐驗(yàn)榻?jīng)過一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂

6、直經(jīng)過一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直 ，所，所以以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)； 反之反之,過切點(diǎn)且垂直于切線的直線也必過圓心過切點(diǎn)且垂直于切線的直線也必過圓心 由此得到切線的性質(zhì)定理的推論：由此得到切線的性質(zhì)定理的推論： 推論推論:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)過切點(diǎn) 推論推論:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心線必經(jīng)過圓心 O. lA 例3 如圖，AB是O的直徑，C為O上的一點(diǎn)，BD和過點(diǎn)C的切線CD垂直，垂足為D， 求證：BC平分ABDABD C D A O B 例4 已知：如圖，AB

7、是O的直徑 分l l2 1 別是經(jīng)過點(diǎn)A,B的切線 A 求證：l 1 l2 l1 O B l2 由此得出切線性質(zhì)推論： 經(jīng)過直徑兩端點(diǎn)的切線互相平行 想一想想一想 判斷一條直線是圓的切線，你現(xiàn)在會(huì)有多少種方法判斷一條直線是圓的切線，你現(xiàn)在會(huì)有多少種方法? 切線判定有以下三種方法切線判定有以下三種方法: : 1. 1.利用切線的定義利用切線的定義: :與圓有唯一公共點(diǎn)的直線與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。是圓的切線。 2. 2.利用利用d d與與r r的關(guān)系作判斷的關(guān)系作判斷: :當(dāng)當(dāng)d dr r時(shí)直線是圓時(shí)直線是圓的切線。的切線。 3. 3.利用切線的判定定理利用切線的判定定理: :經(jīng)過半徑

8、的外端并且經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 例例2 已知：已知：O O為為BACBAC平分線上一點(diǎn)，平分線上一點(diǎn)，ODABODAB于于D,D,以以O(shè) O為圓心，為圓心，ODOD為為 B 半徑作半徑作O O。 D 求證：求證：O O與與ACAC相切。相切。 O A E C 小小 結(jié)結(jié) 例例1 1與例與例2 2的證法有何不同的證法有何不同? ? B D O O A E A B C C (1) (1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn) , ,則連結(jié)這點(diǎn)和則連結(jié)這點(diǎn)和圓心圓心, ,得到輔助半徑得到輔助半徑, ,再證所作半徑與這直線垂直。再

9、證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：有交點(diǎn)有交點(diǎn), ,連半徑連半徑, ,證垂直證垂直。 (2) (2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn)點(diǎn), ,則過圓心作直線的垂線段為輔助線則過圓心作直線的垂線段為輔助線 , ,再證垂線再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為： 無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn), ,作垂直作垂直, ,證半證半徑徑。 練練 習(xí)習(xí) 如圖，如圖，AOBAOB中，中，OAOAOBOB1010，AOBAOB120120，以，以O(shè) O為圓心，為圓心， 5 5為半徑的為半徑的O O與與OAOA、OBOB相交。相交。 求證：求證：ABAB是是O O的切線

10、。的切線。 O A C B 練 習(xí) 如圖如圖, ,ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB為直徑的為直徑的O O交邊交邊BCBC于于P P， A PEACPEAC于于E E。 求證求證:PE:PE是是O O的切線。的切線。 證明：連結(jié)證明：連結(jié)OPOP。 AB=AC,B=CAB=AC,B=C。 OB=OPOB=OP，B=OPBB=OPB， OBP=COBP=C。 OPACOPAC。 PEACPEAC， PEC=90PEC=90 OPE=PEC=90 OPE=PEC=90 PEOPPEOP。 PEPE為為0 0的切線。的切線。 O E B P C 例3 如圖如圖ABAB是是O O

11、的直徑的直徑.AE.AE是弦是弦, EF, EF是是O O的切線的切線,E,E是切點(diǎn)是切點(diǎn),AFEF,AFEF, 垂足為垂足為F,AEF,AE平分平分FABFAB嗎嗎? ? F E A O B A 例4 ?如圖如圖CB是是O的切線的切線,C是切點(diǎn)是切點(diǎn),OB交交O于于D, B30,BD=6cm,求求BC O D B C 練習(xí)：練習(xí)：如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)P在在0外，外，PC是是0的切線的切線,切點(diǎn)是切點(diǎn)是C.直線直線PO與與0交于交于A、B,試探求試探求P與與A的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系. C . O A B P 課堂小結(jié) 1. 1. 判定切線的方法有哪些？判定切線的方法有哪些？ 與圓有唯一公共點(diǎn)與圓有唯一公共點(diǎn) 直線直線l 與圓心的距離等于圓的半徑與圓心的距離等于圓的半徑 經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑 l是圓的切線是圓的切線 l是圓的切線是圓的切線 l是圓的切線是圓的切線 2. 2. 常用的添輔助線方法？常用的添輔助線方法？ 直