北京交通大學(xué)-學(xué)年概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷(A卷)答案

1、.2分P ABC 1 P A B C.2分北京交通大學(xué)A卷）答案2009201嚀年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷（一.（本題滿分8分）某城市有汽車100000輛，牌照編號從 00000到99999 . 一人進(jìn)城，偶然遇到一輛車，求該車牌照號 中含有數(shù)字8的概率.解：設(shè)事件A 汽車牌照號中含有數(shù)字 8 ,所求概率為P A . .2分-95-P A 1 P A 1-0.40951 . .6分105二.（本題滿分8分）、r11設(shè)隨機事件 A, B , C 滿足：P A P B P C - , P AB 0 , P AC P BC 一 .求 416隨機事件 A, B, C都不發(fā)生的概率.解:由于

2、ABC AB ,所以由概率的非負(fù)性以及題設(shè)，得 0 P ABC P AB 0 ,因此有P ABC 0 . .2分所求概率為P ABC .注意到ABC ABC,因此有P AB P AC P BC P ABC116116.2分（本題滿分8分）某人向同一目標(biāo)進(jìn)行獨立重復(fù)射擊，每次射擊時命中目標(biāo)的概率均為p , 0 p 1 .求此人第6次射擊時恰好第2次命中目標(biāo)的概率.解:P第欹射擊時恰好第2次命中目標(biāo)P前5次射擊中命中1次目標(biāo)，第6次射擊時命中目標(biāo).2分P前5次射擊中命中1次目標(biāo) P第6次射擊時命中目標(biāo).2分C5 P1 1 p 4 p 5 P21 p 4 .4分四.（本題滿分8分）某種型號的電子元件

3、的使用壽命X （單位：小時）具有以下的密度函數(shù):1000px 70x 1000x 1000 求某只電子元件的使用壽命大于1500小時的概率（4分）； 已知某只電子元件的使用壽命大于1500小時，求該元件的使用壽命大于2000小時的概率（4分）.解:電子元件的使用壽命大于1500小時所以,P X 1500 p x dx1500電子元件的使用壽命大P AB P X 1500,2000 p x dx20002000PBA PX 2000P A12231000-2- dx1500 x于2000小時X 20001000 ,-2- dx x10001000.4分1500則所求概率為P B A .2000A

4、.2分2000.2分五.（本題滿分8分）設(shè)隨機變量X服從區(qū)間1,2上的均勻分布，而隨機變量求數(shù)學(xué)期望EY .解:.2分.2分PxdxPx2dx - dx3o01 dx3 1.4分六.（本題滿分8分）設(shè)在時間t （分鐘）內(nèi)，通過某路口的汽車數(shù)X t服從參數(shù)為t的Poisson （泊松）分布，其中為常數(shù).已知在1分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.2 ,求在2分鐘內(nèi)至少有1輛汽車通過的概率.解:t的分布列為P X t kt ke k!: k 0, 1, 2,.2分因此在t1分鐘內(nèi),通過的汽車數(shù)為由題設(shè),k一e k!，k 0,1,2,0.2,所以.3分因此，P X 22 5 02e0!2ln52425.3

5、分七.（本題滿分8分）設(shè)二維隨機變量X ,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f X,x 1,其它2x求： 隨機變量Y邊緣密度函數(shù)fY y（4 分）；方差D Y解:(1)fYy f x, y dx .因此，當(dāng)y 0或者 y 2時，fY y 0 .1分當(dāng)0 y 2時,所以,所以,fY yfYE Y2八.（本題滿分現(xiàn)有獎券張，每張獎金f x,_y 20y dx0 y其它yfY y dy2y fYEY28分）y dyy2dx0.3分2dy23y0dy10000張，其中一等獎一張，獎金10元；四等獎1000張，每張獎金16§.2分.2分1000元；二等獎10張，每張獎金 200元；三等獎1002元.而購買每張

6、獎券 2元，試計算買一張獎券的平均.2分1 E X 1000 -1000010200再令Y表示購買一張獎券的收益,10000 則Y c 10010 - 10000X 2,因此100010000.4分3E Y E X 2-257 /一、（兀）.5.2分收益.解:設(shè)X :購買一張獎券所得的獎金.則X的分布律為X1000200102P110100100010000100001000010000所以,九.（本題滿分8分）兩家電影院競爭1000名觀眾，假設(shè)每位觀眾等可能地選擇兩個電影院中的一個，而且互不影響.試 用中心極限定理近似計算：甲電影院應(yīng)設(shè)多少個座位，才能保證“因缺少座位而使觀眾離去”的概率不超

7、 過1% ?x1.962.062.172.332.38x0.9750.980.9850.990.995附：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N 0, 1的分布函數(shù)x的某些數(shù)值表設(shè)甲電影院應(yīng)設(shè)N個座位才符合要求.解：1設(shè)1000名觀眾中有X名選擇甲電影院，則X B 1000, 2.1分由題意，P X N 0.99 .而1111000500, D X 1000-250.222.2分所以，P X N、D XX 500,250N 500、250N 500,2500.99.3分查表得 N 500 2.33,所以有 N 500 2.33 <250 536.84. ,250所以，應(yīng)至少設(shè)537個座位，才符合要求.2分十.

8、（本題滿分8分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為2x 0 x 10 其它X1, X2,Xn是從總體X中抽取的一個簡單隨機樣本.令Xn maxX，X2，, Xn,試求X n的密度函數(shù)f n x解：總體X的分布函數(shù)為0x0.3分2F x x 0x11 x 1因此X n的密度函數(shù)為2 n 1n x 2x00 x 1其它.4分2nx2n 1 0 x0 其它.1分卜一.（本題滿分12分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f x；其中 0,1為參數(shù)，X1,X2,Xn是從總體X中抽取的一個簡單隨機樣本.時，求未知參數(shù)的矩估計量?M（6 分）;1時，求未知參數(shù)的最大似然估計量 （6分）.解:1時,密度函數(shù)為所以,f x;1,xfdx1

9、dxdx.2分解方程:得解:.2分替換成X ,得未知參數(shù)的矩估計量為.2分1時,密度函數(shù)為f x;1,所以，似然函數(shù)為xi1,nxi1,xi1, I1,.2分對 求導(dǎo)，得 1n L ln X1X2Xn . .2分令 0,得方程n ln X1X2解得n.In x1x2 xn因此，的最大似然估計量為十二.（本題滿分8分）2設(shè)總體 X N , Xi, X2別表示樣本均值與樣本方差.令T X2解：2E X , D X ，n C由 DX E X2EX ，得22 2E X D X E X Xn0 ln X1X2 Xn2,Xn是從總體X中抽取的一個簡單隨機樣本.X與S2分522一,求ET，并指出統(tǒng)計量T是否

10、為 的無偏估計量. n.2分又ES22,所以有.1分-2S2-2S2ET E X2 E X2 E nn22 E S22nn.2分-s2這表明T X22是n2的無偏估計.1分北京交通大學(xué)20102011學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷（ A卷）由 p x dx 1 及 E Xxp x dx（本題滿分8分）在正方形D p, q : p 1, q 1中任取一點p, q ,求使得方程x2px q 0有兩個實根的概率.解:“方程x2 px q 0有兩個實根”，所求概率為P A .設(shè)所取的兩個數(shù)分別為p與q,則有1 p 1,因此該試驗的樣本空間與二維平面點集D p, q ：1 p 1,中的點對應(yīng).

11、2分隨機事件A與二維平面點集Da p, q ： p2 4q 0 ,即與點集2 p Dap, q ： 7 q4中的點對應(yīng).所以,DA的面積AD的面積121 dp142 21 p3113- p 一4 12,241（本題滿分8分）從以往的資料分析得知，在出口罐頭導(dǎo)致索賠的事件中，有50%是質(zhì)量問題；有30%是數(shù)量短缺問題；有20%是產(chǎn)品包裝問題.又知在質(zhì)量問題的爭議中，經(jīng)過協(xié)商解決的占40%;在數(shù)量短缺問題的爭議中，經(jīng)過協(xié)商解決的占 60% ;在產(chǎn)品包裝問題的爭議中，經(jīng)過協(xié)商解決的占75% .如果在發(fā)生的索賠事件中，經(jīng)過協(xié)商解決了，問這一事件不屬于質(zhì)量問題的概率是多少？解:設(shè)A ”事件屬于質(zhì)量問題”

12、，A “事件屬于數(shù)量短缺問題”A3 ”事件屬于產(chǎn)品包裝問題”B ”事件經(jīng)過協(xié)商解決”.所求概率為PAIR. 2分由Bayes公式，得P A1 BP A P B|AP A1 P B|AP A2 P b|a2_P A3 P B| A30.37735849 .0.5 0.400.5 0.40 0.3 0.60 0.2 0.75所以，P A1 B 1 PAB 1 0.37735849 0.62264151.（本題滿分8分）設(shè)隨機事件 A滿足：P A 1 .證明：對任意隨機事件 B ,有P AB P B解：因為 P A 1 ,所以，P A 1 P A 1 1 0 . 2分所以，對任意的隨機事件B ,由A

13、B A,以及概率的單調(diào)性及非負(fù)性，有0 P AB P A 0,因此有P AB 0 . 2分所以，對任意的隨機事件B,由B ABAb ,以及ab與Ab的互不相容性，得P B P AB AB P AB P AB P AB 0 P AB四.（本題滿分8分）設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為2ax bx 0 x 1P X c0 其它1并且已知E X 一,試求方差D X .2解：p x dx0ax bx2 dxxp x dxaxbx2dx由此得線性方程組a2 a3b3 b4解此線性方程組，得6,所以，E X2dx12x06x6x2 dx310所以，DX E X2310120五.（本題滿分8分）經(jīng)驗表明，預(yù)定餐廳座

14、位而不來就餐的顧客比例為某餐廳有50個座位，但預(yù)定給了 52位顧客,問到時顧客來到該餐廳而沒有座位的概率是多少?解:設(shè)X表示52位預(yù)訂了座位的顧客中來就餐的顧客數(shù), B 52, 0.8 .六.則所求概率為P X 50 .P X 50 P X 51 P X 52（本題滿分10分）C以1 0.851 0.21 C52 0.852 0.200.0001278813933.將一顆均勻的骰子獨立地擲解:10次，令X表示這10次出現(xiàn)的點數(shù)之和,求 E X （5分）與DX （5設(shè)Xk表示第k次出現(xiàn)的點數(shù)，k 1, 2,則 X1,X2,10Xio相互獨立，而且X Xk .6而Xk的分布列為PXk1, 2,所以

15、,E Xk6j P Xk j 1所以,所以,211, 2,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),X；X1,七.（本題滿分設(shè)隨機變量解:ioE Xkk 110106- 2j1,2jX2,10DXk10 35.12Xk91911,2,X10的相互獨立性,及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得10Xk k 1D Xk10 9191610455310分）X N 0,1 ,求隨機變量2X21的密度函數(shù).由題意，隨機變量X的密度函數(shù)為Px設(shè)隨機變量Y 2X2 1的分布函數(shù)為Fy y ,則有Fy2y PY y P 2Xx2y J2所以，當(dāng)y 1時，F(xiàn)y y當(dāng)y 1時，2 y 1Fy y P X "- 2廣1- 2ey-122x2 dx

16、y21因此有Fy yy1 - 2所以，隨機變量2x2 dxpy yFy y2X22,2 e01 e 2. y 1 0八.（本題滿分10分）設(shè)二維隨機變量X , Y求X與Y的相關(guān)系數(shù)X ,Y .解:xp x,x22 dxyp x,1的密度函數(shù)為 2y 12-2EX2EY2E XY的聯(lián)合密度函數(shù)為p x, y3x00 y 其它y dxdyy dxdy2x p x,2y p x,xyp x,x2.dx 3x dy0x3dxy dxdyy dxdyy dxdyxxdx ydy031 : x2。3dxxdx 3x3dy04dx2 .3 xdx y dy1x4dx023 x dx ydyx4dx03231

17、0，003分所以有 covX, Y E XY E X EY10EX2EY2旦320因此，有cov X,X,Y3D X D Y九.（本題滿分10分）一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,假設(shè)每箱平均重50 kg ,標(biāo)準(zhǔn)差為5 kg .若用最大載重量為 5000 kg的汽車來承運，試用中心極限定理計算每輛車最多裝多少箱，才能保證汽車不超載的概率大于0.977 （設(shè)20.977 ,其中 x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0,的分布函數(shù)）.解:若記Xi表示第i箱的重量,i 1,2,X2,Xn獨立同分布，且再設(shè)Yn表E Xi 50, D Xi輛汽車最多可裝由題意，得PYn 5000 P查正態(tài)分布表，得 x25,1,2,n箱貨物

18、時的重量，則有Yn 50n5 n5000 50n5 nYn1000 10nC2IG0.977 .% n1000、, n10n 2當(dāng) n 99 時，x 1.005 298時,2.02 2,故取n 98,即每輛汽車最多裝98箱貨物.十.（本題滿分8分）設(shè)總體X N 0,Xi,X2,X6是取自該總體中的一個樣本.令22X4 X5 X6,YX1X2X3試確定常數(shù)c,使得隨機變量cY服從2分布.解:因為Xi N 0,1,而且X1,X6相互獨立，所以因此而且X1X1X1X2X30,X4X5 X6 N0,X2、3X30,X4X5X6、30,X2 X3 j X4,3X5、3X6相互獨立.因此由2分布的定義，知

19、X1 X2X33X4X5X6即 X1X2 X3 X4X53X6一 1取c -,則有cY 2 2 .3十一.（本題滿分12分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f x；其它其中0為參數(shù),Xi, X2,Xn是從總體X中抽取的一個簡單隨機樣本.的矩估計量?M（ 6分）求參數(shù)的最大似然估計量L證明:xfx; dx1_x 一 x 1dx0Lxdx : 01因此，得方程解方程，得1 E X3分將E X替換成X ,得參數(shù)的矩估計量為?M似然函數(shù)為取對數(shù)，得 ln L對求導(dǎo)，得 -dln L12,所以，得似然方程12.ln x1解似然方程，得nnln xi 1因此，參數(shù)的最大似然估計量為ln xi0,nln Xi , i

20、1nnlnXi北京交通大學(xué)20102011學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷（ A卷）答案1 .（本題滿分8分）一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué)，求這6位同學(xué)中至少有2位的生日在同一個月份（不考慮出生所在的年份） 的概率.解：設(shè)A “6位同學(xué)中至少有2位的生日在同一個月份”.所求概率為P A . .1分考慮事件A的逆事件：A“6位同學(xué)的生日各在不同的月份” .1分.2分1星1126.2分66528029859840.777199074 .2分2 .（本題滿分8分）有朋友自遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是火車、輪船、汽車、飛機來的話，遲到的概率分別為0.3 , 0.1 , 0.4和

21、0.2 .如果他乘1-,結(jié)果他未遲到，試問他乘火車來6的概率是多少?解：設(shè)B ”朋友來訪遲到”，A”朋友乘火車來訪”，A2 “朋友乘輪船來訪”，A3 “朋友乘汽車來訪”，A4 “朋友乘飛機來訪”.1分所求概率為P A|B ,由Bayes公式得 .1分-P A1P B|a1P AiB =i=i= .2分P A P B AP A2P B|A2P A3 P B|A3P A4P B A40.31 一3.#分12210.3 10.11 -0.41 -0.21 -37560.30.32 0.1 5 0.43 °.21053560.29494382 .2分三.（本題滿分8分）設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)

22、為2521025其它試求隨機變量X的分布函數(shù)F x .解:0時,dtx0dt.15時,dt00dtdt0 252x50，.2分10時,10時,dt50dt25dt25dt1 2一x ;50.2分dt50dt25dt25dtx0dt 1 .10.2分.1分因此，隨機變量X的分布函數(shù)為F x0x 02x0x5502121 x x 5x105501x 10四.（本題滿分8分）k試決定常數(shù)C,使得Pk C, k 1, 2, k!為某一離散型隨機變量X的分布列，其中解：k若使 Pk C1, k 1, 2,k!kpk C 770, kk!因此有kk1Pkc C k 1 k 1 k! k 1 k!所以有 C

23、.2分e 1五.（本題滿分8分）是某一隨機變量X的分布列，當(dāng)且僅當(dāng)1, 2,而且 pk 1 ,.2分k 1C e 1 ,.4分設(shè)U與V分別是擲一顆均勻的骰子兩次先后出現(xiàn)的點數(shù).試求一元二次方程2x2 Ux V 0有兩個不相等的實數(shù)根的概率.解：一元二次方程x2 Ux V 0有兩個不相等的實數(shù)根的充分必要條件是U2 4V 0,或者 U 2 4V .2 分1.又U, V的聯(lián)合分布列為P U i, V j 一，i, j 1, 2, 6 .2分36的取值5, 3 ,所以，一元二次方程x2 Ux V 0有兩個不相等的實數(shù)根的充分必要條件是U, V應(yīng)為下列情形之一：3, 1 , 3, 2 , 4, 1 ,

24、 4, 2 , 4, 3 , 5, 1 , 5, 2 ,.2分P 一元二次方程x1 2 Ux V0有兩個不相等的實數(shù)根1736.2分六.（本題滿分8分）設(shè)隨機變量X服從區(qū)間2, 1上的均勻分布，試求隨機變量Y X2的密度函數(shù)fY y解：隨機變量X的密度函數(shù)為Px x.1分5, 6 , 6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6 .其它設(shè)Y X2的分布函數(shù)為Fy y ,則有Fy yP Y y P X因此有pYy訪國Jyp-y后3 3訪； y .1 分當(dāng) y 0時，F(xiàn)y y 0；當(dāng)0 y 4時，F(xiàn)yy PX2 y P m X 7yFx ；y Fx 6；當(dāng)y 4時

25、，F(xiàn)y y 1 ,.1分綜上所述，得隨機變量Y X2的分布函數(shù)為0y 0.1分Fy yFx y Fx . y 0 y 41y 1因此，隨機變量Y X2的密度函數(shù)為1Px . yPxy 0 y 4iPy yFy y2Jy. .1分0其它當(dāng)0 y 1時，061,16 0,于是有1；1Px dy二，Pxy y二，33當(dāng)1 y 4時，1 Jy 2,231,于是有因此有Py1y 2, yPx因此,隨機變量Px Jy 0,Px1 y px .V 2-X2的密度函數(shù)為137y1Pyy 6 . y其它= . .2分6. y.1分七.（本題滿分8分）試解釋“在大量獨立重復(fù)試驗中，小概率事件幾乎必然發(fā)生”的確切意

26、思.解:設(shè)A是一隨機事件，其概率0 PA 1 .1分現(xiàn)獨立重復(fù)做試驗，則在n次獨立重復(fù)試驗中，事件 A至少發(fā)生一次的概率為11 P A n.2分令 n ,則有 lim 11 P A n 1 lim 1 P A n 1 .2 分nn這表明，只要試驗次數(shù)n充分大，不管隨機事件 A的概率多么小，隨機事件 A在n次獨立重 復(fù)試驗中至少發(fā)生一次的概率與 1可以任意接近，即隨機事件 A在n次獨立重復(fù)試驗中至少 發(fā)生一次是幾乎必然的.3分8 .（本題滿分8分）一公寓有200戶住戶，一戶住戶擁有汽車輛數(shù)X的分布列為X012P0.10.60.3試用中心極限定理近似計算，至少要設(shè)多少車位，才能使每輛汽車都具有一個

27、車位的概率至少為0.95 ?（設(shè)：1.6450.95,其中 x是N 0, 1的分布函數(shù).）解：設(shè)需要的車位數(shù)為n , Xi表示第i個住戶需要的車位數(shù)，X 1, 2, 200 則隨機變量Xi,X2,X200獨立同分布，而且.1分E Xi 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2 ,E Xi202 0.1 12 0.6 22 0.3 1.8,.2 分于是有D XiE Xi2E Xi 2 1.8 1.22 0.36.1 分由題意，得200200200由題設(shè),200P Xi ni 1Xi E Xi i 1i 1200D Xit i 1n E Xii 1200-D Xi:i 1200200XiE Xi

28、i 1i 1n 200 1.2200.200 0.36D i1Xin 240.72n 240.72.3分0.95,因止匕得 n 240 1.645 ,、72所以有n 240 1.645 J72 253.9583 .因此至少需要254個車位，才能滿足題設(shè)要求.2分9 .（本題滿分8分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，而且都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，令U 4X 3Y, V 3X Y ,試求二維隨機變量 U, V的相關(guān)系數(shù) U V解：因為X與Y都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，所以11E X E Y , var X var Y .于是有11E U E 4X 3Y 4E X 3E Y 43 -E V E 3X Y 3E

29、 X E Y再由X與Y的相互獨立性，得var Uvar 4X3Y 16var X9 var Y116 2252 ，所以有因此有var VE UV12E1212242covU,U ,V十.（本題滿分var 3XE 4XY 9 var X3Y 3X Y2_X 5Evar X1-212_2E 12X2XY 3E Y12121210.3分-25XY 3Y3 varY E Y522cov8分）6-213.2分E UV EU, V1392設(shè)總體X存在二階矩，總體期望抽取的一個樣本,X是樣本均值,計算方差D S2解:9225 1022var U . var VS2是樣本方差.D Xi.2分總體方差D計算方差

30、2, Xi,（4分）；X2,Xn是從中如果X N.4分因為總體X N2,Xi,X2,Xn是取自總體X中的一個樣本，所以.2分n 1 S2 2所以，2c 2 n 1 S24 n 1S24 c .24。八D S D2-2 D 2一 2 2 n 1 .2 分n 12 n 1 22 n 12n 1十一.（本題滿分10分）設(shè)0 P B 1,證明：隨機事件 A與B相互獨立的充分必要條件是P AB P A|B 1 .證明：必要性：設(shè)隨機事件A與B相互獨立，所以隨機事件 A與B也相互獨立.因此有P AB P A , P AB P A ,.3 分 因此有P AB P A|b P A P A 1 ,.2 分充分性

31、：由于 P AB P A|B 1, 所以有P AB 1 P AB P AB .因此有P AB P ABP B P BP A AB PA P AB1 P B 1 P B.3分由0 P B 1,得1 P B 0,因此有P AB 1 P BP B P A P AB整理，得 P AB P B P AB P A P B P AB P B即得 P AB P A P B這表明隨機事件A與B相互獨立.2分十二.（本題滿分10分） 設(shè)總體X等可能地取值1, 2, 3, N，其中N是未知的正整數(shù).是取自該總體中的一個樣本.試求N的最大似然估計量.（7分） 某單位的自行車棚內(nèi)存放了N輛自行車，其編號分別為 1, 2

32、, 3,，N出自行車是等可能的.某人連續(xù)12天記錄下他觀察到的取走的第一輛自行車的編號為12,203 ,23,7,239,45,73,189,95,112,試求在上述樣本觀測值下，N的最大似然估計值.（3分）解：總體X的分布列為 P Xn所以似然函數(shù)為 L NP Xii 1當(dāng)N越小時，似然函數(shù)L N越大;1, C一x , x 1, 2, N .N1Xi - ,1 X N, i 1, 2,N另一方面，N還要滿足：1 % N,即 N max x1, x2, xn x所以，N的最大似然估計量為N? Xn .4分Xi, X2, Xn，假定職工從車棚中取73,159 ,n . .3 分i 1, 2, n

33、 ,.3分 由上面的所求，可知N的最大似然估計值為N? xn 239.北京交通大學(xué)20122013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷（ A卷）參 考 答 案某些標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值x0.340.530.6751.161.741.962.332.58x0.66310.70190.750.8770.95910.9750.990.995其中 x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).（本題滿分5分）口袋中有10個球，分別標(biāo)有號碼 1至IJ 10,從中任意取出4個球.求最小號碼是 5的概率.解：設(shè)A ”取出4個球，最小號碼是5”.10個球取出4個球，有取法C10種. .2分若最小號碼是5,有取法C3種，因此C3

34、101G： 210 21.3分（本題滿分5分）一間宿舍住有5位同學(xué)，求他們之中至少有兩位的生日在同一個月份的概率.解：設(shè)A “5位同學(xué)至少有兩位的生日在同一月份”5位同學(xué)，每一位在12個月份中任意選擇，共有125種可能. .2分考慮A的逆事件A,它表示5位同學(xué)中，沒有兩位的生日是同一月份的.P5八則 P A 1 P A 1 -12 0.6181 . .3分125已知男人中5%的是色盲患者，女人中色盲患者占0.25% ,今從男女比例為 22:21的人群中隨機地挑選一人，發(fā)現(xiàn)是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：設(shè)A ”任選一人為男性”，B“任選一人是色盲患者”.P A P B AP AB L

35、P A P B A P A P B A.3分.5分所求概率為PAB .由Bayes公式，得22一 0.0543- 0.9544 .2221一 0.05 - 0.00254343四.（本題滿分8分）在一小時內(nèi)，甲、乙、丙三臺機床需要維修的概率分別是0.9, 0.8和0.85,而且這三臺機床是否需要維修是相互獨立的.求在一小時內(nèi)至少有一臺機床不需要維修的概率；（4分） 至多只有一臺機床需要維修的概率.（4分）解：設(shè)A 甲機床需要維修 ，B 乙機床需要維修 ，C 丙機床需要維修 .則P至少有一臺機床不需要維修 P A B C 1 PA B C.2分1 P A P B P C 1 0.9 0.8 0.

36、85 0.388. .2分 P至多有一臺機床需要維 修 P ABC ABC ABC ABC .2分P ABC P ABC P ABC P ABCP A P B P CP A P B PC PAP B P C P A P B P C0.1 0.2 0.15 0.9 0.2 0.15 0.1 0.8 0.15 0.1 0.2 0.85 0.059.2 分五.（本題滿分8分）試確定常數(shù)a , b , c , d的值，使得函數(shù)ax 1F x bxlnx cx d 1 x edx e為一連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù).解:因為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) F x是連續(xù)函數(shù)，因此函數(shù)F x在分段點x 1及x e處連

37、續(xù)，所以有.2分60601即有 be ce d d .2分又分布函數(shù)必須滿足:lim F x 0 , lim F x 1 . xx因而有a limx0,.2分由此得方程組be ce,解此方程組，得a 0,1, c1,.2分六.（本題滿分8分）某地區(qū)成年男子的體重（以kg計）服從正態(tài)分布 NP X 700.5, PX 600.25,求與的值;如果在該地區(qū)隨機抽取5名成年男子，求至少有兩個人的體重超過65 kg的概率.解:由已知P X707070P X 60 P60600.25.2分700.5700.50.751 0.25 0.75查正態(tài)分布表,(2)設(shè) AP X 657060,解方程組，得 70

38、 , 0.67514.81 .“從該地區(qū)任意選取一名成年男子，具體重超過 65 kg”.則1 P X 65X 70 65 70X 70八0.”1 P 1 P 0.337614.8114.8114.810.33760.33760.6631 .2分設(shè)X :該地區(qū)隨機抽取的5名成年男子中體重超過65kg的人數(shù).則 X B 5, 0.6631 .“5人中至少有兩人的體重超過65 kg .B PX2 1PX1 1PX0 P X 1C； 0.66310 0.33695 C5 0.66311 0.33694 0.9530 .（已知0.6750.75,0.340.6631 ).2分七.（本題滿分8分）設(shè)二維隨

39、機變量X , Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f x, yy 1 x2其它求：隨機變量Y的邊緣密度函數(shù)fY y .解:1時,fYf x,1 y,5 2y dx- x1 y 4y dx1 y 2x0y dx.3分5,1 y1 2y.3分1 3-x xy3所以，隨機變量Y的邊緣密度函數(shù)為八.（本題滿分10分）設(shè) Xi, X2,fY y5廠y1 2y0 y其它.2分求隨機變量T的密度函數(shù).解:對于任意的實數(shù)Ft XminX1X1Xn是n個獨立同分布的隨機變量,T min X1, X2,Xi服從參數(shù)為的指數(shù)分布.令Xi,x,隨機變量T的分布函數(shù)為P min Xi,X2,X2,X2x,x P X2XnXnXn.2分P

40、 X1 x 1X2PXn x 11Fx.3分所以，隨機變量T的密度函數(shù)為fT xFt x n 1n 1FX x fX x -.2分如果X1服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則X1的密度函數(shù)為分布函數(shù)為FxfXfX t dt.1分因此此時Tmin X1,X2,Xn的密度函數(shù)為fT xn1 Fxn 1 rx fx.2分九.（本題滿分8分）設(shè)隨機向量X1, X2, X3間的相關(guān)系數(shù)分別為12,23,令：Y Xi證明:充分性:cov 丫,E X1X2, 丫2如果 12Y2 covE X2EX2 X3，Y32331Xicov X1, X2 covi2 D XiD X22221213X2, X2Xi, X313 D223這說明隨機變量丫1與丫2不相關(guān).同理可得 cov Y2, Y30,.1分X3 X112D X1證明:23X3cov X2,X1 D X31223cov 丫3, 丫必要