復(fù)變函數(shù)課件：3-2 Cauchy-Goursat基本定理

1、2 2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理分析分析1的積分例子的積分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1即即，與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)即即，的的積積分分值值相相同同，它它沿沿連連接接起起點點及及終終點點的的在在全全平平面面解解析析中中例例解解析析。的的非非單單連連通通區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處但但在在除除去去即即，不不解解析析的的點點為為奇奇點點中中例例00002120zzzzidzzzrzz .,)(3有有關(guān)關(guān)的的值值與與積積分分路路徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的：復(fù)積分的

2、值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值積分值0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)。析區(qū)域的單連通有關(guān)。先將條件加強些，作初步的探討先將條件加強些，作初步的探討)( ,)(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在且且內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè)DzfDivuzf yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并滿滿足足都都是是連連續(xù)續(xù)的的內(nèi)內(nèi)在在以以及及它它們們的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，對對又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(y

3、yxxiuvivuzf )( .)( ,1900這一條件去掉了這一條件去掉了連續(xù)連續(xù)將將且且定理的新證明定理的新證明給出了給出了年年zfCanchyGoursat0)()(1825 cdzzfzfDCauchy內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析的的單單連連通通給給出出了了年年.,)( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在當當時時解解析析的的定定義義為為Dzf .1851簡簡單單證證明明定定理理的的上上述述給給出出了了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :, 內(nèi)內(nèi)在在改改為為從從此此解解析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義修修定定理理這這就就產(chǎn)產(chǎn)生生了了著著名名的的DzfGoursatCanchy定理仍成立.定理仍

4、成立.連續(xù),連續(xù),在在內(nèi)解析內(nèi)解析在在的邊界的邊界為為若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf內(nèi)任一條閉曲線內(nèi)任一條閉曲線為為內(nèi)解析內(nèi)解析平面上單連通區(qū)域平面上單連通區(qū)域在在設(shè)設(shè)Cauchy-Goursat定理：定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的邊界的邊界為為若若BCBzfBC A BC也稱也稱Cauchy定理定理(3)定理中曲線定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。不必是簡單的！如下圖。BBC推論推論 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對任意內(nèi)解析，則對任意兩點兩點z0, z1B, 積分積分c f (z)dz不依賴于連接起點不依賴于連接起點z0與終點與終點z1的曲線，即積分與路徑無