控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)課件

1、控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)舒欣梅舒欣梅西華大學(xué)電氣信息學(xué)院西華大學(xué)電氣信息學(xué)院第三章第三章 線性控制系統(tǒng)線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性的能控性與能觀測(cè)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.1 3.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能觀性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能觀性 3.2 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性 3.4 3.4 能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系3.5 3.5 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)問(wèn)題3.6 3.6 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.7 MATLAB3.7 MATLAB在系統(tǒng)能控性和能觀性分析中在系統(tǒng)能控性和能觀性

2、分析中的應(yīng)用的應(yīng)用 第三章第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)狀態(tài)空間描述的兩段性狀態(tài)空間描述的兩段性：20世紀(jì)世紀(jì)60年代初，由年代初，由卡爾曼卡爾曼提出，與狀態(tài)空間描述相對(duì)應(yīng)。提出，與狀態(tài)空間描述相對(duì)應(yīng)。狀態(tài)方程：描述了輸入引起的狀態(tài)變化狀態(tài)方程：描述了輸入引起的狀態(tài)變化 輸入能夠控制狀態(tài)輸入能夠控制狀態(tài)輸出方程：描述了狀態(tài)變化引起的輸出改變輸出方程：描述了狀態(tài)變化引起的輸出改變 狀態(tài)能否由輸出反映狀態(tài)能否由輸出反映控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I): :系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下 1x2x1 s1 s2 3 yu顯然，顯然，

3、 只能控制只能控制 而不能影響而不能影響 ，我們稱狀態(tài)變量，我們稱狀態(tài)變量 是是可控的，而可控的，而 是不可控的。只要系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)變量是不可是不可控的。只要系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)變量是不可控的，則該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的?？氐?，則該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的。u1x2x1x2x：指外輸入指外輸入u(t) 對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)和輸出變量和輸出變量y(t)的支配能力，的支配能力，它回答了它回答了u(t)能否使能否使x(t)和和y(t)作任意轉(zhuǎn)移的問(wèn)題。作任意轉(zhuǎn)移的問(wèn)題。有些狀態(tài)分量能受輸入有些狀態(tài)分量能受輸入u(t)的控制，有些則可能不受的控制，有些則可能不受u(t)的控制。的控制。受受u(t)

4、控制的狀態(tài)稱為能控狀態(tài)，不受控制的狀態(tài)稱為能控狀態(tài)，不受u(t)控制的狀態(tài)稱不能控控制的狀態(tài)稱不能控狀態(tài)。狀態(tài)?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)指由系統(tǒng)的輸出指由系統(tǒng)的輸出y(t)識(shí)別狀態(tài)變量識(shí)別狀態(tài)變量x(t)的能力，它回答了狀態(tài)變的能力，它回答了狀態(tài)變量能否由輸出反映出來(lái)。量能否由輸出反映出來(lái)。有些狀態(tài)能夠通過(guò)輸出有些狀態(tài)能夠通過(guò)輸出y(t)確定下來(lái)，有些狀態(tài)則不能確定下來(lái)，有些狀態(tài)則不能能通過(guò)能通過(guò)y(t)確定下來(lái)的狀態(tài)稱為能觀狀態(tài)，確定下來(lái)的狀態(tài)稱為能觀狀態(tài)，不能通過(guò)不能通過(guò)y(t)確定下來(lái)的狀態(tài)稱為不能觀狀態(tài)。確定下來(lái)的狀態(tài)稱為不能觀狀態(tài)。: : 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下uy 1x

5、 1x2x 2x1 s1 s32顯然輸出顯然輸出 中只有中只有 ，而無(wú)，而無(wú) ，所以從，所以從 中不能確定中不能確定 ，只能確定只能確定 。我們稱。我們稱 是可觀測(cè)的，是可觀測(cè)的， 是不可觀測(cè)的。是不可觀測(cè)的。y2x1x1x2x2xy1x控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)例例 電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓 為狀為狀態(tài)變量，即：態(tài)變量，即： 。 電橋平衡時(shí)，不論輸入電壓電橋平衡時(shí)，不論輸入電壓 如如何改變，何改變， 不隨著不隨著 的變化而改變，或者說(shuō)狀態(tài)變的變化而改變，或者說(shuō)狀態(tài)變量不受量不受 的控制。即：該電路的狀態(tài)是不能控的。的控制。即：該電路的狀

6、態(tài)是不能控的。)(tuCuxCu)(tuCutx)()(tu 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)電橋不平衡時(shí)，電橋不平衡時(shí)，該電路的狀態(tài)該電路的狀態(tài)是能控的。是能控的?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)11Cux 22Cux 例例 電路如下圖所示，如果選擇電容電路如下圖所示，如果選擇電容C1、 C2兩端的電壓為狀態(tài)兩端的電壓為狀態(tài)變量，即：變量，即： ， ，電路的輸出，電路的輸出 為為C2上的電壓，上的電壓，即即 ，則電路的系統(tǒng)方程為，則電路的系統(tǒng)方程為y2xy u112112xbuAxx xCx10y如果初始狀態(tài)為如果初始狀態(tài)為00)0(x系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為ttttttttt3333eeeeee

7、ee21eA系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為utxttd)(e11)(0)(可見(jiàn)，不論加入什么樣的可見(jiàn)，不論加入什么樣的輸入信號(hào)，總是有輸入信號(hào)，總是有21xx 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)u-u012112xBAxx xx11 Cy系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為ttttttttt3333eeeeeeee21eA)(ty例例 電路如下圖所示。選取電路如下圖所示。選取 為輸入量，為輸入量， 為輸出量，兩個(gè)電為輸出量，兩個(gè)電感上的電流分別作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)方程為感上的電流分別作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)方程為)(tu系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為tuttttd)(e)0(e)()(0b

8、xxAA控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，令為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，令0)(tu則則)0(e)(xxAtt ttxxty321e)0()0()0(e)(xCA從上式可知，不論初始狀態(tài)為什么數(shù)值，輸出從上式可知，不論初始狀態(tài)為什么數(shù)值，輸出 僅僅取決于其差僅僅取決于其差值值 。當(dāng)。當(dāng) ，則輸出恒等于零。顯然，無(wú)法通過(guò)對(duì)，則輸出恒等于零。顯然，無(wú)法通過(guò)對(duì)輸出的觀測(cè)去確定初始狀態(tài)，稱這樣的系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。輸出的觀測(cè)去確定初始狀態(tài)，稱這樣的系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。)0 () 0 (21xx) 0 () 0 (21xx一般情況下，系統(tǒng)一般情況下，系統(tǒng)u 狀態(tài)能控與否，不僅取決于狀態(tài)能控與否，不僅取決于B 陣

9、（直接關(guān)系），還取決陣（直接關(guān)系），還取決于于A 陣（間接關(guān)系）。陣（間接關(guān)系）。u 狀態(tài)能觀測(cè)與否，不僅取決于狀態(tài)能觀測(cè)與否，不僅取決于C 陣（直接關(guān)系），還取陣（直接關(guān)系），還取決于決于A陣（間接關(guān)系）。對(duì)于不能觀測(cè)的系統(tǒng)，其不能觀測(cè)陣（間接關(guān)系）。對(duì)于不能觀測(cè)的系統(tǒng)，其不能觀測(cè)的狀態(tài)分量與的狀態(tài)分量與y 既無(wú)直接關(guān)系，又無(wú)間接關(guān)系。既無(wú)直接關(guān)系，又無(wú)間接關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在能在 的有限時(shí)間內(nèi)的有限時(shí)間內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到任一終端狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一終端狀態(tài) ，則，則稱此狀態(tài)是能控

10、的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱稱此狀態(tài)是能控的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。,0ftt)(0tx)(ftx3.1 3.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能觀性線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能觀性 3.1.1 3.1.1 線性系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù)線性系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù) 如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在能在 的有限時(shí)間內(nèi)的有限時(shí)間內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到零態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài) ，則稱系，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。統(tǒng)是狀態(tài)能控的。,0ftt)(0tx0)( ftx對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)，為簡(jiǎn)便計(jì)，可以設(shè)初始狀態(tài)為

11、狀態(tài)空間對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)，為簡(jiǎn)便計(jì)，可以設(shè)初始狀態(tài)為狀態(tài)空間任意非零有限點(diǎn)，終端狀態(tài)為狀態(tài)空間原點(diǎn)，即零態(tài)。任意非零有限點(diǎn)，終端狀態(tài)為狀態(tài)空間原點(diǎn)，即零態(tài)。 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)說(shuō)明：說(shuō)明：1） 初始狀態(tài)初始狀態(tài) 是狀態(tài)空間中的任意非零有限點(diǎn)，控制的目標(biāo)是是狀態(tài)空間中的任意非零有限點(diǎn)，控制的目標(biāo)是狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)。（如果控制目標(biāo)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過(guò)坐狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)。（如果控制目標(biāo)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過(guò)坐標(biāo)平移，使其在新的坐標(biāo)系下是坐標(biāo)原點(diǎn)。）標(biāo)平移，使其在新的坐標(biāo)系下是坐標(biāo)原點(diǎn)。）2）如果在有限時(shí)間區(qū)間）如果在有限時(shí)間區(qū)間 內(nèi)，存在容許控制內(nèi)，存在容許控制 ，使系統(tǒng)，使系統(tǒng)

12、從狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài)從狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達(dá)的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能能達(dá)的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性是等價(jià)的?？匦院湍苓_(dá)性是等價(jià)的。,10tt)(tu)(1tx)(tu)(tf3）當(dāng)系統(tǒng)中存在不依賴于）當(dāng)系統(tǒng)中存在不依賴于 的確定性干擾的確定性干擾 時(shí)，時(shí)， 不會(huì)改不會(huì)改變系統(tǒng)的能控性。變系統(tǒng)的能控性。)(tf)(tfBuAxx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)： 狀態(tài)完全能控的狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣

13、：充分必要條件是其能控性判別矩陣：BuAxx 12BABAABBQnc nBABAABBrankrankQnc 12滿秩滿秩即：即：證明目標(biāo)證明目標(biāo)：對(duì)系統(tǒng)的任意的初始狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的任意的初始狀態(tài) ，能否找到輸入，能否找到輸入u(t)，使之在使之在 的有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到零的有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到零 。則系統(tǒng)狀態(tài)能控。則系統(tǒng)狀態(tài)能控。,0ftt)(0tx0)( ftx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) ttdButtxtttx0)()()()()(00 已知：線性定常非齊次狀態(tài)方程的解為：已知：線性定常非齊次狀態(tài)方程的解為： fttdButtx0)()()(00 （2）由（由（1）式得：）式得：0)()()(

14、)()(000 fttfffdButtxtttx 將將 代入上式：代入上式：ftt （1） 10)()(njjjtAAtae由凱萊哈密頓定理由凱萊哈密頓定理 有：有： 100)(0)()(0njjjtAAtaet （3）控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) fffffttnnttttttjnjjttnjjjdutaBAdutaABdutaBdutaBAdBuAtatx00000)()()()()()()()()()()(01101000101000 （4）將（將（3）式代入（）式代入（2）式得：）式得：1, 1 , 0,)()(00 njdutaUfttjj （5）令：令：（6）將（將（5）式代入（

15、）式代入（4）式得：）式得： UQUUUBAABBBUAABUBUtxcTTTTnnnn 110111100)()(控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)由以上可以看出式（由以上可以看出式（6）中各參數(shù)維數(shù)如下：）中各參數(shù)維數(shù)如下：維維向向量量為為維維為為維維向向量量為為維維為為維維為為維維向向量量為為1nrU1rUnrnQrnABrnB1ntxjc ,)(0TcccQrankQrankQ ：維數(shù)較大時(shí)，注意使用矩陣秩的性質(zhì)：維數(shù)較大時(shí)，注意使用矩陣秩的性質(zhì)：式（式（6）是關(guān)于）是關(guān)于U的非齊次方程組。由線性代數(shù)知識(shí)知道，的非齊次方程組。由線性代數(shù)知識(shí)知道，其有解的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等

16、，即：其有解的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，即： )()(0txQrankQrankcc 由于由于x(t0)任意，所以，必須有：任意，所以，必須有：nQrankc )(控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) 判別如下系統(tǒng)的能控性判別如下系統(tǒng)的能控性1）構(gòu)造能控性判別矩陣：）構(gòu)造能控性判別矩陣：故系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控故系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控2）求能控性判別矩陣的秩：）求能控性判別矩陣的秩：uxx0010013010101212101224010101001042cQBABA B()3Qcrank控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：線性變換不改變系統(tǒng)的能控性。：線性變換不改變系統(tǒng)的能控性。：設(shè)線性系統(tǒng)：設(shè)線

17、性系統(tǒng) 具有具有兩兩相異的特征值兩兩相異的特征值 則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：BuAxx n ,.,21uBxxn 0021 中，中， 不包含元素全為不包含元素全為0的行的行。B控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：定理：定理2說(shuō)明說(shuō)明設(shè)設(shè)2階系統(tǒng)的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為：階系統(tǒng)的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為： 2121,00bbBA 則根據(jù)定理則根據(jù)定理1有：有： 222111 bbbbABBQc要使系統(tǒng)能控，則必有：要使系統(tǒng)能控，則必有：0)(|1221222111 bbbbbbQc由于由于 互異，故：互異

18、，故：0, 021 bb且且21, 推廣到推廣到n階系統(tǒng)就有定理階系統(tǒng)就有定理2：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)例例 有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。u90210507xx u57041010507xx （1）（2）解解根據(jù)定理根據(jù)定理2， 系統(tǒng)（系統(tǒng)（1）不能控不能控 ； 系統(tǒng)（系統(tǒng)（2）能控。）能控?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)中，中， 陣中與每個(gè)約當(dāng)小塊陣中與每個(gè)約當(dāng)小塊 最后一最后一行所對(duì)應(yīng)的元素不全為零行所對(duì)應(yīng)的元素不全為零。：設(shè)線性系統(tǒng)：設(shè)線性系統(tǒng) 具有具有重特征值重特征值，且，且每個(gè)重特每個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征向量征值只對(duì)應(yīng)一

19、個(gè)獨(dú)立的特征向量，則其狀態(tài)完全能，則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約控的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：BuAxx uBxJJJxk 0021B),.,2 , 1(kiJi 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：定理：定理3說(shuō)明說(shuō)明設(shè)設(shè)2階系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：階系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為： 2111,01bbBA 則根據(jù)定理則根據(jù)定理1有：有： 1222111 bbbbbABBQc要使系統(tǒng)能控，則必有：要使系統(tǒng)能控，則必有：0|221222111 bbbbbbQc 即：即：02 b推廣到推廣到n階系統(tǒng)就有定理階系統(tǒng)就有定理3：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)

20、112233110001040023xxxxuxx 11122233110420100000230 xxuxxuxx例例3-3 考察如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性：考察如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性：（1） （2） 完全能控完全能控 不能控不能控 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)定理定理3-4 3-4 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 完全能控的充分必完全能控的充分必要條件是要條件是n n維矩陣維矩陣 對(duì)對(duì)A A的所有特征值的所有特征值 之之秩都為秩都為n n。即：。即：BuAxx ,IA Bi,(1,2,)IA Biranknin例例3-4 系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程為101231xx u試判別系統(tǒng)的能控性。試判別系統(tǒng)的

21、能控性?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)10detdet13023AI121,3 1001, 2241rankIrankA b2401, 2001rankIrankA b解解 求系統(tǒng)特征值，由求系統(tǒng)特征值，由可解出可解出。按照定理。按照定理3-4，有，有故系統(tǒng)能控。故系統(tǒng)能控。控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要控制的是輸出，而不在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要控制的是輸出，而不是系統(tǒng)的狀態(tài)。因此，就需要研究輸出的能控性。是系統(tǒng)的狀態(tài)。因此，就需要研究輸出的能控性。：考慮下列狀態(tài)空間表達(dá)式所描述的線性定常系統(tǒng)：考慮下列狀態(tài)空間表達(dá)式所描述的線性定常系統(tǒng)： 如果能找到一個(gè)無(wú)約束

22、的控制向量如果能找到一個(gè)無(wú)約束的控制向量u(t)，在有限的時(shí)在有限的時(shí)間間隔間間隔tottf內(nèi)，把任一初始輸出內(nèi)，把任一初始輸出y(to)轉(zhuǎn)移到任意最轉(zhuǎn)移到任意最終輸出終輸出y(tf)，那么稱系統(tǒng)為輸出能控的。那么稱系統(tǒng)為輸出能控的。DuCxyBuAxx 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：系統(tǒng)輸出能控的充要條件是輸出能控性判系統(tǒng)輸出能控的充要條件是輸出能控性判別矩陣：別矩陣： 12DBCABCACABCBSn ：狀態(tài)能控性和輸出能控性是兩個(gè)完全不同的概念，沒(méi)狀態(tài)能控性和輸出能控性是兩個(gè)完全不同的概念，沒(méi)有必然的聯(lián)系。某系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，輸出有可能有必然的聯(lián)系。某系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控，輸出有可能完

23、全能控。完全能控。的秩為的秩為m。其中。其中m為輸出維數(shù)。為輸出維數(shù)?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性 xyuxx01,112110 秩小于秩小于2，所以狀態(tài)不完全能控。，所以狀態(tài)不完全能控。 11111 rankABBrankrankQc1、狀態(tài)能控性判斷：、狀態(tài)能控性判斷：秩等于輸出維數(shù)秩等于輸出維數(shù)1，所以輸出能控。，所以輸出能控。 1011 rankDCABCBrankrankS2、輸出能控性判斷：、輸出能控性判斷：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)如果對(duì)任意給定的輸入如果對(duì)任意給定的輸入u(t)，存在一有限觀測(cè)時(shí)間存在

24、一有限觀測(cè)時(shí)間 ，使，使得根據(jù)得根據(jù) 期間的輸出期間的輸出 能唯一地確定系統(tǒng)在能唯一地確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻初始時(shí)刻的狀態(tài)的狀態(tài) ，則稱狀態(tài)，則稱狀態(tài) 是能觀測(cè)的。如果系統(tǒng)的每一個(gè)是能觀測(cè)的。如果系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的。狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的。,0ftt)(0tx0ttf )(ty)(0tx3.1.2 3.1.2 線性系統(tǒng)的能觀性定義及判據(jù)線性系統(tǒng)的能觀性定義及判據(jù) 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)說(shuō)明說(shuō)明：1） 已知系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間已知系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間 內(nèi)的輸出內(nèi)的輸出 ，觀，觀測(cè)的目標(biāo)是為了確定測(cè)的目標(biāo)是為了確定 。)(,1010tttt)(t

25、y)(0tx)(,1010tttt)(ty2）如果根據(jù)）如果根據(jù) 內(nèi)的輸出內(nèi)的輸出 能夠惟一地確定任意指能夠惟一地確定任意指定狀態(tài)定狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是可檢測(cè)的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性和能檢，則稱系統(tǒng)是可檢測(cè)的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性和能檢測(cè)性等價(jià)。測(cè)性等價(jià)。)(1tx3）狀態(tài)空間中所有有限點(diǎn)都是能觀測(cè)的，則系統(tǒng)才是能觀測(cè)的。）狀態(tài)空間中所有有限點(diǎn)都是能觀測(cè)的，則系統(tǒng)才是能觀測(cè)的。4）系統(tǒng)的輸入）系統(tǒng)的輸入 以及確定性的干擾信號(hào)以及確定性的干擾信號(hào) 均不改變系統(tǒng)的均不改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。能觀測(cè)性。)(tu)(tf控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：略：略（證明思路同能控性，用證明思路同能控性，用CH定理）定

26、理）：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)： 狀態(tài)完全能觀狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)性判別矩陣：測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)性判別矩陣：CxyAxx ,nrankQo 滿秩滿秩即：即： TTnTTTTnoCACACCACACQ11)( 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)xyuxx 0101,113112 判別如下系統(tǒng)的能觀測(cè)性：判別如下系統(tǒng)的能觀測(cè)性：故此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的故此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的2,12120101121231120101 oorankQCACQCA構(gòu)造能觀測(cè)性判別矩陣，并判斷其秩構(gòu)造能觀測(cè)性判別矩陣，并判斷其秩：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：線性非奇異變

27、換不改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性：線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性：設(shè)線性系統(tǒng)：設(shè)線性系統(tǒng) 具有具有兩兩相異的特征值兩兩相異的特征值 則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：非奇異變換后的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：xAxyCxn ,.,21 中，中， 不包含元素全為不包含元素全為0的列。的列。xCyxxn ,0021 C控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：定理：定理2說(shuō)明說(shuō)明設(shè)設(shè)2階系統(tǒng)的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為：階系統(tǒng)的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為： 2121,00ccCA 則根據(jù)定理則根據(jù)定理1有：有： 221121 ccccCACQo要使系統(tǒng)能觀測(cè)，則必有：要

28、使系統(tǒng)能觀測(cè)，則必有：0)(|1221221121 ccccccQo由于由于 互異，故：互異，故：0, 021 cc且且21, 推廣到推廣到n階系統(tǒng)就有定理階系統(tǒng)就有定理2：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) 不不能能觀觀測(cè)測(cè)狀狀態(tài)態(tài)不不完完全全能能觀觀測(cè)測(cè)154010507xxyxx 狀狀態(tài)態(tài)完完全全能能觀觀測(cè)測(cè) xyx察如下系統(tǒng)的能觀測(cè)性：考察如下系統(tǒng)的能觀測(cè)性：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)中，中， 陣中與每個(gè)約當(dāng)小塊陣中與每個(gè)約當(dāng)小塊 首列所首列所對(duì)應(yīng)的列，其元素不全為零對(duì)應(yīng)的列，其元素不全為零。：設(shè)線性系統(tǒng)：設(shè)線性系統(tǒng) 具有具有重特征值重特征值，且，且每個(gè)重每個(gè)

29、重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征向量特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征向量，則其狀態(tài)完全，則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：xCyxJJJxk,0021 C),.,2 , 1(kiJi CxyAxx ,控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：定理：定理3說(shuō)明說(shuō)明設(shè)設(shè)2階系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：階系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為： 2111,01ccCA 則根據(jù)定理則根據(jù)定理1有：有： 1211121 cccccCACQo要使系統(tǒng)能觀測(cè)，則必有：要使系統(tǒng)能觀測(cè)，則必有：0|211211121 ccccccQo 即：即：01 c推廣到推廣到n

30、階系統(tǒng)就有定理階系統(tǒng)就有定理3：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) nmnCIATiiranknCIA線性定常連續(xù)系統(tǒng)，能觀測(cè)的充分必要條件是線性定常連續(xù)系統(tǒng)，能觀測(cè)的充分必要條件是型矩陣型矩陣，對(duì)，對(duì)A A 的每一個(gè)特征值的每一個(gè)特征值之秩為之秩為n n，即，即控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)-2010-5101uyx xx1201001030130200rankrankrankrankCIACIA1例例3-9 3-9 判斷下列系統(tǒng)的能觀性判斷下列系統(tǒng)的能觀性解：已知特征值為解：已知特征值為-2-2、-5-5由于由于的判別陣秩不為的判別陣秩不為2 2，對(duì)故系統(tǒng)不能觀測(cè)。，對(duì)故系統(tǒng)不能觀測(cè)。 控制系

31、統(tǒng)的能控性和能觀性(I) 21211212212xxyxyuxxxuxx已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述如下，試判斷其能控性與能觀測(cè)性已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述如下，試判斷其能控性與能觀測(cè)性 xyuxx1101112110系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的矩陣形式為：系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的矩陣形式為：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)211101101 oorankQCACQ故系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測(cè)故系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測(cè) 故系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控故系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控 211111 ccrankQABBQ控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)1、2如下如下：22222222 xA xB uyC x1111 1111 xA

32、xBuyC x 1： 2：如果滿足如下關(guān)系，則稱兩系統(tǒng)是互為對(duì)偶的：如果滿足如下關(guān)系，則稱兩系統(tǒng)是互為對(duì)偶的：,TTTAABCCB212121一、線性定常系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系一、線性定常系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)1）互為對(duì)偶的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。）互為對(duì)偶的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。2）互為對(duì)偶的系統(tǒng)，其特征方程是相同的。）互為對(duì)偶的系統(tǒng)，其特征方程是相同的。11222211111111111( )( )TTTTTTTTssssssGCIABBIACBIACCIABG2110TTIAIAIA控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)設(shè)設(shè) 和和 是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則是互為

33、對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則 的能控的能控性等價(jià)于性等價(jià)于 的能觀測(cè)性；的能觀測(cè)性； 的能觀測(cè)性等價(jià)于的能觀測(cè)性等價(jià)于 的能控性。的能控性。 1 2 1 2 1 2 1 cQ nBAABBrankrankQnc 1若若 能控，則能控性矩陣能控，則能控性矩陣 滿秩。即滿秩。即2 的能觀測(cè)性矩陣為：的能觀測(cè)性矩陣為：控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)所以所以 能觀測(cè)。能觀測(cè)。2 112111122021112211111111111TTTTTnnTTTnTnTcBBCB AABC AQC ABAABBABABQ利用對(duì)偶原理，可以把對(duì)系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)其利用對(duì)偶原理，可以把對(duì)系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng)能

34、觀測(cè)性的分析。從而溝通了控制問(wèn)題和估計(jì)問(wèn)題之對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè)性的分析。從而溝通了控制問(wèn)題和估計(jì)問(wèn)題之間的關(guān)系。間的關(guān)系。反之亦然。反之亦然?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.2 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.2.1 3.2.1 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù) (1)( )( )( )( )xGxHuyCxkkkkk(0)x0k 0,k( )u k( )0 xk設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程為：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程為：對(duì)于任意給定的一個(gè)初始狀態(tài)對(duì)于任意給定的一個(gè)初始狀態(tài)，存在，存在，在有限時(shí)間區(qū)間，在有限時(shí)間區(qū)間

35、內(nèi)，存在容許控制序列內(nèi)，存在容許控制序列，使得，使得，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)： 狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣：狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣：21ncUH GH G HGH21ncrankUrank H GH G HGHn滿秩滿秩即：即：(1)( )( )x kGx kHu k控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) 判定下列線性離散系統(tǒng)的能控性。判定下列線性離散系統(tǒng)的能控性。0100(1)001( )0( )2311x kx ku k 20010113112crankUr

36、ank H GH G Hrank線性離散系統(tǒng)是完全能控的線性離散系統(tǒng)是完全能控的控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)(0)u(1)u(1)uk(0)y(1)y(1)yk(0)x已知輸入向量序列已知輸入向量序列及有限采樣周期內(nèi)測(cè)量到的輸出向量序列及有限采樣周期內(nèi)測(cè)量到的輸出向量序列，如果能唯一確定任意初始狀態(tài)向量，如果能唯一確定任意初始狀態(tài)向量，則稱系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是能觀測(cè)的。，則稱系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是能觀測(cè)的?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)：對(duì)于線性離散定常系統(tǒng)：對(duì)于線性離散定常系統(tǒng)： 狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)性判別矩陣：狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)性判

37、別矩陣：滿秩滿秩1onCCGrankUranknCG(1)( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx k控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) 判定下列線性離散系統(tǒng)的能觀性。判定下列線性離散系統(tǒng)的能觀性。101(1)021( )302001( )( )100 x kx ky kx k線性離散系統(tǒng)是不完全能觀的線性離散系統(tǒng)是不完全能觀的10011003022101901203onCCGrankUranknCG控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.3 3.3 能控標(biāo)準(zhǔn)形與能觀標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形與能觀標(biāo)準(zhǔn)形 3.3.1 3.3.1 能控標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形 一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式：一個(gè)單輸入系

38、統(tǒng)，如果具有如下形式： 則系統(tǒng)一定能控。這種形式的狀態(tài)空間方程稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形則系統(tǒng)一定能控。這種形式的狀態(tài)空間方程稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。狀態(tài)空間方程。01210110100000100000101nnuaaaay xxx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)定理定理3-13 3-13 若若n n維單輸入線性定常系統(tǒng)能控，則一定維單輸入線性定常系統(tǒng)能控，則一定能找到一個(gè)線性變換陣將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。能找到一個(gè)線性變換陣將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。具體做法是：設(shè)具體做法是：設(shè)A A的特征多項(xiàng)式為：的特征多項(xiàng)式為：121210det()IAnnnaaaa引入非奇異線性變換引入非奇異線性變換xPx其中其中

39、1212112111111nnnnaaaaaaPbAbA bAb1APAPbPb1CCP代入代入即得到式（即得到式（3-263-26）所示的能控標(biāo)準(zhǔn)形。）所示的能控標(biāo)準(zhǔn)形。 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)2020011100121 1 1xxx uy解：（解：（1 1）能控性矩陣）能控性矩陣 (2) A(2) A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 （3 3）計(jì)算變換矩陣）計(jì)算變換矩陣P P 20412135222QbAbA bc32det()452IA121221041254144010135410211100222100462aaa PbAbA b例例3-12 3-12 已知能控的線性已知能控的線性定

40、常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。形。控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)14400.250.50.252110.50.50.2546210.50.75 P（4 4）計(jì)算線性變換后各矩陣）計(jì)算線性變換后各矩陣（5 5）系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形為）系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形為110100001 ,0 ,2332541APAPbPbCCP 010000102541233xxx uy控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I) 由于線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，故由標(biāo)準(zhǔn)形求由于線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，故由標(biāo)準(zhǔn)形求得的傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)得的傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 111101110

41、( )()nnnnnsssssasa sayuGCIAb因此如果已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)，也可以直接由兩式各參數(shù)因此如果已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)，也可以直接由兩式各參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，寫(xiě)出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，寫(xiě)出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。01210110100000100000101nnuaaaay xxx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3242( )231yusGssss01a 13a 22a 011220解解 由傳遞函數(shù)可知由傳遞函數(shù)可知代入（代入（3-263-26）可得對(duì)應(yīng)能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為）可得對(duì)應(yīng)能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為010000101321240uy xxx例例3-12 3-

42、12 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。間方程?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.3.2 3.3.2 能觀標(biāo)準(zhǔn)形能觀標(biāo)準(zhǔn)形一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式：一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式： 則系統(tǒng)一定能觀測(cè)。這種形式的狀態(tài)空間方程稱為能觀測(cè)標(biāo)則系統(tǒng)一定能觀測(cè)。這種形式的狀態(tài)空間方程稱為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 。001122110001000100010001xxxnnaaauaydu控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)定理定理3-14 3-14 若維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)，則一定若維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)，

43、則一定能找到一個(gè)線性變換陣將其變換成能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。能找到一個(gè)線性變換陣將其變換成能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。 具體做法是：設(shè)具體做法是：設(shè)A A的特征多項(xiàng)式為：的特征多項(xiàng)式為：121210det()IAnnnaaaa引入非奇異線性變換引入非奇異線性變換xPx其中其中 12121111101nn2nn-1aaaaaaCCAPCACA1APAPbPb1CCP代入代入即得到式（即得到式（3-303-30）所示的能觀標(biāo)準(zhǔn)形）所示的能觀標(biāo)準(zhǔn)形 。 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)2020011100121 1 1xxx uy解：（解：（1 1）能觀性矩陣）能觀性矩陣 (2) A(2) A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 （3

44、3）計(jì)算變換矩陣）計(jì)算變換矩陣P P 111214419o2CQCACA32det()452IA1212154111112210410214230100100419111aaa 2CPCACA例例3-14 3-14 已知能觀的線性已知能觀的線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：試將其變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)試將其變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)形。形?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)1122346230234111111 P（4 4）計(jì)算線性變換后各矩陣）計(jì)算線性變換后各矩陣（5 5）系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形為）系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形為110022105 ,3 ,0010143 APAPbPbCCP002210530143001uy xx

45、x控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.4 3.4 能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系定理定理3-15 3-15 單輸入單輸出系統(tǒng)能控且能觀測(cè)的充分必要條件單輸入單輸出系統(tǒng)能控且能觀測(cè)的充分必要條件是傳遞矩陣是傳遞矩陣G(s)G(s)的分母與分子之間不發(fā)生因子相消。的分母與分子之間不發(fā)生因子相消。010(1)2.512.51.5102.52.5(2)0111.51101(3)1002.50 xxuyxxxuyxxxuyx 2.5( )(2.5)(1)sG sss例例3-15 3-15 已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，判斷其能控性、能觀測(cè)

46、性。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，判斷其能控性、能觀測(cè)性。解：如果求出各自的傳遞函數(shù)，可看出三個(gè)系統(tǒng)的傳遞解：如果求出各自的傳遞函數(shù)，可看出三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為函數(shù)均為能控不能觀能控不能觀能觀不能控能觀不能控不能控不能觀不能控不能觀控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)定理定理3-173-17如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣量之間的傳遞矩陣 的各列在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)，則系的各列在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)，則系統(tǒng)是能觀測(cè)的。（充分必要條件）統(tǒng)是能觀測(cè)的。（充分必要條件）定理定理3-16 3-16 如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量如果多輸入

47、、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣之間的傳遞矩陣 的各行在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)，則的各行在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）定理定理3-153-15只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，對(duì)于有重特征值的只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，對(duì)于有重特征值的多輸入、多輸出系統(tǒng)，即使有零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)仍可能是多輸入、多輸出系統(tǒng)，即使有零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)仍可能是既能控又能觀測(cè)的。既能控又能觀測(cè)的。 例例3-16 3-16 判斷下列多輸入輸出系統(tǒng)的能控、能觀測(cè)性判斷下列多輸入輸出系統(tǒng)的能控、能觀測(cè)性12241( )()40(1) (4)ssG sC sIABsss存

48、在零、極點(diǎn)對(duì)消的情況。存在零、極點(diǎn)對(duì)消的情況。1IABs1C IAs控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)例例3-17 3-17 試用傳遞矩陣試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性能觀測(cè)性132010420000110100001 xxuyx12241()20(1) (4)40sssIABsss124321()004(1) (4)ssC sIAsss解：（解：（1 1） 三個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)是能控的。三個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)是能控的。（2 2） 三個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)是能觀測(cè)的。三個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)是能觀測(cè)的。控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.5 3.5 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)

49、現(xiàn)問(wèn)題 由給定的傳遞函數(shù)（或脈沖響應(yīng)）建立與輸入由給定的傳遞函數(shù)（或脈沖響應(yīng)）建立與輸入輸出特性等價(jià)的系統(tǒng)方程的問(wèn)題，稱為輸出特性等價(jià)的系統(tǒng)方程的問(wèn)題，稱為實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。 轉(zhuǎn)換時(shí)由于狀態(tài)方程的表示不是唯一的，因此傳遞函轉(zhuǎn)換時(shí)由于狀態(tài)方程的表示不是唯一的，因此傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換也不是唯一的。一個(gè)傳遞函數(shù)可以數(shù)到狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換也不是唯一的。一個(gè)傳遞函數(shù)可以對(duì)應(yīng)多個(gè)狀態(tài)方程。對(duì)應(yīng)多個(gè)狀態(tài)方程。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問(wèn)在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問(wèn)題的需要，將傳遞函數(shù)化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式。題的需要，將傳遞函數(shù)化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式。 設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)傳

50、遞函數(shù)為 11101110( )mmmmyunnnb sbsbsbGssasa sa控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.5.1 3.5.1 能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)例例3-18 3-18 已知傳遞函數(shù)為已知傳遞函數(shù)為23265( )92624yussGssss試采用不同的轉(zhuǎn)換方法到不同標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間方程。試采用不同的轉(zhuǎn)換方法到不同標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間方程。解：解：1 1、能控標(biāo)準(zhǔn)形、能控標(biāo)準(zhǔn)形引入中間變量引入中間變量V(s)V(s) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )yuY sY s V sGsU sV s U s32( )1( )92624V sU ssss設(shè)設(shè)2

51、( )65( )Y sssV s得得92624vvvvu65vvvy設(shè)設(shè)1xv21 xx32 xx有有控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)122331231232426956 xxxxxxxxuyxxx可得到如式（可得到如式（3-263-26）的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為）的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為 11223312301000010242691561 xxxxuxxxyxx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)2 2、能觀標(biāo)準(zhǔn)形、能觀標(biāo)準(zhǔn)形同樣也可以通過(guò)設(shè)狀態(tài)變量得到與能控標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)偶的能觀標(biāo)同樣也可以通過(guò)設(shè)狀態(tài)變量得到與能控標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)偶的能觀標(biāo)準(zhǔn)形，其表達(dá)式為：準(zhǔn)形，其表達(dá)式為：112233123002451

52、02660191001 xxxxuxxxyxx實(shí)際上，控制系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形通常簡(jiǎn)單地實(shí)際上，控制系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形通常簡(jiǎn)單地根據(jù)式（根據(jù)式（3-263-26）、式（）、式（3-293-29）與式（）與式（3-313-31）各參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)）各參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系直接寫(xiě)出。系直接寫(xiě)出。控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.5.2 3.5.2 對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) 2323365422( )92624432yussGsssssss 設(shè)設(shè) 則有則有 例例3-183-1811( )( )4X sU ss21( )( )3XsU ss31( )( )2XsU s

53、s設(shè)設(shè) 則有則有 設(shè)設(shè) 則有則有 114 xxu223 xxu332 xxu由由 有有12333( )( )4( )( )22 Y sX sXsXs12333422 yxxx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)由以上各式可寫(xiě)出對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為由以上各式可寫(xiě)出對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為11223312340010301002133422xxxxuxxxyxx 例例3-183-18是特征根各不相同時(shí)的解法，由于實(shí)際系統(tǒng)是特征根各不相同時(shí)的解法，由于實(shí)際系統(tǒng)的特征根還存在有重根的情況，這里分別對(duì)這兩種的特征根還存在有重根的情況，這里分別對(duì)這兩種情況討論一下系統(tǒng)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的實(shí)現(xiàn)情況討論一下

54、系統(tǒng)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。問(wèn)題。 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)一、系統(tǒng)的特征根互異一、系統(tǒng)的特征根互異1110111012121( )mmmmyunnnnnniiib sbsbsbGssasa sacccssscs式中式中 為系統(tǒng)的互異極點(diǎn)（特征值），為系統(tǒng)的互異極點(diǎn)（特征值）， 為待定系數(shù)。當(dāng)系數(shù)為待定系數(shù)。當(dāng)系數(shù) 比較復(fù)雜時(shí)，可采用公式（比較復(fù)雜時(shí)，可采用公式（3 33333）來(lái)計(jì)算。來(lái)計(jì)算。12, n12,nc cciclim( )iiyuiscGss控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)這時(shí)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程可寫(xiě)為這時(shí)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程可寫(xiě)為 1212

55、001001001xxx nnuyccc11220000001 11xxxnnccucy或或 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)設(shè)有一個(gè)設(shè)有一個(gè)m m重根重根 ，其余，其余 是互異根。是互異根。二、系統(tǒng)的特征根具有重根二、系統(tǒng)的特征根具有重根1nqq,21111011101(1)111121211111( )()()()()()mmmmyunnnnmmimmi mib sbsbsbGssasa sacccccsssss互異根對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)互異根對(duì)應(yīng)的待定系數(shù) 可以由式（可以由式（3-333-33）求出，重根對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)求出，重根對(duì)應(yīng)的待定系數(shù) 采用公式采用公式（3-373-37）計(jì)算。）計(jì)算。1

56、2,mmnccc11121,mccc111111lim( )1 !imiyuisdcGssids 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)此時(shí)只能寫(xiě)出該系統(tǒng)如下形式的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程此時(shí)只能寫(xiě)出該系統(tǒng)如下形式的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 111212111111110000000100000000100000000000000000000mmmmmmmnnnxxxxxxxxxxxx0111 u狀態(tài)方程狀態(tài)方程控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)輸出方程輸出方程 12111121(1)111mmmmnmmnxxxyccccccxxx控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)例例3-19 3-19 已知系統(tǒng)傳已知系統(tǒng)傳遞函

57、數(shù)為遞函數(shù)為 2241716( )23yussGsss寫(xiě)出其對(duì)角或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。寫(xiě)出其對(duì)角或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。1,22 33 解：系統(tǒng)特征值解：系統(tǒng)特征值可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形?？苫癁榧s當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。 311122( )(2)(2)(3)yucccGssss2112lim( )22yuscGss 2122lim( )23yusdcGssds33lim( )31yuscGss求出式中待定系數(shù)求出式中待定系數(shù) 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)112233123210002010031( ) 231 xxxxuxxxy txx則狀態(tài)空間方程為則狀態(tài)空間方程為 需要注意的是需要注意的是 這里講的閉

58、環(huán)傳遞函數(shù)的分母階次小于分子階次的情這里講的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母階次小于分子階次的情況（況（nm) nm) 。如果分母階次等于分子階次時(shí)（如果分母階次等于分子階次時(shí)（ n=mn=m），這），這時(shí)應(yīng)做一次除法，將傳遞函數(shù)化為帶分式的形式，再去求時(shí)應(yīng)做一次除法，將傳遞函數(shù)化為帶分式的形式，再去求狀態(tài)方程的表達(dá)式。狀態(tài)方程的表達(dá)式。 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)例例3-20 3-20 已知系統(tǒng)傳已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為遞函數(shù)為寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程。3232103229( )92624yusssGssss322323210322965( )19262492624yuss

59、sssGsssssss 11223312301000010242691561 xxxxuxxxyxux解：解： 此時(shí)狀態(tài)空間方程式帶有關(guān)聯(lián)矩陣此時(shí)狀態(tài)空間方程式帶有關(guān)聯(lián)矩陣 能控標(biāo)準(zhǔn)形為能控標(biāo)準(zhǔn)形為 控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.5.3 3.5.3 最小實(shí)現(xiàn)最小實(shí)現(xiàn) 通常我們希望實(shí)現(xiàn)的維數(shù)越低越好。在所有可能的實(shí)現(xiàn)中，通常我們希望實(shí)現(xiàn)的維數(shù)越低越好。在所有可能的實(shí)現(xiàn)中，維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)稱為最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)反映了系統(tǒng)最簡(jiǎn)維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)稱為最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)反映了系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，因此最具有工程意義。單的結(jié)構(gòu)，因此最具有工程意義。定理定理3-18 3-18 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 的一個(gè)實(shí)現(xiàn)的一個(gè)實(shí)

60、現(xiàn) 為最為最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是：小實(shí)現(xiàn)的充要條件是： 不但能控而且能觀。不但能控而且能觀。( )yusG( ,)A B C( , ,)A B C一般而言，構(gòu)造最小實(shí)現(xiàn)可按如下步驟進(jìn)行：一般而言，構(gòu)造最小實(shí)現(xiàn)可按如下步驟進(jìn)行：（1 1）按給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣先找出一種實(shí)現(xiàn)；通常，）按給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣先找出一種實(shí)現(xiàn)；通常，最方便的方法是選取能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)或能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。最方便的方法是選取能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)或能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。（2 2）對(duì)所得實(shí)現(xiàn)中，找出其完全能控且完全能觀測(cè)部分）對(duì)所得實(shí)現(xiàn)中，找出其完全能控且完全能觀測(cè)部分，即為最小實(shí)現(xiàn)。，即為最小實(shí)現(xiàn)?？刂葡到y(tǒng)的能控性和能觀性(I)3.6 3.6