插板法原理及應(yīng)用

1、插板法理論分析：假定M個(gè)元素，分成N組，M個(gè)元素中間有(M-1)個(gè)空，如果想分為N組的話需要插入(N-1)個(gè)木板，所以方法數(shù)為：C (M-l, N-1)；注意插板法的三要件：相同元素分配；所分組是不相同的；每組至少分到一個(gè)。插板法的三種基本形式：(1)將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多 少種方法？A.21B.28C.32D.48范香凝解析：8個(gè)球中間有7個(gè)空，分到3個(gè)盒子需要插兩塊板，插板法C (7 2) =21種, 選A對于不滿足第三個(gè)條件一即“每組至少一個(gè)”的情況,要先轉(zhuǎn)化為標(biāo)灌形式，再使用插板法。(2)將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每

2、個(gè)盒子至少放兩個(gè)球，一共有多 少種方法？A.3B.6C.12P.21范香凝解析：先往每個(gè)盒子里提前放一個(gè)、還剩下5個(gè)；轉(zhuǎn)化為5個(gè)相同的球分到3個(gè)不同 的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)，插板法C (4 2) =6種，選B(3)將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法？A.15B.28C.36P.45范香凝解析：此時(shí)因?yàn)槊總€(gè)盒子可以分。個(gè)，先讓每個(gè)盒子提供一個(gè)球給我們、分的時(shí)候再 還回去；轉(zhuǎn)化為11個(gè)相同的球分到3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)，插板法C (10 2) =45種，選D此時(shí)也可以根據(jù)八個(gè)球之間9個(gè)空，兩個(gè)板子插不同的空有C (9 2) =36種、插同一個(gè)空有 C (9 1)

3、=9 種，36+9=45 種；對比三種不同的考法，其實(shí)它們之間是存在密切聯(lián)系的。8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中, 8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中, 8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中, 這三種基本形式，要牢牢掌握。每個(gè)盒子至少放。個(gè)球，有C (102)種;每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有C (7 2)種;每個(gè)盒子至少放兩個(gè)球，有C (4 2)種;例1:某單位訂閱了 30份相同的學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少發(fā)放9份材料。問共有多少種不同的發(fā)放方法？【國家2010A.12B.10C.9P.7范香凝解析：每個(gè)部分先提前分8份材料.，還剩下3d3X8=6份；相當(dāng)于6份材料分給3個(gè) 部門，

4、每個(gè)部門至少分1份，插板法C (52) =10種，選B例2:某辦公室接到15份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙三名工作人員處理。假如每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于3份，也不得多于10份，則共有()種分配方式?！緩V州2014A.15B.18C.21D.28楚香凝解析：每人先分2份、還剩下15-3X2=9份；相當(dāng)于9份公文分給三個(gè)人，每人至少1份、至多8份，插板法C (82) =28種，選D例3:某單位共有10個(gè)進(jìn)修的名額分到下屬科室，每個(gè)科室至少一個(gè)名額，若有36種不同分配方案，問該單位懸多有多少個(gè)科室？【黑龍江2015】A.7B.8C.9P.10范香凝解析：C (10-1, n-1) =3

5、6,代入n=8滿足，選B補(bǔ)充：若問晟少有多少個(gè)科室，因?yàn)镃 (9 2) =36,此時(shí)為3個(gè)科室。例4:把10個(gè)相同的球放入編號(hào)為1, 2, 3的三個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不小于 它的編號(hào)，則不同的方法有()種。A.10B.15C.20D.25范香凝解析：第二個(gè)盒子先提前放1個(gè)球、第三個(gè)盒子先提前放2個(gè)球，還剩下10-1-2=7 個(gè)球；相當(dāng)于把7個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，插板法C (6 2) =15種，選B例5:把10個(gè)相同小球放入3個(gè)不同箱子，第一個(gè)箱子至少1個(gè)，第二個(gè)箱子至少3個(gè)， 第三個(gè)箱子可以放空球，有幾種情況？A.15B.28C.36D.66范香凝解析：第

6、二個(gè)盒子先提前放2個(gè)球、從第三個(gè)盒子拿出1個(gè)球，還剩下162+1=9個(gè) 球；相當(dāng)于把9個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，插板法C (8 2)=28種，選D例6:現(xiàn)有9塊巧克力(其中5塊有夾心)，若將這些巧克力分給3個(gè)小朋友，平均每個(gè)人 都有3塊，問每個(gè)小朋友都至少分得1塊夾心巧克力的情況有多少種？【粉筆?？肌緼.6B.9C.12P.25范香凝解析：相當(dāng)于把5塊夾心巧克力分給3個(gè)人，每人至少1塊、至多3塊，插板法C(4 2) =6種，然后再分配非夾心巧克力使得每人恰好3塊即可，選A對于插板法的基礎(chǔ)題型來說，最關(guān)鍵的一步就是把題中的條件轉(zhuǎn)化成插板法的標(biāo)準(zhǔn)形式，即 “每組至少一個(gè)”。

7、插板法技巧進(jìn)階篇在直接使用插板法時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不滿足題意的情況，需要減掉。例6:某單位購買了 10臺(tái)新電腦，計(jì)劃分配給甲、乙、丙3個(gè)部門使用。已知每個(gè)部門都 需要新電腦,且每個(gè)部門最多得到5臺(tái)，那么電腦分配方法共有()種。 【廣東2013】 A.9B.12C.18P.27范香凝解析：插板法C (9 2) =36種；然后去掉不滿足題意的情況(即有的部門多于5臺(tái))： 選一個(gè)部門C (3 1)、先分給這個(gè)部門5臺(tái)，再把剩下的5臺(tái)分給3個(gè)部門，插板法C (4 2),則不滿足題意的情況有C (31) XC (4 2) =18種，滿足題意的情況有36-18=18種，選例7:有3個(gè)單位共訂300份人民日報(bào)，

8、每個(gè)單位是少訂99份，最多101份。問一共有多少種不同的訂法？【黑龍江2010)A.4B.5C.6D.7楚香凝解析：解法一：分類：99+100+101的情況有A (33) =6種，100+100+100的情況有一種，共7種， 選D解法二：每個(gè)單位先提前分98份，還乘fF30d3X98=6份；相當(dāng)于把6份日報(bào)分給3個(gè)單 位，每個(gè)單位至少分1份、至多分3份，插板法減去有單位分到4份的情況，C (5 2) -C (3 1) =7種，選D有時(shí)直接正面使用插板法，因?yàn)樾枰獪p掉的情況比較多，可以考慮從反面入手，利用“先 全部分下去再收回一部分”的思想。例3:四個(gè)小朋友分17個(gè)相同的玩具，每人至多分5個(gè)，至

9、少分1個(gè)，那么有多少種分法？ 【河南招警2011】A.18 B. 19 C. 20 D. 21楚香凝解析：每個(gè)小朋友先分5個(gè)、共分了 20個(gè)，再收回20-17=3個(gè)，每人至少交回0個(gè), 插板法C (63) =20種，選C例4:某快問快答節(jié)目第一關(guān)設(shè)置4道題，選手笞錯(cuò)任意一題則立即停止答題。比賽規(guī)定： 第一題到第四題的答題時(shí)間分別限定在10、8、6、3秒內(nèi)(選手每題的答題時(shí)間都計(jì)為整秒 且至少為1秒)，某位選手通過第一關(guān)，答題用時(shí)24秒，則該選手在4道題上的答題用時(shí)組 合有多少種：【粉筆模考】A.8B.15C.19D.20楚香凝解析：總的時(shí)間上限=10+8+6+3=27秒，相當(dāng)于從27秒中去掉3

10、秒，每題可以去0 秒、第四題最多去2秒；轉(zhuǎn)化為三個(gè)名額分給四道題，每道題至少分0個(gè)，再去掉三個(gè)名額 都分給第四題的情況，插板法，C (6 3) -1=19種，選C如果對于以上知識(shí)都已理解，可以通過下面幾道練習(xí)題進(jìn)行鞏固。練習(xí)1：有3個(gè)單位共訂300份人民日報(bào)，每個(gè)單位晨少訂99份，最多102份。問一共 有多少種不同的訂法？A.6B.7C.8D.10范香凝解析：每個(gè)單位先提前分98份，還剩下300-3X98=6份；相當(dāng)于把6份日報(bào)分給3 個(gè)單位，每個(gè)單位至少分1份、至多分4份，插板法C (5 2) =10#,選D練習(xí)2:某辦公室接到15份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙三名工作人員處理。假如 每

11、名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于2份，也不得多于10份，則共有多少種分配方式： A.52B.53C.54P.55楚香凝解析：每人先分1份、還剩下12份；相當(dāng)于把12份公文分給3個(gè)人，每人至少1份、 至多9份，插板法C (11 2) =55#,去掉有人分到多于9份的情況(即10+1+1)、有C(31) =3種，則滿足題意的情況有553=52種,選A練習(xí)3：某辦公室接到18份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙三名工作人員處理。假如 每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于3份，也不得多于10份，則共有多少種分配方式： A.43B.46C.51D.55范香凝解析：每人先分2份、還剩下12份；相當(dāng)于把12份公

12、文分給3個(gè)人，每人至少1份、 至多8份，插板法C (11 2) =55種，去掉有人分到多于8份的情況：先選一個(gè)人分給他8 份，剩下的4份分給3個(gè)人，每人至少1個(gè)，有C (3 1) XC (3 2) =9種，則滿足題意的 情況有55-9=46種，選B練習(xí)4:某辦公室接到16份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙、丁四名工作人員處理。假如每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于2份，也不得多于5份，則共有多少種分配方式: A.20B.27C.31D.35楚香凝解析：每人先分5份、共分了 20份，再收回4份，每人至少交出。份、至多交出3 份，插板法C (7 3) =35種，去掉有人交出4份的情況C (4 1)

13、 =4種，則滿足題意的情 況有35-4=31種，選C練習(xí)5:袋中有紅、白、黑三種顏色的球各10個(gè)，從中抽出16個(gè)，要求三種顏色的球都有, 有多少種不同的抽法？A.35B.45C.75P.105范香凝解析：相當(dāng)于16個(gè)名額分給三種顏色，每種顏色至少一個(gè)金額，插板C (152) =105 種；去掉某種顏色多于10個(gè)球的情況，先選一種顏色C (3 1)、先分給它10個(gè)，剩下6個(gè) 金額再分給三種顏色，每種顏色至少一個(gè)名額，插板C (5 2) =10,則滿足題意的情況有 105-3X10=75#,選 C插板法技巧之比賽得分計(jì)算(0某社區(qū)組織開展知識(shí)競賽，有5個(gè)家庭成功晉級決賽的搶答環(huán)節(jié)，搶答環(huán)節(jié)共5道題

14、。 計(jì)分方式如下：每個(gè)家庭有10分為基礎(chǔ)分；若搶答到題目，答對一題得5分，答錯(cuò)一題扣 2分；搶答不到題目不得分。那么，一個(gè)家庭在搶答環(huán)節(jié)有可能獲得()種不同的分?jǐn)?shù)。【廣東2013)A.18B.21C.25D.36范香凝解析：有沒有基礎(chǔ)分并不影響得分的情況數(shù)；相當(dāng)于把5道題分給答對、笞錯(cuò)、不答 三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題，插板法C (7 2) =21#,選B通過分類可以看的更加清楚，笞對一道和答錯(cuò)一道相差5+2=7分；搶到0道時(shí)，得分只有一種，即基礎(chǔ)分10分；搶到1道時(shí)，得分有兩種，答錯(cuò)為8分、答對為15分；搶到2道時(shí)，得分有三種，分別是6、13、20;搶到3道時(shí)，得分有四種，分別是4、11

15、、18、25;搶到4道時(shí)，得分有五種，分別是2、9、16、23、30;搶到5道時(shí)，得分有六種，分別是0、7、14、21、28、35;共 1+2+3+4+5+6=21 種，選 B(2)某次教學(xué)競賽共有10道選擇題，評分辦法是笞對一道得4分，答錯(cuò)一道扣1分，不答 得0分。設(shè)這次競賽最多有N種可能的成績，則N應(yīng)等于多少？【深圳2008)A.45B.47C.49D.51范香凝解析：相當(dāng)于把1()道題分給答對、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題， 插板法C(12 2) =66種，但是注意此時(shí)有些情況的得分是重侵的，出現(xiàn)重復(fù)的原因是4X 1 + (-0 X4=0,即答對一道+答錯(cuò)四道=不答五道=0分

16、。如果先拿出5道題、這五道題共得 了0分、而得到o分的情況有兩種，所以在對剩余的五道題進(jìn)行插板分配時(shí)C (72) =21, 這21種情況出現(xiàn)的得分跟前五道題的0分合起來，每種得分都被重復(fù)算了兩次、需要減掉 一次，所以滿足題意的情況數(shù)有66-21=45種，選A也可以結(jié)合一個(gè)具體的得分進(jìn)行說明，比如8這個(gè)得分，8=4X2=4X3+ (-1) X4,有兩種 可能：(1)答對兩道、不答八道，(2)笞對三道、答錯(cuò)四道、不答三道；兩種可能性進(jìn)行對 比，消掉相同部分(答對兩道、不答三道)后，(1)不答五道，(2)答對一道、答錯(cuò)四道。 這其實(shí)就是出現(xiàn)重置的根源，或者說，對于任何一種重使得分，消掉相同部分后，剩

17、下的部 分都是不答五道=答對一道+答錯(cuò)四道，即如果先拿出五道題，對剩下五道題進(jìn)行插板，這 C (7 2) =21種情況都會(huì)出現(xiàn)重短、需要減掉。(3)某測驗(yàn)包含1。道選擇題，評分標(biāo)海為答對得3分，答錯(cuò)扣1分，不答得0分，且分?jǐn)?shù) 可以為負(fù)數(shù)。如所有參加測驗(yàn)的人得分都不相同，問是多有多少名測驗(yàn)對象？【浙江B2018】 A.38B.39C.40D.41范香凝解析：相當(dāng)于把1。道題分給答對、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題， 插板法C(12 2) =66種，但是注意此時(shí)有些情況的得分是重短的，出現(xiàn)重宣的原因是3X1 + (-0 X3=0,即答對一道+答錯(cuò)三道=不答四道=0分。如果先拿出4道題、這

18、四道題共得 了0分、而得到o分的情況有兩種，所以在對剩余的六道題進(jìn)行插板分配時(shí)C (82) =28, 這28種情況出現(xiàn)的得分跟前四道題的。分合起來，每種得分都被重復(fù)算了兩次、需要減掉 一次，所以滿足題意的情況數(shù)有66-28=38種，選A也可以結(jié)合一個(gè)具體的得分進(jìn)行說明，比如15這個(gè)得分，15=3X5=3X6+ (-1) X3,有兩 種可能：(1)答對五道、不答五道，(2)答對六道、答錯(cuò)三道、不答一道；兩種可能性進(jìn)行 對比，消掉相同部分(答對五道、不答一道)后，(1)不答四道，(2)答對一道、答錯(cuò)三道。 這其實(shí)就是出現(xiàn)重更的根源，或者說，對于任何一種重:侵得分，消掉相同部分后，剩下的部 分都是不

19、答四道=答對一道+答錯(cuò)三道，即如果先拿出四道題，對剩下六道題進(jìn)行插板，這 C (82) =28種情況都會(huì)出現(xiàn)重短、需要減掉。對于加分和減分不互質(zhì)的情況，需要進(jìn)行一步行化。(4)某次教學(xué)競賽共有10道選擇題，評分辦法是答對一道得4分，答錯(cuò)一道扣2分，不答 得。分。設(shè)這次競賽最多有N種可能的成績，則N應(yīng)等于多少？A.21B.30C.38D.51范香凝解析：相當(dāng)于把1。道題分給答對、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題， 插板法C(12 2) =66種，但是注意此時(shí)有些情況的得分是重侵的，出現(xiàn)重復(fù)的原因是4X 1 +(-2) X2=0,即答對一道+答錯(cuò)兩道=不答三道=0分。如果先拿出3道題、這三

20、道題共得 了。分、而得到0分的情況有兩種，所以在對剩余的七道題進(jìn)行插板分配時(shí)C (9 2) =36, 這36種情況出現(xiàn)的得分跟前三道題的0分合起來，每種得分都被重復(fù)算了兩次、需要減掉 一次，所以滿足題意的情況數(shù)有66-36=30種，選B(5)某次教學(xué)競賽共有10道選擇題，評分辦法是回答完全正確得5分，不完全正確得3分， 完全錯(cuò)誤得0分。設(shè)這次競賽最多有N種可能的成績，則N應(yīng)等于多少？A.30B.38C.45D.60范香凝解析：先做一步轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。雞兔同籠思想：假設(shè)初始為30分，相當(dāng) 于10道題全部不完全正確，在此基礎(chǔ)上，每對一道增加2分、每錯(cuò)一道減少3分，那么就 變成了回笞完全正確

21、得2分，不完全正確得0分，完全錯(cuò)誤得-3分。插板法C (12 2) =66 種，去掉重侵的部分：先拿出3+2=5道題，剩下的五道題插板C (7 2) =21種，66-21=45 種，選C(6)在一次數(shù)學(xué)考試中，有10道選擇題，評分辦法是：答對一題得4分，笞錯(cuò)一題倒扣1 分，不笞得。分，已知參加考試的學(xué)生中，至少有4人得分相同。那么，參加考試的學(xué)生至 少有多少人？A.91B.103C.136D.199范香凝解析：先求得分情況有多少種；插板法，C (12 2) -C (7 2) =45種，抽屜原理之最不利原則，每種得分先分3個(gè)人，再分一個(gè)人必然滿足題意，45X3+1 = 136人，選D(7)學(xué)生參

22、加數(shù)學(xué)競賽，共20道題，有20分基礎(chǔ)分，笞對一題給3分，不答給。分，答 錯(cuò)一題例扣1分，若有1978人參加競賽，至少有多少人得分相同？A.26B.27C.49D.50范香凝解析：先求得分情況有多少種；插板法，C (22 2) -C (18 2) =78種，抽屜原理之平 均分配問題，197878=2528,所以每種得分先分25人，剩下的28個(gè)人也盡可能平均分 配，則至少有25+1=26個(gè)人得分相同，選A(8)小梁買了一個(gè)會(huì)走踣的機(jī)器貓玩具，這個(gè)機(jī)器貓只能走直線不能拐彎，并且只有向前 走1cm、3cm、5cm這三種步伐。小梁可以通過遙控器控制機(jī)器貓的每一種步伐。若在小梁 的控制下機(jī)器貓走了4步，該

23、機(jī)器貓可以到達(dá)()種不同的距離。A.8B.9C.10P.11楚香凝解析：解法一：聚少走4cm、聚多走20cm,所以420之間的偶數(shù)都可以到達(dá)，選B解法二：轉(zhuǎn)化為4道題，每道題完全答對加5分、部分答對加3分、答錯(cuò)加1分，雞兔同籠 轉(zhuǎn)化為完全答對加2分、部分答對加0分、答錯(cuò)加-2分，插板法C (6 2) -C (42) =9種， 選B(9)有1元、10元、100元的紙幣共60張，每種至少一張，總錢數(shù)有多少種可能？A.583B.592C.604P.617范香凝解析：轉(zhuǎn)化為完全正確得100分，不完全正確得10分，完全錯(cuò)誤得I分；利用雞兔 同籠再矮化為完全正確得90分，不完全正確得0分，完全錯(cuò)誤倒扣9分

24、；插板法C (59 2) = 1711種；去掉重息的情況：1道完全正確+10道完全錯(cuò)誤=口道不完全正確，先拿出11道 題，剩下的插板 C (48 2) =1128 種;1711-1128=583 種，選 A插板法技巧之常見應(yīng)用模型(1)方程a+b+c=10有多少組正整數(shù)解？A.15B.20C.28D.36范香凝解析：相當(dāng)于把10個(gè)相同的蘋果分給三個(gè)人，每人至少一個(gè)，插板法C (9 2) =36 種，選D(2)不等式a+b+cW 10有多少組非負(fù)整數(shù)解？A.66B.78C.84D.286楚香凝解析：補(bǔ)一個(gè)字母d,轉(zhuǎn)化為a+b+c+d=10,此時(shí)a、b、c、d都是0的，相當(dāng)于把10個(gè)相同的蘋果分給

25、四個(gè)人，每人至少()個(gè)，插板法C (133) =286種，選D(3)(A+B+C) 10的展開式中共有多少項(xiàng)?A.36B.45C.66D.91范香凝解析：對于(A+B+C) 10的展開式中的任何一項(xiàng)AxX ByXCz,都有x+y+z=10,其 中x、y、z都是的；相當(dāng)于把10個(gè)相同的蘋果分給三個(gè)人，每人至少0個(gè)，插板法C (12 2) =66種，選C(4)有1。顆糖，如果每天至少吃一顆(至多不限)，吃完為止，問有多少種不同的吃法？A.144B.217C.5120.64()楚香凝解析：解法一：若1天吃完，只有1種；若2天吃完，插板法有C (91)種；若3天吃完，插板法 有 C (9 2)種，共

26、C (9 0) +C (91) +c (9 2) + +C (9 9) =29=512 種，選 C解法二:10顆糖之間有9個(gè)空，每個(gè)空都可以選擇是否插板,對應(yīng)的吃糖數(shù)就不同，共29=512 種，選C(5)有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)教字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不 能再寫為止，如257、303369、1347等等，這類數(shù)共有多少個(gè)？A.36B.45C.55D.66范香凝解析：前兩位固定，則第三位及之后的數(shù)都固定，首位+第二位£9,補(bǔ)成a+b+c=9, 其中b、C都可為0,插板法C (102) =45個(gè)，選B(6)有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)

27、數(shù)字之差，直至不 能再寫為止，如7523、9817. 63303等等，這類數(shù)共有多少個(gè)？A.45B.50C.54D.55范香凝解析：從星后兩位考慮，若個(gè)位和十位固定，則往前依次固定，個(gè)位+十位9,補(bǔ) 成a+b+c=9,其中a、b、c單獨(dú)都可為0,插板法C (11 2) =55,去掉a、b同時(shí)為0的情 況，滿足題意的情況有55-1=54種，選C補(bǔ)充：這類自然數(shù)中昊大的為85321101(7) 4位同學(xué)分五個(gè)蘋果、1個(gè)梨，每位同學(xué)至少分到一個(gè)水果，有多少種不同的分法？A. 16 種B.24 種 C.40 種 D.48 種范香凝解析：先分梨有C (4 1) =4種，假設(shè)分給了甲；接下來把五個(gè)蘋果分給

28、甲乙丙丁, 其中甲可以分0個(gè)，插板法C (5 3) =10種；共4X10=40種，選C(8) 5個(gè)相同的蘋果和3個(gè)相同的梨分給4個(gè)小朋友，每人至少分1個(gè)水果，有多少種分 配方式？A.210B.420C.63OD.840范香凝解析：解法一：先分梨，分類；(1) 3個(gè)梨分給同一個(gè)人，C (4 1) =4種，假設(shè)都分給了甲；接下來5個(gè)蘋果分給甲乙丙 T,乙丙丁每人至少分1個(gè)蘋果，插板法C (5 3) =10種，共4X10=40種；(2) 3個(gè)梨分給了兩個(gè)人，C (4 2) X2=12種，假設(shè)分給甲2個(gè)、乙1個(gè)；接下來5個(gè)蘋 果分給甲乙丙丁，丙丁每人至少分1個(gè)蘋果，插板法C (63) =20種，共12

29、 X 20=240種；(3) 3個(gè)梨分給了兩個(gè)人，C (4 3) =4種，假設(shè)分給甲乙丙各1個(gè)；接下來5個(gè)蘋果分給 甲乙丙丁，丁至少分1個(gè)蘋果，插板法C (7 3) =35種，共4X35=140種；共 40+240+140=420 種，選 B解法二：直接容斥，蘋果和梨分別插板-至少1人沒分到+至少2人沒分到-至少3人沒分到 =C (8 3) XC (6 3) -C (41) XC (7 2) XC (52) +C (4 2) XC (61) XC (41) -C (43) =420 種，選 B(9)有一個(gè)兩位數(shù)A,將其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到與之不同的兩位數(shù)B,再將A和B相加，結(jié)果仍為一個(gè)兩

30、位數(shù)。問這樣的兩位數(shù)A有多少個(gè)？【粉筆?？肌緼.9B.32C.36D.64楚香凝解析：ab+ba=ll (a+b),則2Va+bV10,補(bǔ)上百位、用百位去湊滿10；相當(dāng)于把10 個(gè)名額分給百十個(gè)位，每位至少分1個(gè)金額，插板法C (9 2) =36種，去掉a=b的四種(11、 22、33、44),滿足題意的有36-4=32個(gè)，選B(10)小明將一顆質(zhì)地均勻的正六面體骰子，先后拋擲2次，兩次點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率是 多少？【粉筆事業(yè)?？肌緼.l/6B.5/18C.5/6D.13/18范香凝解析：總情況數(shù)有6X6=36種；不滿足題意的情況數(shù)，兩次點(diǎn)數(shù)和V6,相當(dāng)于6個(gè) 金額分給三個(gè)人，每個(gè)人至少分1個(gè)

31、，插板法C (52) =10種，概率=(36-10) /36=13/18, 選D插板法技巧應(yīng)用之取球問題(0箱子里有大小相同的3種顏色玻瑞珠各若干顆，每次從中摸出3顆為一組，問至少要 摸出多少組，才能保證至少有2組玻璃珠的顏色組合是一樣的？【聯(lián)考2014A.11B.15C.18D.21范香凝解析：相當(dāng)于三個(gè)名額分給3種顏色，每種顏色至少分0個(gè)，插板法C (52) =10種, 抽展原理，10+1 = 11種，選A 剛學(xué)插板法時(shí)應(yīng)用起來不熟練，為了更加便于記憶，特做如下總結(jié)：三種顏色的球各一顆，取三顆，有C (3 , 3) =1種取法。三種顏色的球足夠多，取三顆，【取三補(bǔ)二】，有C (3+2, 3

32、) =C (5 3) =10種取法。n種顏色的球足夠多，取m顆，【取m補(bǔ)m-1，有C (n+m-1, m)種取法。(2)從5個(gè)相同的蘋果、6個(gè)相同的橘子、7個(gè)相同的香蕉中取4個(gè)水果，有多少種取法？A.15B.20C.35D.3060范香凝解析：相當(dāng)于四個(gè)名額分給3種水果，每種水果至少分。個(gè)，插板法C (62) =15種, 選A(3) 一個(gè)袋里有四種不同顏色的小球若干個(gè)，每次摸出兩個(gè)，要保證有10次所摸的結(jié)果是 一樣的，至少要摸多少次？A.55B.87C.41P.91范香凝解析：解法一：相當(dāng)于兩個(gè)金額分給4種顏色，每種顏色至少分。個(gè)，插板法C (53) =10種，抽 屜原理，每種情況分9次，此時(shí)

33、剛好不滿足題意，再分一次必然滿足，10X9+1=91次，選 D解法二：四種顏色的球足夠多、取兩個(gè)，取2補(bǔ)1, C (4+1, 2) =10種，抽屜原理，每種 情況分9次，此時(shí)剛好不滿足題意，再分一次必然滿足，10X9+1=91次，選D(4)有四種顏色的文件夾若干，每人可任取12個(gè)文件夾，如果要保證有3人取到完全一 樣的文件夾，則至少應(yīng)該有()人去取。【天津2017】A.18B.20C.21D.29楚香凝解析：解法一：四種顏色的文件夾足夠多，取1個(gè)有C (4 1) =4種、取兩個(gè)有C (4+1, 2) =10 種，所以共4+14=14種情況，每種情況先分2個(gè)人，此時(shí)剛好不滿足題意，再分一個(gè)人必

34、然滿足，14X2+1=29次，選D解法二：補(bǔ)上第五種顏色，不論前四種顏色總共取了幾個(gè)，用第五種去湊滿2個(gè)(注意取的 2個(gè)不能都是第五種顏色)；相當(dāng)于五種顏色的文件夾足夠多，取2個(gè)有C (5+1, 2) -1 = 14 種情況，每種情況先分2個(gè)人，此時(shí)剛好不滿足題意, 再分一個(gè)人必然滿足，14X2+1=29 次，選D(5)某公司年終晚會(huì)有一節(jié)目：A、B、C三種盒子各有若干，盒子裝有各種小獎(jiǎng)品。每人 最多拿3個(gè)，也可以不拿。321名員工全部選擇后，主持人將所拿盒子數(shù)曷與種類完全相同 的員工分為一組。則人數(shù)最多的一組至少有多少占員工：【粉筆?？肌緼.16B.17C.29D.28范香凝解析：補(bǔ)上D種盒

35、子，不論前三種盒子總共取了幾個(gè)，用D種盒子去湊滿3個(gè)；相 當(dāng)于四種盒子足夠多，從中取三個(gè)，有C (4+2, 3) =20種；抽屜原理，321=20=16-1, 人數(shù)最多的組至少有16+1 = 17名員工，選B(6)袋中有紅、白、黑三種顏色的球各10個(gè)，從中抽出16個(gè)，要求三種顏色的球都有，有多少種不同的抽法？A.35B.45C.75D.105秸香凝解析：16個(gè)名額分到紅白黑三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)、至多10個(gè)，插板法C (152) =105#;去掉有箱子多于10個(gè)的情況：先選一個(gè)箱子C (3 1) =3,提前分10個(gè)給這 個(gè)箱子，剩下六個(gè)名額分三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)，插板法C (52) =10種；滿足題意 的方法有10>3X10=75種，選D插板法技巧應(yīng)用之?dāng)?shù)碼和篇(1)在1999這999個(gè)數(shù)中，數(shù)碼和是9的數(shù)有多少個(gè)？(比如3