2019年高考數(shù)學(xué)理科全國(guó)1卷19題-解析幾何說題

1、2019年高考數(shù)學(xué)理科全國(guó)1卷19題說題23 一已知拋物線C： y 3x的焦點(diǎn)為F ,斜率為3的直線l與C的父點(diǎn)分別為A B ,與X軸2的交點(diǎn)為P。uuu uuu(1)若 |AF| |BF|4,求 l 的方程.(2)若 AP 3PB,求 |AB|【背景】本題是2019年高考數(shù)學(xué)理科全國(guó)1卷19題。對(duì)比往年的圓錐曲線大題， 可見今年理科的圓錐曲線大題有降低難度、減少運(yùn)算量的趨勢(shì)?！痉治觥勘绢}考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面向量、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用。解題的第一個(gè)關(guān)鍵是能通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通 過韋達(dá)定理構(gòu)造等量關(guān)系；第二個(gè)關(guān)鍵是要善用轉(zhuǎn)化與化歸思想：用拋物線的定義轉(zhuǎn)

2、. uuru uuu _.化|AF| |BF| 4,用相似三角形或線性運(yùn)算破譯 AP 3PB本題的第一問來自于教材，稍高于教材，是2018年全國(guó)二卷圓錐曲線大題的改編題，第二問是個(gè)常規(guī)題型，在橢圓、雙曲線及拋物線都出過很多類型題：題源1:【2018年全國(guó)I理8】設(shè)拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2, 0)且2 uuuu uur斜率為一的直線與C父于M , N兩點(diǎn)，則FM FN 二()3Ao 5Bo 6Co 7Do 8題源2:【2018年全國(guó)II卷理】設(shè)拋物線C: y2 4x的焦點(diǎn)為F ,過F且斜率為k(k 0)的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB| 8。(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)

3、A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程。【解法分析】35(1)設(shè)直線 l： y -x t, A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定乂得 x1 X2 -；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程求得結(jié)果；,2UUU UUU(2)設(shè)直線l： x 2y m,聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用 AP 3PB可得3必 3y2,結(jié)合韋達(dá)定理求出W3,y21 ；根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【參考解法】解法1:(1)設(shè)直線l與X軸交于P(m,0),方程為x 2 y m,323y3x2y 2y 3m 0,設(shè)人(。必),B(X2,y2),必 V22,V1V23m,=4 12m 0|AF|BF|

4、Xi32/、c 3X2 = 一 (y1 +y2 )+2 m+ 一2 3277彳寸m=, 12 uuu(2)由 AP因此直線l的方程為7日n 3，即 y x1223.5845從而3y2uuu3PB,得 yV2 2,故 代入C的方程得X13,X2故1AB|產(chǎn)解法2:設(shè)直線l的方程為y3, y2又yiV2 2,1,1 故得 A(3,3), B., 1),3t, A(Xi，y) B(X2，y2),由題設(shè)得F(3,0),故|AF |4|BF | XiX2XiX23x t2,3x得 9x2 12(t1)x4t20,2貝(J =144(t-1)-24 9 4t144(12t)0, X1X23(t1)從而 4

5、(t 1)因此直線l的方程即(2)由(1) 9x2 12(t1)x3- x24t278780,X1X243(t D2 uuu又R t,0), AP32t 3X1,uuu y)PB(|t X2, 72)unruuu由AP 3PB彳馬2t3x2 =2可得 x2= (1+t), 3x1=22t32t 3%,y1 =-3 y244r3 23 2 8 4 13故|AB| . 1+( ) |xi X2I , 1+(/ - = 2,233.解法3:設(shè)直線l的方程為y 3x t, A(Xi，y)B(X2，y2),由題設(shè)得F(0,0),故 24(X1 NV 3X1 V (X23x2b* 2 3 4|AF| |B

6、F|1(Xi $2 y：產(chǎn) 4)2 瓏i34 .i3o3B(3b2, 3b),_ 2 _(m 3b ,3b),解法7: (1)直線l與x軸的交點(diǎn)為P (m,0),設(shè)A(3a2, 3a)3, 、3由題設(shè)得F(3,0) , l的斜率為士，42212 3a 3b 3,2彳寸 a b ,22a b ,3a2 3 b223由拋物線的定義，得|AF| | BF | (3a2 -) (3b2 -)uuu2 uuu又 AP (m 3a ,3a), BPo3uuu uuu由AP,BP共線，得3b(m3a2) 3a(m 3b2)3ab2 3a2bo -故 m 3aba b(a b)2 (a2 b2)73 -123

7、737因此直線1的方程為y 2(x次即y 2x 8。設(shè)P(m,0),由1的斜率為2,可設(shè)1的參數(shù)方程為2m tJ13 (t為參數(shù)).13t代入 y2 3x,整理得 9t2 6Vl3t 39m 02 設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti，t2則ti t2 =-而 3urnmu由 AP 3PB,得 t1= 3t2而，t2=正故|AB| |ti t2|=43 334/13上述解法采用標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程，運(yùn)算量稍大，如用一般形式求解，更加簡(jiǎn)捷設(shè)P(m,0),由l的斜率為3 ,設(shè)l的參數(shù)方程為2x m 2t4以物、(t為參數(shù)) y 3t代入y2 3x,整理得9t2 6t 3m 0設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t5

8、則匕t2=34 13uur uuu由 AP 3PB,得t1= 3t2 得L=1 ,1-2t2=一 故 |AB| V22 32|t t2|= 3，3、 ,3、(Xi -) (X2 -) Xi X244從而得Xi X2 I，以下略。解法4:設(shè)直線l的方程為y 3(X m), A(Xi，yi),B(X2，y2),以下略。23解法5 (點(diǎn)差法)：(i)設(shè)直線l的萬程為y 3X t, A(X1)yi),B(X2)y2),2由題設(shè)得F(3,0),故| AF | |BF| Xi X2 3,由題設(shè)得Xi X2 5422由 yiy23Xi 3x2/寸 3=(yi y2) 二(yi y2)Xi x22 5yi y 2,弦AB的中點(diǎn)為M(,i)，而且M在拋物線內(nèi)部,4因此直線l的方程為y i 3(x勺)，即y 3x 7,以下略2428322解法 6: (i)由題設(shè)得 F(-,0)，設(shè) A(3a, 3a), B(3b , 3b),4由l的斜率為3,得a2 b2, 3a3b23a b -,23a23b223由拋物線的定義，得|AF| | BF | (3a2 -) (3b2 -) 444C 22弦AB的中點(diǎn)為M(3a3b-,3a_Jb) (5,i)而且m在拋物線內(nèi)部,22