2020北京各區(qū)一模數(shù)學(xué)試題分類匯編--大題壓軸(教師版)

1、努力的你，未來可期!2020北京各區(qū)一模數(shù)學(xué)試題分類匯編-大題壓軸（2020海淀一模）己知數(shù)列伍“是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)女wN'，使得電I +%任意的 e N成立，則稱數(shù)列4具有性質(zhì) W）.（1）分別判斷下列數(shù)列6是否具有性質(zhì)7（2）：（直接寫出結(jié)論）”=1% =2",（2 ）若數(shù)列4滿足限= 1,2,3,.）,求證廣數(shù)列/具有性質(zhì)”是“數(shù)列/為常數(shù)列”的充分必要條件；（3）已知數(shù)列伍”）中 = 1，且= 123,）.若數(shù)列氏具有性質(zhì)中（4）,求數(shù)例J 為的通項公式.【解析】（1）% =1時，數(shù)列伍”）具有性質(zhì)+（2）.% = 2"時，數(shù)列%不具有性質(zhì)

2、2）.（2） van+1 «（/! = 1,2,3,）»a2/,-l +（121,之為”，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng) «2n-l =2n=2an，因為數(shù)列qj具有性質(zhì)小，即“2Z +%“ = 2%,所以數(shù)列“）為常數(shù)列.必要性：因為數(shù)列為常數(shù)列，所以=%，«2n-l +% =勿”成立，即數(shù)列伍 ）具有性質(zhì)T（2） .（3） a1 = 1,數(shù)列4”)具有性質(zhì) 7(4), q+七=4。1，二。2=3 ,% += 4% =12,>4.若%=4,%=8, /_ >a 二% + % 之9+10=19 %+% =而3=16矛盾;若內(nèi)之6,則q £6矛盾

3、.所以q=L a2 =3, fl3=5, rt4=7 ,所以猜想4=2-1.證明如下：假設(shè)命題不成立，設(shè)r = mini e N+ Ia2i_ 4z-3或%,工4i- 1 ( r >3 ),考慮數(shù)列也J ,當(dāng)bn =an+2r_4-4(r- 2)時具有性質(zhì)W(4),此時4=1, h2 = 3, &=5, %=7,即。2-1=4r一3或42r=47一1 ,矛盾，an = 2/2-1.(2020西城一模)對于正整數(shù)，如果k(%eN)個整數(shù)小 叼，勺滿足1«% «的 «/ «，且+%+ + %=，則稱數(shù)組(4,生，q)為的一個正整數(shù)分拆二記4，的

4、，均為偶數(shù)的 “正整數(shù)分拆”的個數(shù)為 <，外的，怎均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為g”.(I)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”；(II)對于給定的整數(shù)(之4),設(shè)(卬 生，4)是的一個“正整數(shù)分拆“，且 =2,求Z的最大值；(IH)對所有的正整數(shù)，證明:$ Wg“;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”(q,生，W)與(偽，g,”)，當(dāng)且僅當(dāng)攵=且%=%，=鬣時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)【解析】(I)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆"為：(1)，(1,1,2), (1,3), (2,2), (4).(II)當(dāng)為偶數(shù)時，4 =% =43 = = 4 =2時，%最

5、大為女=!；2當(dāng)為奇數(shù)時，4= % =&= = 4-1 =2,& =3時，最大為k = j'：綜上所述：為偶數(shù)，k最大為k = g, 為奇數(shù)時，k最大為k = ?22(HI)當(dāng)為奇數(shù)時，f“=0,至少存在一個全為1的拆分，故，g：當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)(,生，4)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應(yīng)了和(1,1,.，41M一1，41)的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故 fn « g“ .綜上所述：/ gn.當(dāng) =2時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為(2),奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為(1,1), 6=g2 = l;當(dāng) =4時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為(2,2), (4),奇數(shù)“正整數(shù)

6、分拆”為(1,1,1,1), (1,3)故/4 = g4=2；當(dāng)26時，對于偶數(shù)''正整數(shù)分拆”，除了各項不全為1的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為1的“正 整數(shù)分拆”，故致vg-綜上所述：使=且“成立的為： =2或“=4.(2020東城一模)各項均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列4同時滿足下列條件：=加(meN*)； ®an<n- (之2)：是%+出+勺的因數(shù)(1),(1)當(dāng)"7 = 5時，寫出數(shù)列a”)的前五項：(2)若數(shù)列%的前三項互不相等,且23時，氏為常數(shù)，求機的值；(3)求證：對任意正整數(shù)？，存在正整數(shù)M,使得之M時，勺為常數(shù).【解析】(1) 5, 1,

7、0, 2, 2.(2)因為04/«一1,所以0«。2«1，04a3«2,又?jǐn)?shù)列4的前3項互不相等，當(dāng) =。時，若 %=1，則3 =。4 =%= = 1，且對2 3, '_()+(二2)二"二2 + 都為整數(shù),所以7 = 2； nn若4=2,則% = %=%=2,且對之3,"士生二義='二士 + 2都為整數(shù)，所以7 = 4； nn當(dāng)?shù)?1時，若4=°,貝IJ% =44 =% =0,且對之3, “ 十 *)=竺1都為整數(shù)，所以? = 一1, nn不符合題意；若4=2,則43 = %=%=-,=2,且對2 3, &

8、#39;" +1 2(二2)="口+ 2都為整數(shù),所以加=3：綜上，加的值為2,3,4.(3)對于21,令S =q+取+ /，則 < 必=近S±L < S“+ ” = & + 1.+1 n n nSSSS又對每一個，都為正整數(shù)，所以上_L = ,，其中至多出現(xiàn)一1個.nn+n1S S故存在正整數(shù)當(dāng)M時，必有號=成立.當(dāng)出=時，則% = sn+l-Stl ="咆-5" 工n +1 nnn從而 S"+2 = "+2 + 4“+1 + S” = ”+2 +( + 1)"”+1 = a +?！?2 -4

9、+1 .77 + 2 n + 2n + 2 /I n + 2由題設(shè)知厘二匕_<,又°吟及q均為整數(shù)，所以"=%+=鼠= &_,故2l = 1L = £±L-. =常數(shù).n + 2n 72 + 1 n n + n + 2從向 Cln+ = S"+i Sn = - -Sn= =常數(shù).nn故存在正整數(shù)“，使得NM時，勺為常數(shù).（2020豐臺一模）已知有窮數(shù)列4 %,%，生，4（wN且果之3）.定義數(shù)列4的“伴生數(shù)列方，,也，其中4=八I I （& =1,2,），規(guī)定“0 =4，勺+1 =41.（1）寫出下列數(shù)列的“伴生數(shù)列

10、9;'： 1, 2, 3, 4, 5； 1, _1，1, 一1，1.（2）已知數(shù)列8的“伴生數(shù)歹'G q, C?，4,，卻，且滿足+4=1（A=l，2,，）.（i）若數(shù)列8中存在相鄰兩項為1,求證：數(shù)列8中的每一項均為1：（ii）求數(shù)列C所有項的和.【解析】（1）1, 1, 1, 1, 1:1, 0, 0, 0, 1.2 2） （1）由題意，存在攵=1,2，使得4 =4+1=1.若k = 1,即4=d=1 時，Cj = c2 = 0.于是a=2=1, 4=4 = 1.所以?！?。3=0,所以=%=1.即=4=2=1.依次類推可得4=4+i=l（k=2, 3,，- 1）.所以4

11、=1 （& =1, 2, , 77）.若2女_1,由4 =4+1 =1得4 =q+1 =0.于是 4_ = 4+=1.所以 q_ = q = 0 .依次類推可得A=&=L所以% = 1 （%=1，2,，）.綜上可知，數(shù)列8中的每一項均為L（ii）首先證明不可能存在攵e2,”一1使得= 47=0.若存在攵w 2,，一 1使得仇-=bk= Im = 0,則 CJ=G=CN=L又7=M得q=0與已知矛盾.所以不可能存在毋_|=a=4M=0, ke2,./ l.由此及（i）得數(shù)列"的前三項A，打，名的可能情況如下：當(dāng)% =%=層=1 時，由（7）可得 4=1 （ k = ,

12、2, , ?7）.于是q =0（k=l, 2,，）q = 0.所以所有項的和s=o.當(dāng)年 = 1, /?, = 0, 4 = 1 時，c2 = o,此時+q=。與已知矛盾.當(dāng)4=1,優(yōu)=0,。3=0 時，9=。，。2=1，C3 = 1 .于是勾=%=0, b2Mb4=1.故 = 1,4=。，b5=b3=o于是I =，_ = 0 , C5 = 1 , 6 =。，于是 =b4 , h2 = b5 ,%=Z?6，且a_2 = 1， bn- = 0 a =。.依次類推=4+3且恰是3的倍數(shù)滿足題意.所以所有項的和5 = 一: = ?. 33同理可得4=。，& = 1,名=0及A=0，b?=U,

13、 &=1 時，當(dāng)且僅當(dāng)恰是3的倍數(shù)時，滿足題意.此時所有項的和5=f.3綜上，所有項的和S=0或S = « （是3的倍數(shù)）.3（2020朝陽區(qū)一模）設(shè)數(shù)列A：4,小， （之3）的各項均為正整數(shù),且K/K金小若對任意Z: e 3,4,-存在正整數(shù)仃（1使得q=4+勺，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T.（1）判斷數(shù)列4 ：1,2,4,7與數(shù)列& 1236是否具有性質(zhì)??；（只需寫出結(jié)論）（2）若數(shù)列A具有性質(zhì)T，且，4=1，2, an=200,求的最小值；（3）若集合 S = 1,2,3,2019,2020 n'USzUSsUSaUSsUSG，且 5,（1可=0 （任意 WL2

14、,6, iHj） .求證：存在S，使得從S,中可以選取若干元素（可重復(fù)選?。┙M成一個具有性質(zhì)7的數(shù)列.【解析】（1）數(shù)列A不具有性質(zhì)T：數(shù)列&具有性質(zhì)T.（2）由題可知生=2，< 2n2 = 4 ,< 2n3 < 8 , , <2a. <128 ,所以4之9.若 =9,因為佝=200且佝42a8,所以12826 2100.同理，64>a7>50,32>«6>25,16>a5>12.5,8>«4>6.25,4>>3.125.因為數(shù)列各項均為正整數(shù)，所以% = 4.所以數(shù)列前三項為

15、1,2,4.因為數(shù)列A具有性質(zhì)T, %只可能為4,5,68之一，而又因為82% 26.25,所以4 = 8.同理，有。§ =16,% =32,% =64,& =128.此時數(shù)列為 L2,4為,16,32,64,128,200.但數(shù)列中不存在使得200 =4+ %,所以該數(shù)列不具有性質(zhì)T.所以 210.當(dāng) =10時，取41,2,4,8,16,32,36,64,100,200.（構(gòu)造數(shù)列不唯一）經(jīng)驗證，此數(shù)列具有性質(zhì)T.所以，的最小值為10.（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意E（，= 1,2,6）都有：若正整數(shù)貝iJb - aeSj.否則，存在Sj滿足：存在a,beS,使得一

16、,此時，從加中取出。力力一。：當(dāng)一a時，”,一”,是一個具有性質(zhì)T的數(shù)列：當(dāng)。>一時，一力是一個具有性質(zhì)T的數(shù)列:當(dāng)a =一。時，是一個具有性質(zhì)丁的數(shù)列.（/）由題意可知，這6個集合中至少有一個集合的元素個數(shù)不少于337個， 不妨設(shè)此集合為從，中取出337個數(shù)，記為4M2,心7,且2c </37.令集合 N=他37 _ 4 I i = 1，2,，336 c S.由假設(shè),對任意12 ,336, 03yl- / Si，所以 MaSzUSsUSqUSsUSe.(”)在邑,83,54,85,天中至少有一個集合包含M中的至少68個元素，不妨設(shè)這個集合為邑，從s2nM中取出68個數(shù)，記為自也，

17、也,且&咽令集合 N =-I i = 1,2,67墨 S.由假設(shè)%-刈任$2-對任意 =1,2,68 ,存sk el,2,336使得=“337 -"與.所以對任意 i = l,2,.,67，d8 -2=(“337 - 4“)一(。337 -4)二 % 一”，由假設(shè)一。1隹5,所以%-與任5,所以-40S1US2,所以/uJUJUSsUSg.(沂)在S3,S,$5,§6中至少有一個集合包含N中的至少17個元素，不妨設(shè)這個集合為邑，從S3。M中取出17個數(shù),記為qg，,%，且q<Q<<華.令集合令=令7 - q I i = 12,16 = S.由假設(shè)。

18、一。.貴其.對任意 =12,17,存在e12.67使得，=%-，小所以對任意，=12,16, % -c. = (bM -hln ) - (bbii -b, ) = bt> 一 ,同樣，由假設(shè)可得一%把BUS?,所以7 邑US3,所以MuSqUSsUSe.(/v)類似地，在演,S5,§6中至少有一個集合包含N,中的至少6個元素，不妨設(shè)這個集合為凡, 從中取出6個數(shù),記為4,4,4,且4 Vd2V<.6，則 N4= 4 -41 i = 1,2,5土 S5 U S6 .（V）同樣，在S5,§6中至少有一個集合包含中的至少3個元素，不妨設(shè)這個集合為人,從SsDM中取出3

19、個數(shù)，記為G，g,g，且同理可得的=4一。,63-0之56.（5）由假設(shè)可得與一 4 二 （% 一1）一（與一立）£邑同上可知，J-qESiUSzUSsUSqUS”而又因為與一qeS,所以4-qeS6,矛盾.所以假設(shè)不成立.所以原命題得證.（20如石景山一模）有限個元素組成的集合A = c4，2,，4，eN*，記集合A中的元素個數(shù)為 card（A）,即cmd（A） = .定義A + A = x + y|xee A,集合A +A中的元素個數(shù)記為card（A + A）t當(dāng)car（A +人）=”辿時，稱集合4具有性質(zhì)P.（1）A = 1,4,7, B = 2,4,8,判斷集合A, 8是否具

20、有性質(zhì)尸，并說明理由：（2）設(shè)集合4 = ,生,4,2020,v%v2020且£%.（，= 1,2,3）,若集合A具有性質(zhì)尸，求+%+43的最大值： 設(shè)集合4 = ，4，。2,，4，其中數(shù)列q為等比數(shù)列，4 >0（，= 12,）且公比為有理數(shù)，判斷 集合A是否具有性質(zhì)尸并說明理由.【解析】（1）集合A不具有性質(zhì)P,集合8具有性質(zhì)戶.A + A = 2,5,8,11,14）, ca（A + A）= 5H”不具有性質(zhì)產(chǎn)；3 + 8 = 4,6,8,10,12,16,。卬力（8 + 3） = 6 = 具有性質(zhì)P.（2）若三個數(shù)。，b, c成等差數(shù)列，則A = /（不具有性質(zhì)P，理由是

21、 + c = ».因為4 v2<% <2020且q eN+ （i = 1,2,3）所以由 <2019 ,要使+。2+43取最大，則仆=2。19：6/2<2018,易知2018,2019,2020不具有性質(zhì)產(chǎn)，要使+%+%取最大，則生=2017 ；% 42016,要使4+% + %取最大，檢驗可得力 =2014：（q+3）a=6050（3）集合A具有性質(zhì)P.設(shè)等比數(shù)列的公比為為q,所以勺 =闖”|（” >o）且夕為有理數(shù),假設(shè)當(dāng)ivZK/v/時有4+勺=/+為成立，則有qJ =qJ +dT -l因為q為有理數(shù)，設(shè)q ="（？， N*）且（小，互質(zhì)

22、），因此有 n/ 、j-i / k-i /-J-=-+|-1即/T=產(chǎn)*+尸,尸_/尸，n nJ n）（1）式左邊是？的倍數(shù)，右邊是的倍數(shù)，又小，互質(zhì)，顯然4+4=6+”/不成立.所以恒4 （A + A） = C： + C；= 絲辿，所以集合A具有性質(zhì)P .2“=一為（ £ n*）.若也是一個非零（2020懷柔一模）已知數(shù)列4,£，且常數(shù)列，則稱q是一階等差數(shù)列，若%是一個非零常數(shù)列，則稱q是二階等差數(shù)列.（1）已知 =1也=1,% =1,試寫出二階等差數(shù)列q的前五項：（2）在（1）的條件下，證明： -i + 2： 2（3）若q的首項4=2,且滿足7-勾7+3%=-22（&

23、quot;“），判斷是否為二階等差數(shù)列.【解析】（1）«1=1, 4=2，%=4, %=7, % = 1L(2).口川一，=?！?1, = 1,2,3,bn =+ A = 1 +1 = nZ-l又 4-1一%=2=， = 1，2,3一(T)12n2 -n + 22（3） q不是二階等差數(shù)列.理由如下：數(shù)列q滿足q - % + 3%= 一2川5 2 又 a = 4+1 - 4，%=+1 - bn( n*)由 G f+i + 3a = -2/,+1 n all+l = 4a + 2/,+1則.+2* 4(a“+2”).數(shù)列an + 2是首項為 + 2 = 4 ,公比為4的等比數(shù)列a +

24、2" = 4 - 4"7 = 4" n % = 4" - 2W .-.cn =9-4M-2顯然q,非常數(shù)列. 也 不是二階等差數(shù)列.（2020密云一模）設(shè)等差數(shù)列4的首項為0,公差為。，awN*：等差數(shù)列的首項為0,公差為b, £ N* .由數(shù)列凡和也J構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表M* ；記數(shù)表河中位于第i行第7列的元素為%，其中q=q+%, （n j=l, 2, 3,）.記數(shù)表中位于第行第/列的元素為4”其中乙 =一 +i（l</<Z?,/eN jeN* ）.如：% = % + hi，（1）設(shè)。=5, b = 9，請計算。2.6,。396.

25、6，-2,6；（2）設(shè)。=6, b = 7 ,試求”, 4）的表達(dá)式（用3/表示），并證明：對于整數(shù)，若，不屬于數(shù)表M，則，屬于數(shù)表M*:（3）設(shè)。=6, b = 7 ,對于整數(shù)r,，不屬于數(shù)表M，求，的最大值.【解析】（1）由題意知等差數(shù)列為的通項公式為：=5/2-5；等差數(shù)列也的通項公式為：4=9-9,得 q. 丁 = q + % = （5i - 5） + （9/-9） = 5/ + 9j-14,則。2.6 = 50 ,。396.6 = 2020 ,得4=q -%= （5f-5）-9（j + l）-9 = 5/-9J-5,故 4.6= T9.(2)證明：已知。=6.b = 7 ,由題意知等

26、差數(shù)列“的通項公式為：%=6-6：等差數(shù)列%通項公式為：2=7-7,得 qj = q + b) =(6z-6) + (7/-7) = 6/+ 7y-13 t (i £ N * , j e N*).=(6, _6)-17O + 1)-7 = 6Z-7j-6 ,j w N*).所以若/eM,則存在eN, veN,使z = 6 + 7i，若feM*,則存在eN,veN*,使，=6m-7p,因此，對于正整數(shù)正 考慮集合M°=xlx = "6w, utN, W6,即在，/一6, 12,，一 18, 24, 30, -36.下面證明：集合Mo中至少有一元素是7的倍數(shù).反證法：

27、假設(shè)集合中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合Mo中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1, 2, 3, 4, 5, 6,又因為集合M。中共有7個元素，所以集合M。中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同，不妨設(shè)為 6%,”%，其中內(nèi),/<圣6.則這兩個元素的差為7的倍數(shù)，即“一2)一。-61) = 6( 一2),所以可-“2=0,與勺</矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.即集合知0中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為"6o，oW6, /WN,則存在seZ,使/-6q=7s, %wN, #6 ,即 1 = 6斯+7s,seZ ,由已證可知，若YM,則存在 eN, ve/V,使z=6

28、 + 7u,而/任何，所以S為負(fù)整數(shù),設(shè)丫 = 一$,則 ueN*,且，=6 冊- 7u, %wN , w06 , v e N *,所以，當(dāng)。=6, /? = 7時，對于整數(shù)，若犍M ,貝MeM*成立.（3）下面用反證法證明：若對于整數(shù)L /日0*,貝心比M,假設(shè)命題不成立，KP/eM*,且fsM.則對于整數(shù)f,存在寸wN, msN, eN,心6, ve/V*,使f = &l7i，= 6 + 7,成立，整理,得 6（ - ）= 7（/ + n）,又因為?sN, vwN*,所以一 =!（? + ，）0且“一是7的倍數(shù)， 6因為£N,狼6,所以“一底6,所以矛盾，即假設(shè)不成立.所

29、以對于整數(shù)/,若reM*,貝打任M,又由第二問，對于整數(shù)/任M,貝iJ/eM*,所以，的最大值，就是集合用*中元素的最大值，又因為/=6w-7v, u eN , vwN*, "46,所以仆=（*）3=6x6-7x1 = 29 （2020順義區(qū)一模）若無窮數(shù)列伍“滿足：只要=%（PM £ "）,必有，則稱%具有性質(zhì)P.（1）若,具有性質(zhì) P,且P =1，。2 =3,% =1，4+%+% = 19,求。3：（2 ）若無窮數(shù)列"是等差數(shù)列，無窮數(shù)列g(shù)是等比數(shù)列，4=q = 1, d = q = 64 , 4= bn +c,判斷M 是否具有性質(zhì)P,并說明理由；（

30、3）設(shè)2是無窮數(shù)列，已知勺7=2+sin%（eN）求證：“對任意6,“都具有性質(zhì)戶” 充要條 件為件為是常數(shù)列”.【解析】（1）因為"1 =4=1,所以=%=3,。3 =。6，。4 =% =1,% =。8 = 3.所以 1 +。7 + «8 =1 + 1 + 3，又因為 4 +。7 +8 = 19，解得 的=15（2）也的公差為21,所以 =1+21（ 1） = 21-20,1/1匕,的公比為5所以 =64（力 =4'-"所以% ="+孰=21-20 + 4”.341所以q =«4 =65,2 =38,d=，因為工出， 4所以也不具有性質(zhì)P.（3）證明充分性：當(dāng)為常數(shù)列時4+i =仇+ sin an.對任意給定的，只要詢=%,則由2+sina. =2+$%,必有詢+=&+.充分性得證.證明必要性：用反證法證明,假設(shè)4不是常數(shù)列，則存在女eN。使得 4 =% =4 = ，而 4+i下而證明存在滿足?！?1 =“ +sin“的4,使得% =% = = %，但%2設(shè) /（x） = x-sinx-bM m G N*,使得 m孔 > 例，則f