ch-10-3冪級數(shù)ppt課件

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析第三節(jié)第三節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的性質(zhì)三、求和函數(shù)三、求和函數(shù)重點：冪級數(shù)的收斂半徑、和函數(shù)重點：冪級數(shù)的收斂半徑、和函數(shù)難點：和函數(shù)、冪級數(shù)的運算難點：和函數(shù)、冪級數(shù)的運算數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級級數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時時當(dāng)當(dāng)其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù);,1收斂收斂時時當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng) x);1 , 1(

2、收斂域收斂域)., 11,( 發(fā)發(fā)散散域域數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析二、冪級數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的性質(zhì)定理定理 1 (1 (AbelAbel 第一第一定理定理) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足 不不等等式式0 xx 的的一一切切 x 處處發(fā)發(fā)散散. . 1、收斂性質(zhì)、收斂性質(zhì)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析2、代數(shù)運算性質(zhì)、代數(shù)運算性質(zhì)(1) (1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa,0 nnnxc(其中其中 21,m

3、inRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(3) (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)注：相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多注：相除后的收斂區(qū)

4、間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析3、和函數(shù)分析性質(zhì)、和函數(shù)分析性質(zhì)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析解解,)1()()2(11 nnnnxxs設(shè)設(shè), 0)0( s顯然顯然)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(11 nnn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂,1時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散所以收斂區(qū)間為所以收斂區(qū)間為(1,1.例例1 1三、求和函數(shù)三、求和函數(shù)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析兩端積分得兩端積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,

5、11x )11( x,)()2(11)1( nnnnxsx設(shè)設(shè), 0)0( s顯然顯然),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs 即即,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn),1ln(11)1(xnnnnx )11( x. 2ln413121111)1( nnnnx注：注：數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析注記注記 先設(shè)輔助冪級數(shù)，再求和函數(shù)，最后代值先設(shè)輔助冪級數(shù)，再求和函數(shù)，最后代值數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 例例2 2思考思考1 1：本題是否還可設(shè)其他輔助級數(shù)？：本題是否還可設(shè)其他輔助級數(shù)？ 思考思考2 2：求和函數(shù)時，冪級數(shù)的系數(shù)具有什么：求和函數(shù)時，冪級數(shù)的系數(shù)具有什么樣的形式才適合用逐項積分或逐項微分？樣的形式才適合用逐項積分或逐項微分？數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù);11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1