四川省樂山市高中2020屆高三一診數(shù)學(xué)理科試題(解析版)

1、2020 年四川省樂山市高考數(shù)學(xué)一診試卷（理科）、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5 分，共 60分1已知集合 Ax|（x+2）（x3）<0，Bx|y，則 A（ ?RB）（）A 2，1）B1，3C（， 2）D（ 2，1）D 23i2已知（5，1）， （ 3，2）， 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z，則 （ ）A 5iB3+2iC 2+3i5 3 23（2xy）5 的展開式中，含 x3y2 的系數(shù)為（）A 80B 80C40D 404在一次期末考試中，隨機(jī)抽取200 名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)?nèi)吭?0 分至 100 分之間，將成績(jī)按如下方式分成 5 組： 50， 60），60，70），70， 80）， 80

2、，90），90，100）據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方 圖則這 200 名學(xué)生中成績(jī)?cè)?80， 90）中的學(xué)生有B 40 名A 30 名C50名D60名的零點(diǎn)之和為（5函數(shù) f（ x）A 1B1C2D26我市高中數(shù)學(xué)研究會(huì)準(zhǔn)備從會(huì)員中選拔x 名男生， y 名女生組成個(gè)小組去參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，若x， y 滿足約束條件，則該小組最多選拔學(xué)生（ ）A21名B16 名C13名D11 名7設(shè) m log0.30.6， n，則（ ）A m+n<mn<0Bmn<0< m+nCm+n<0<mnDmn<m+n<08元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩：“

3、我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示若將“沒了壺中ABC10CABDABD20AB， 0）9已知單位向量， 分別與平面直角坐標(biāo)系x， y 軸的正方向同向，且向量3 ， 2 +6 ，則平面四邊形 ABCD 的面積為（ ）10函數(shù) f（x） x?ln的部分圖象可能是（ ）則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）酒”改為“剩余原壺中 的酒量”即輸出值是輸入值的 ，則輸入的 x（ ）CD11已知函數(shù) f（ x），令函數(shù) ，若函數(shù) g（ x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，CD，A1，A2，A3是圖象的頂點(diǎn)， O，B，C，D為f（x）與 x軸的交

4、的值為（ ）5 分，共 20 分D12如圖，已知函數(shù)點(diǎn)，線段 A3D 上有五個(gè)不同的點(diǎn) Q1，Q2， Q5，記（ i1，2， 5），則 n1+n2+n513（ 5分）命題“ ? xR， f（ x） x”的否定形式是14（ 5分）如圖，函數(shù) f（x）的圖象是折線段 ABC，其中 A，B，C 的坐標(biāo)為（ 0，4），（2，0），（6，4）， 則 f（ f（ 0）；函數(shù) f（x）在 x 1處導(dǎo)數(shù) f（ 1）15（ 5 分）如圖，在單位圓中， 7SPON 2 ， MON 為等邊三角形， M、N 分別在單位圓的第一、二 象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則 sin POM16（5分）已知 ABC中，角 A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為

5、 a，b，c，且 BC邊上的高為 a，則的取值范圍為 三、解答題：本大題共 5小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟17（ 12分）已知 an是遞增的等差數(shù)列，且滿足 a2+a420，a1?a536（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式； （ 2 ）若 bn，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 的最小值18（ 12分）在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊分別是 a，b，c，且滿足（ 1）求角 C；（ 2）設(shè) D 為邊 AB 的中點(diǎn)， ABC 的面積為 ，求邊 CD 的最小值19（12分）如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1中，側(cè)面 ABB1A1是菱形， D 為AB的中點(diǎn)， ABC 為

6、等腰直 角三角形， ACB， ABB1 ，且 ABB1C（1）求證： CD平面 ABB1A1；（2）求 CD 與平面BCC1B1 所成角的正弦值20（ 12 分）某校為了解學(xué)生一周的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100 名學(xué)生對(duì)其進(jìn)行調(diào)查下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的一周學(xué)生閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，且將一周課外閱讀時(shí)間不低于 200 分鐘的學(xué)生稱為“閱讀愛好” ，低于 200 分鐘的學(xué)生稱為“非閱讀愛好” （1）根據(jù)已知條件完成下面 2× 2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有 97.5%的把握認(rèn)為“閱讀愛好”與性別有 關(guān)？非閱讀愛好閱讀愛好合計(jì)男50女14合計(jì)2）將頻率視為概率，從該校學(xué)生

7、中用隨機(jī)抽樣的方法抽取4 人，記被抽取的四人中“閱讀愛好”的人數(shù)為 ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E附：2P（K k0）0.010.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828，na+b+c+d21（ 12分）已知函數(shù) f（x）eax+b（a，bR）的圖象與直線 l：yx+1相切，f'（x）是 f（ x）的導(dǎo)函數(shù)， 且 f'（1） e（1）求 f（ x）；（ 2）函數(shù) g（x）的圖象與曲線 ykf（x）（kR）關(guān)于 y軸對(duì)稱，若直線 l 與 函數(shù) g（ x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A（x1，g（x1），B

8、（x2，g（x2），求證： x1+x2< 4選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方請(qǐng)考生在第 22-23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 程22（ 10分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知曲線 C1的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2 的極坐標(biāo)方程為 4cos（ 1）求曲線 C1與曲線 C2 兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程； （ 2）若直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ，直線 l 與 y 軸的交點(diǎn)為 M，與曲線 C1相交于 A， B兩點(diǎn)，求 |MA |+|MB |的值選修 4-5：不等式選講 23已知 x，y，z 均為正數(shù)（1）若 xy<

9、 1，證明： |x+z|?|y+z|> 4xyz；（2）若 ，求 2xy?2yz?2xz的最小值2020 年四川省樂山市高考數(shù)學(xué)一診試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（ 5分）已知集合 A x|（x +2）（ x 3）< 0 ，Bx|y，則 A（ ?RB）（）A2，1）B1，3C（， 2） D（ 2，1）【分析】 可以求出集合 A， B，然后進(jìn)行交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可【解答】 解： Ax|2<x<3，Bx|x1 ，?RBx|x<1，A（?RB）（ 2，1）故選：

10、 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了描述法、區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2（ 5分）已知 （5， 1）， （ 3，2）， 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z，則 （ ）A5iB3+2iC 2+3iD 23i【分析】 根據(jù)向量的線性表示求出 ，即可求解 z，進(jìn)而可求【解答】 解： （ 5，1）， （ 3，2）， （ ）（ 2， 3），對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z 2+3i ，則 2 3i，故選： D 點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系及共軛復(fù)數(shù)的定義的概念，屬于基礎(chǔ)試題3（5分）（2xy）5的展開式中，含 x3y2 的系數(shù)為（）A80B 80C40D40【分析】 在二項(xiàng)

11、展開式的通項(xiàng)公式中，令 y 的冪指數(shù)等于 2，求出 r 的值，即可求得展開式中含 x3y2 的 系數(shù)【解答】 解：（2xy）5 的展開式中，通項(xiàng)公式為 Tr+1 ?（1）r（2x）5r?yr，令 r 2，可得含 x3y2 的系數(shù)為?2380，故選： A【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題4（5分）在一次期末考試中，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)?nèi)吭?50分至 100分之間，將成績(jī)按如下方式分成 5 組： 50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）據(jù)此繪制了如圖所示的頻率 分布直方圖則這 200 名學(xué)生中成績(jī)?cè)?/p>

12、 80 ，90 ）中的學(xué)生有（）A30 名B40 名C50名D60 名【分析】 由頻率直方圖可求出績(jī)?cè)?80 ，90）內(nèi)的學(xué)生所占的頻率，再求出這200 名同學(xué)中成績(jī)大于等于 80 分且小于 90 分的學(xué)生【解答】 解：成績(jī)?cè)?80，90）內(nèi)的學(xué)生所占的頻率為 1（ 0.005× 2+0.025+0.045 ）× 10 0.2，所以這 200名同學(xué)中成績(jī)大于等于 80 分且小于 90分的學(xué)生有 200×0.240名，故選： B點(diǎn)評(píng)】 本題考查頻率直方圖，計(jì)算人數(shù)，屬于基礎(chǔ)題5（5 分）函數(shù) f（x）的零點(diǎn)之和為（ ）A1B1C2D2分析】 利用已知條件，通過分段函

13、數(shù)分別求解函數(shù)的零點(diǎn)，即可得到結(jié)果解答】解：函數(shù) f（ x）x可得 x> 0 時(shí)， 3x2 0，解得 xlog32，x0 時(shí)， x+log 360，解得 x log36所以函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)之和為：log32log36 1故選： A點(diǎn)評(píng)】 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力6（5分）我市高中數(shù)學(xué)研究會(huì)準(zhǔn)備從會(huì)員中選拔x名男生， y名女生組成個(gè)小組去參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，若 x，y 滿足約束條件，則該小組最多選拔學(xué)生（ ）A21 名B16 名C13名D11 名z x+y 對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，計(jì)算可行域內(nèi)使得 z【分析】 由題意畫出約束條件表示的可行域，找出目標(biāo)函數(shù) 取得最

14、大時(shí)的最優(yōu)解解答】 解：畫出 x，y 滿足約束條件，表示的平面區(qū)域，如圖所示；要求招入的人數(shù)最多，即 zx+y 取得最大值，目標(biāo)函數(shù)化為 y x+z；1，在可行域內(nèi)任意取 x，y 且為正整數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)代表的斜率為定值截距最大時(shí)的直線為過得 A（7，9），此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值為： z 9+716故選： B點(diǎn)評(píng)】 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的求解問題，是基礎(chǔ)題7（ 5分）設(shè) m log0.30.6， n，則（Am+n< mn<0Bmn<0< m+nCm+n<0< mnDmn<m+n<0< n< 0，由分析】 先求出

15、 m log0.30.6（ log0.30.2+1）< 2，此能推導(dǎo)出 m+n<0< mn解答】 解： m log 0.30.6( log0.30.2+log 0.30.3)( log 0.30.2+1)< 2，< n< 0，m+n< 0<mn故選： C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查命題真假的判斷， 考查指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8（5 分）元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗， 店友經(jīng)三處， 沒了壺中酒， 借問此壺中， 當(dāng)原多少酒？” 用程序框圖表達(dá)如圖所示若將

16、 “沒 了壺中酒”改為“剩余原壺中 的酒量”即輸出值是輸入值的 ，則輸入的 x（）ABD分析】根據(jù)程序框圖進(jìn)行模擬運(yùn)算即可14x3，解答】 解： i1 時(shí) x2x 1，i2 時(shí)，x 2（ 2x 1）i3 時(shí)，x 2（4x3）18x7，i 4 時(shí)，退出循環(huán)，此時(shí) 8x7 x解得 x，故選： C點(diǎn)評(píng)】 本題考查程序框圖的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，利用模擬運(yùn)算法是解決本題的關(guān)鍵x，y 軸的正方向同向，且向量9（ 5 分）已知單位向量， 分別與平面直角坐標(biāo)系2 +6 ，則平面四邊形 ABCD 的面積為（ ）ABC10D20分析】由已知可得 ? 0，可得 ，可得平面四邊形 ABCD 的面積 ?| |?|

17、|解答】解： ? （3 ）?（2 +6 ） 660，又| |， | |2，平面四邊形ABCD 的面積 ?| |?| |10，故選： C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、四邊形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10（ 5分）函數(shù) f（x） x?ln的部分圖象可能是（ ）【分析】 根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析 f（ x）的奇偶性以及（ 0，）上的符號(hào)，利用排除法分析可得 答案【解答】 解：根據(jù)題意， f（ x） x?ln，則 f（ x）（ x）lnx?lnf（x），則函數(shù) f（x）為偶函數(shù)，據(jù)此排除 C、 D；在（ 0，）上， sinx> 0，則有 0<<

18、1，必有 ln<0，則 f（x） xln<0，據(jù)此排除 B；故選： A點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的圖象分析，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題11（ 5 分）已知函數(shù) f（x），令函數(shù)，若函數(shù) g（ x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（AB（，0）CD分析】令 F（x）f（x），利用分段函數(shù)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的極值，利用函數(shù)的圖象通過 F（x）a（a為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a<0 或，求解即可【解答】 解：令 F（x） f（x） 當(dāng) x>0時(shí)，函數(shù) F'（x）2（lnx+1） 1lnx，由F'（x）>0得 1lnx>0得lnx&

19、lt;1，得 0<x<e，由F' （ x）< 0得1 lnx < 0得lnx > 1，得x> e，當(dāng) x值趨向于正無窮大時(shí)， y值也趨向于負(fù)無窮大，即 當(dāng) x e時(shí)，函數(shù) F（x）取得極大值，極大值為 F（e） 2e elne 2e e e，當(dāng) x 0 時(shí)，是二次函數(shù)，在軸處取得最大值 ，作出函數(shù) F（ x）的圖象如圖：要使 F（x）a（a為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a<0 或， 即若函數(shù) g（ x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ， 故選： C點(diǎn)評(píng)】 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

20、 想，屬于中檔題12（5 分）如圖，已知函數(shù)軸的交點(diǎn)，線段 A3D 上有五個(gè)不同的點(diǎn)，A1，A2，A3 是圖象的頂點(diǎn)， O，B，C，D 為 f（x）與Q1，Q2，Q5，記（i 1，2，5），則 n1+n2+ n5 的值為（）AB45CD分 析 】 可求 得 A2，A3的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，運(yùn)用數(shù)量積公式可得由此得解解答】 解：由題意得，函數(shù)f（ x）的周期 T1，即B，C，D 的橫坐標(biāo)分別為1， 2， 3，故則，因?yàn)?，故 ，故故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)的圖象，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的判斷，向量的分解，向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力能，呈現(xiàn)方式新穎，屬于較難題目二、

21、填空題：本大題共 4小題；每小題 5分，共 20 分13（ 5分）命題“ ? xR， f（ x） x”的否定形式是?x0R，f（x0） x0 【分析】 否定：否定量詞，否定結(jié)論【解答】 解：否定：否定量詞，否定結(jié)論故命題“ ?xR，f（x）x”的否定形式是為： ?x0R，f（x0） x0故答案為： ? x0R ， f（ x0） x0【點(diǎn)評(píng)】 本題考查命題否定，屬于基礎(chǔ)題14（5 分）如圖，函數(shù) f（ x）的圖象是折線段 ABC，其中 A，B，C 的坐標(biāo)為（ 0，4），（2，0），6，4），則 f（ f（ 0） 2 ；函數(shù) f（x）在 x1 處導(dǎo)數(shù)f（ 1） 2（2）函數(shù)的圖象可知，然后求出導(dǎo)數(shù)

22、即可求出結(jié)果【解答】 解：（1）由圖象可知 f（ 0） 4， f（ 4） 2，即 f（ f（ 0） 2（2）f（0）4，f（4）2，f（2） 4，由函數(shù)的圖象可知，當(dāng) 0x2時(shí)，f'（x） 2f '（ 1） 2故答案為： 2， 2【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的圖象，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要注意分段函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題15（ 5 分）如圖，在單位圓中， 7SPON 2 ， MON 為等邊三角形， M、N 分別在單位圓的第 象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則 sin POM 分析】由 7SPON 2 ，得到，故 90°< +60°< 120°，得 ，再由 sin s

23、in（ +60°） 60° 展開代入即可解答】 解：設(shè) POM ，因?yàn)?7SPON 2 ，所以 ，又 MON 為等邊三角形， M、N 分別在單位圓的第一、二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以 ，故 90 °< +60< 120 °，得 ，sinsin（+60°） 60°，故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 考查三角形兩角和與差的公式，單位圓，三角形的面積等，中檔題16（5分）已知 ABC 中，角 A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為 a，b，c，且 BC邊上的高為 a，則的取值范圍為 2 ， 【 分 析 】 利 用 三 角 形 面 積 公 式 得 到 a2 bcsi

24、nA ， 由 余 弦 定 理 和 兩 角 和 與 差 公 式 sinA +2cosA），結(jié)合基本不等式求出 的范圍【解答】 解：已知 ABC中，角 A，B，C 對(duì)應(yīng)的邊分別為 a， b， c，且 BC 邊上的高為 a，所以 ，所以 a bcsinA，2 2 2 由余弦定理得 a2 b2+c22bccosA，所以 sinA+2cosA），其中 tan2，所以 ，由根據(jù)基本不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng) bc 時(shí)，取等號(hào)，故，故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查均值不等式的應(yīng)用， 三角形面積， 余弦定理， 三角函數(shù)輔助角公式， 三角函數(shù)求最值， 考查邏輯推理能力，中檔題三、解答題：本大題共 5小題，共 70 分解答

25、應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟17（ 12 分）已知 an是遞增的等差數(shù)列，且滿足 a2+a420，a1?a536（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）若 bn，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn的最小值【分析】（ 1）設(shè)公差為 d，則 d>0，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，可得公差d，首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得 bn （4n2） 30 2n31，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，配方可得所求最小值【解答】 解：（ 1） an 是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則 d>0，a2+a4 20， a1?a5 36，可得 a1+a520，解得 a1 2，a518，d4，則 an2+4（n

26、 1） 4n2；（2）bn （ 4n 2） 302n 31，可得前 n 項(xiàng)和 Tn n（ 29+2n31）n230n（ n15）2225，當(dāng) n15 時(shí)，前 n 項(xiàng)和 Tn取得最小值 225【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式， 以及單調(diào)性、 前 n 項(xiàng)和的最值求法， 考查運(yùn)算能力， 屬于基礎(chǔ)題18（ 12分）在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊分別是 a，b，c，且滿足1）求角 C；2）設(shè) D 為邊 AB 的中點(diǎn)， ABC 的面積為 ，求邊 CD 的最小值分析】（ 1）由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可求cosC，進(jìn)而可求 C；（2）由，代入可求

27、ab然后由，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)及余弦定理，基本不等式可求解答】 解：（ 1）由正弦定理：，又，又，由題 ，所以因?yàn)?sinA 0，所以 cosC( 2sin B sinA)cosAsinC，即 cosCsinA+cosAsinC2sinBcosC，即 sinB sin（ A+C） 2sinBcosC， 因?yàn)?sinB 0，所以，則 （2）由，即 ，所以 ab 12由 ，所以 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取等，所以邊 CD 的最小值為 3【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式，向量的數(shù)量積的性質(zhì)等知識(shí)的綜合 應(yīng)用，屬于中檔試題19（12分）如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1中，側(cè)

28、面 ABB1A1是菱形， D 為AB的中點(diǎn)， ABC 為等腰直 角三角形， ACB ， ABB1 ，且 ABB1C1）求證： CD 平面 ABB1A1；2）求 CD 與平面 BCC1B1 所成角的正弦值，【分析】（1）推導(dǎo)出 CDAB，連結(jié) B1D，設(shè) AB2a，則，推導(dǎo)出 CD B1D，由此能證明CD 平面 ABB1A12）設(shè) CD 與平面 BCC1B1所成角為 ，點(diǎn)D 到平面 BCC1B1的距離為 d，AB2a，由求出d，由此能求出CD 與平面 BCC1B1 所成角的正弦值D為AB 中點(diǎn)， ABB1 ， ， ABC 是等腰直角三角形，CDa，解答】 解：（1）證明： D為 AB中點(diǎn)， AC

29、BC，CDAB， 連結(jié) B1D，如圖，設(shè) AB2a，四邊形 ABB1A1 是菱形， CDB1D ，ABB1DD， CD平面 ABB1A12）解：設(shè) CD 與平面 BCC 1B1 所成角為 ，點(diǎn) D 到平面 BCC1B1 的距離為 d， AB2a，由（ 1）知 B1D平面 BCD，則， ，BC，B1B B1C2a， ，解得 d，sin CD 與平面 BCC1B1 所成角的正弦值為點(diǎn)評(píng)】 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題20（ 12 分）某校為了解學(xué)生一周的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100 名學(xué)生對(duì)其進(jìn)行調(diào)

30、查下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的一周學(xué)生閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，且將一周課外閱讀時(shí)間不低于 200 分鐘的學(xué)生稱為“閱讀愛好” ，低于 200 分鐘的學(xué)生稱為“非閱讀愛好” （1）根據(jù)已知條件完成下面 2× 2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有 97.5%的把握認(rèn)為“閱讀愛好”與性別有 關(guān)？非閱讀愛好閱讀愛好合計(jì)男50女14合計(jì)（2）將頻率視為概率，從該校學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法抽取4 人，記被抽取的四人中“閱讀愛好”的人數(shù)為 ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E附：2P（K2 k0）0.010.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.02

31、46.63510.828與性別有，由題意知【分析】（1）完成 2×2 列聯(lián)表，求出 K26>5.024，從而有 97.5%的把握認(rèn)為“閱讀愛好” 關(guān)（2）由頻率分布直方圖知從該校學(xué)生中任意抽取1 名學(xué)生，恰 為“閱讀愛好”的概率為B（ 4， ），由此能求出 的分布列和 E（ ）解答】 解：（1）完成 2×2 列聯(lián)表如下：非閱讀愛好閱讀愛好合計(jì)男242650女361450合計(jì)6040100K2K有 97.5% 的把握認(rèn)為“閱讀愛好”與性別有關(guān)（2）由頻率分布直方圖知： 從該校學(xué)生中任意抽取 1 名學(xué)生，恰 為“閱讀愛好”的概率為 ， 由題意知 B（ 4， ），P（0）

32、，P（1） ，P（2） ，P（3） ，P（4） ，的分布列為：01234PE（） 4× 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查二次分布 等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題21（ 12分）已知函數(shù) f（x）eax+b（a，bR）的圖象與直線 l：yx+1相切，f'（x）是 f（x）的導(dǎo)函數(shù)， 且 f'（1） e（1）求 f（ x）；（2）函數(shù) g（ x）的圖象與曲線 ykf（x）（kR）關(guān)于 y軸對(duì)稱，若直線 l 與函數(shù) g（x）的圖象有兩個(gè) 不同的交點(diǎn) A（x1，g（x1），B（x2，g（x2），求證： x1+x2&l

33、t; 4【分析】（ 1）設(shè)直線 l 與函數(shù) f（ x）的圖象相切的切點(diǎn)為（ m， n），求得 f（ x）的導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率， 由切線方程和已知條件，可得 m，n 的方程和 a，b 的方程，解方程組可得 a，b，進(jìn)而得到所求 f（x） 的解析式；x1+x2+22）求得 yg（x）的解析式， g（ x1） x1+1，g（x2）x2+1，兩式相加和相減，相除可得（? x1x2），令 x1 x2 t（ t> 0），可得要證 x1+x2< 4，即證?t<2，即證 t（ 1+et）2（et1）> 0，可令 h（t） t（1+et） 2（et1），t>0，求得二階導(dǎo)數(shù)，判斷單

34、調(diào)性，即可得證解答】 解：（ 1）設(shè)直線 l 與函數(shù) f（ x）的圖象相切的切點(diǎn)為（ m， n）， 函數(shù) f（x） eax+b 的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） aeax+b，由題意可得 aeam+b 1， eam+b m+1，且 aea+b e，解得 a1，b0，m0， 可得 f（ x） ex；（2）函數(shù) g（x）的圖象與曲線 ykf（x）（kR）關(guān)于 y 軸對(duì)稱，x可得 g（ x） kf（ x） ke ，由 g（ x1） x1+1， g（x2） x2+1，可得 ke x1x1+1， ke x2x2+1， 兩式相加可得 k（e x1+e x2） x1+x2+2，兩式相加可得 k（ e x1e x2） x

35、1 x2，則 x1+x2+2 兩式相除可得 ?（ x1 x2），令 x1 x2t（t>0），則 x1+x2+2?t，要證 x1+x2< 4，即證?t< 2， 即證 t（1+ et） 2（ et 1）> 0， 可令 h（ t） t（ 1+et） 2（ et 1），t>0，h（ t） 1+tet et， h（ t） tet> 0，h（t）在 t>0遞增， h（ t）> h（ 0） 0，可得 h（t）在 t>0遞增，即有 h（t）>h（0）0，可得 x1+x2< 4 成立【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)法和方程思想、化簡(jiǎn)運(yùn)算能力， 屬于中檔題